بخشی از مقاله
چكيده
يكي از مشكلات عمده در شبيه سازيعددي انتشار امواج بازتابهاي ناخواسته از ديوارههاي مدل است كه در واقعيت وجود نداشته و به دليل محدود كردن ابعاد مدل ايجاد ميشوند.روش مرز جاذب كه بر مبناي معادله موج يك طرفه است، بهينهترين روش از نقطه نظر محاسباتي است ولي با اين حال كيفيت اين روش در مقايسه با روش لايه مرزي كاملا جورشده ضعيفتر است. در اين مقاله روشي براي بهبود كيفيت روش مرز جاذب برمبناي تركيب حل معادلات موج يكطرفه و دوطرفه در يك لايه مرزي به جاي حل آن در نقاط مرزي ارائه و ارزيابي شدهاست. استفاده از روش مذكور بازتابهاي مصنوعي را به طور چشمگيري كاهش دادهاست لذا با ايده فوق ميتوان از بازده محاسباتي روش مرز جاذب با كيفيت مناسب بهره برد. روش فوق با استفاده از روش تفاضل محدود مرتبه دوم در مدلسازي انتشار امواج آكوستيك براي يك مدل مصنوعي گنبد نمكي اعمال و اجرا شدهاست.
١ مقدمه
شبيهسازي عددي انتشار امواج لرزهاي در زمين هسته اصلي بسياري از فرايندهاي پردازش دادههاي لرزهاي از جمله مهاجرت دادههاي لرزهاي و يا وارونسازي كامل ميدان موج است. امروزه حل عددي معادلات ديفرانسيل لازمه بسياري از مسائل علمي و مهندسي مي باشد و تا كنون راه حلهاي مختلفي براي آنها ارائه شده است كه در تمامي آنها به دليل محدوديت حافظه رايانه و حجم محاسبات نياز به كوچك كردن ابعاد مدل و در نتيجه نياز به در نظر گرفتن شرايط مرزي مناسب ضروري است.
در مورد مسائل مربوط به شبيه سازي انتشار امواج كوچك كردن ابعاد مدل موجب ايجاد بازتابهاي ناخواسته از كرانهاي مدل ميشود كه براي كاهش و يا از بين بردن اين امواج بازتابي مصنوعي شرايط مرزي مختلفي تاكنون ارائه شده است. يكي از سادهترين روشها براي جلوگيري از بازتابهاي مرزي، بزرگ كردن ابعاد مدل محاسباتي ميباشد كه سبب به تاخير افتادن بازتابهاي مرزي در طول مدلسازي ميشود. از آنجايي كه اين روش، هزينههاي محاسباتي را به دليل بزرگ كردن ابعاد مدل افزايش ميدهد. روشهاي شرايط مرزي جاذب - ABC - كه توسط كليتون و انگكوئيست - ١٩٧٧ - مطرح شده به طور عمومي گسترش پيدا كرده است كه در آن با استفاده از تقريب معادله موج يك طرفه، ميدان موج در مرزهاي مدل محاسبه ميشود.
تاثير جذب امواج بازتابي در اين روش به شدت به زاويه برخورد وابسته است و معمولا اين اثر بر روي امواجي كه با زاويه ٩٠ درجه به كرانهاي مدل برخورد ميكنند، بهتر تاثير ميگذارد و كارايي اين روش براي امواجي با زواياي غير از ٩٠ درجه كاهش ميابد. روش مرزي ديگري كه بسيار مورد استفاده قرار ميگيرد، روش لايه جاذب كاملا جور شده - PML - مي باشد كه اولين بار توسط برنگر - ١٩٩٤ - معرفي شده است. در اين روش يك لايه جاذب اضافي را به گونهاي در اطراف مدل اعمال ميكنند تا مانع از بازتاب امواج از مرز اين لايه اضافي با كرانهاي مدل شوند.
مدلسازي در حوزه فركانس توسط روش PML با استفاده از معادله مرتبه دوم موج به راحتي انجام ميشود - رن و ليو، ٢٠١٣؛ رحيمي دلخاني و همكاران، ٢٠١٧ - . روش PML در حوزه زمان با استفاده از معادله مرتبه اول موج به سادگي قابل اعمال است - كولينو و تسوجكا، ٢٠٠١ - . براي اعمال اين روش در حوزه زمان با استفاده از معادله مرتبه دوم موج ميبايست متغيرهاي كمكي تعريفنمود - مكگري و مقدم، ٢٠٠٩؛ پاساليك و مكگري، ٢٠٠٩ - . در اين روش ناحيه محاسباتي براي جذب امواج بيرون رونده پيچيده ميشود و فاكتورهاي ميراگر در مدلسازي به روش PML لحاظ ميشوند و جذب كامل براي هر موج فرودي تنها با انتخاب فاكتور ميراگر مناسب اتفاق ميافتد.
روش PMLبطور گستردهاي در انتشار امواج لرزهاي مورد استفاده قرار ميگيرد و بهترين نتيجه را براي جذب بازتابهاي مصنوعي بهدست ميآورد ولي از نظر هزينه محاسباتي بسيار گران است. در اين مقاله ما سعي داريم كه براي بهبود كيفيت شرايط مرزي جاذب در مدلسازي انتشار امواج آكوستيك روشي را بر مبناي تركيب روشهاي جاذب ارائه دهيم كه هم در جذب امواج بازتابي از مدل بهترين كارايي را داشته باشد و هم از هزينه محاسباتي پاييني برخوردار باشد.
٢ شرايط مرزي جاذب
معادله عمومي موج، انتشار امواج رفت و برگشت را بيان ميكند. معادلهاي كه بيانگر حركت موج فقط در يك جهت باشد را معادله موج يك طرفه مينامند. در اين روش معادله امواج رفت و برگشتي در حيطه فوريه از هم تفكيك ميشود و با استفاده از بسط تيلور تقريب زده ميشود و با تبديل فوريه معكوس به حيطه زمان برگردانده ميشود - كليتون و انگكويست، ١٩٧٧ - . در نظر گرفتن اين معادلات به عنوان شرايط مرزي منجر به كاهشقابلتوجه بازتابهاي مصنوعي از كرانهاي مدل عددي ميشود. ليو و سن - ٢٠١٠ - روشي تركيبي بر مبناي معادلات شرط مرزي جاذب كليتون و انگكويست - ١٩٧٧ - ارائه نمودند كه منجر به بهبود چشم گير كيفيت روش جاذب و در واقع كاهش بازتابهاي مصنوعي از مرزهاي مدل عددي ميشود.
روش جاذب كليتون و انگكويست - ١٩٧٧ - براي امواجي كه زاويه برخورد آنها با مرز به صورت عمود است، بدون بازتاب ميباشد ولي با كاهش زاويه برخورد امواج به مرزهاي مدل عملكرد روش كاهش مييابد و بازتابهاي مصنوعي برگشته به درون مدل افزايش مييابد. از طرفي هنگامي كه امواج از قسمتهاي غيرمرزي مدل به مرزهاي مدل انتشار پيدا مي كنند، تغييرات نسبتا شديدي بين ميدانهاي موج در مناطق مرزي و غير مرزي رخ مي دهد.از آنجائيكه ميدان موج مناطق مرزي و غيرمرزي توسط اشكال مختلف معادله موج تخمين زده ميشوند از مرزهاي مدل هميشه بازتابهايي باقي ميماند. در روش تركيبي به منظور كاهش تغييرات شديد ميدان موج بين مناطق مرزي و غير مرزي، يك ناحيه گذار براي حل عددي معادله موج معرفي ميشود.
در اين روش ناحيه محاسباتي به سه بخش درون مدل، لايه مرزي فرضي و مرز انتهايي، تقسيم ميشود. ميدانهاي موج در درون مدل و در مرز انتهاييبه ترتيب توسط معادله كامل موج - معادله موج دوطرفه - و معادله موج يك طرفه محاسبه ميشوند و ميدان موج در لايه مرزي فرضي توسط هر دو معادله - معادله كامل موج و معادله موج يك طرفه - محاسبه ميگردد و بنابراين ميدان موج نهايي كه براي انتشار امواج در مراحل جلوتر مورد استفاده قرار ميگيرد يك ميانگين وزني از مقادير ميدان موج محاسبه شده با استفاده از هر دو معادله طبق رابطه ١ميباشد.
چشمه انرژي لرزه اي يك موجك ريكر ٢٥ هرتز و در مركز مدل در نظر گرفته شده است. در قسمت a اين مدل شبيه سازي انتشار موج صوتي بدون اعمال هيچگونه شرط مرزي نشان داده شدهاست. همانطور كه مشاهده مي گردد بازتابهايي بسيار قوي پس از برخورد موج با مرز در داخل مدل ايجاد شده است. در قسمت b همان مدل با اعمال شرط مرزي جاذب با تقريب مرتبه اول است كه بازتابها تا حدي كمتر شدهاست ولي در قسمت c كه از تقريب مرتبه دوم شرايط مرزي جاذب استفاده شدهاست، بازتابهاي مرزي به نسبت قسمت b كاهش قابل توجهي داشته است و اين مرز امواج رسيده به كرانههاي مدل را به خوبي از خود عبور داده است. در قسمت d همان مدل با شرط مرزي تركيبي جاذب مرتبه دوم در نظر گرفته شده است. همانطور كه مشاهده ميشود كيفيت جذب امواج بازگشتي از مرزها در اين روش بطور چشمگيري افزايش يافته است.
