مقاله توصیف یک مدل دور از تعادل یک بعدی توسط یک مدل تعادلی دو بعدی

بخشی از مقاله

چکیده

در این مقاله، یک دستگاه پخشی-واداشته دور از تعادل یک بعدي با مرزهاي باز، شامل یک شوك با دینامیک ولگشت ساده را معرفی میکنیم. سپس نشان داده می شود که تابع پارش آن، با تابع پارش یک مدل گشت یک گذاري تعادلی ارتباط دارد. نشان خواهیم داد که ارتباط مستقیمی بین کمیتهاي فیزیکی این دو دستگاه از طریق یک تبدیل تشابهی وجود دارد.

مقدمه
بررسی تحول زمانی یک وزن شوك ضربی در دستگاههاي پخشی-واداشته یک بعدي همواره مورد مطالعه قرار گرفته است.[1-2] جوابهاي موج روندهي دقیقی براي برخی از مدلهاي شبکهاي غیر تعادلی یک بعدي با مرزهاي باز وجود دارد، به شرطی که آهنگ هاي واکنشهاي این شبکه قیودي را ارضا کنند. این جوابها، حرکت پخشی یک شوك ضربی با دینامیک ولگشت ساده را توصیف میکنند.حالت پایاي این دستگاهها را میتوان بر حسب برهمنهی خطی چنین شوكهایی نوشت. از طرف دیگر حالت پایاي این دستگاهها را میتوان به روش ضرب ماتریسی نیز بدست آورد. نشان داده شده است که جبر مربعی این دستگاهها تحت قیودي داراي نمایش ماتریسی دو بعدي با یک ساختار خاص است. به طوري که این قیود یقاٌدق همان قیدهایی هستند که، براي اینکه یک وزن شوك ضربی حرکت ولگشت ساده انجام دهد، لازم میباشند .[3]

تحقیق شده استمفاهیمکه بعضی از مورد استفاده در مکانیک آماري تعادلی میتواند در دستگاههاي دور از تعادل نیز توسعه داده شود، از جمله میتوان شرح گذارهاي فاز با استفاده از رهیافت یانگ-لی را نام برد .[4]در مرجع [5-6]، ارتباط بین حالت پایاي دستگاههاي پخشی-واداشته یک بعدي مانند فرآیند طردي ساده نامتقارن ASEP - با - بروزرسانی پیدرپی و موازي، با یک مدل گشت یک گذاري تحقیق شده است و در مرجع [7]، نویسندگان با معرفی دو فوگاسیته مرتبط با چگالیهاي نقاط تماس در مدل گشت یک گذاري، نمودار فاز این مدل را توضیح داده و نشان میدهند که اگرفوگاسیتهها را با آهنگهاي مرزي ASEP جایگزین کنیم، نمودار فاز دستگاه دور از تعادل به سادگی قابل شرح خواهد شد.

در این مقاله، ما در ابتدا یک دستگاه پخشی-واداشته شامل یک شوك با دینامیک ولگشت ساده را در نظر میگیریم. سپس یک مدل گشت یک گذاري که یک دستگاه تعادلی دو بعدي است، را معرفی میکنیم. در ادامه فوگاسیتههاي نقاط تماس مدل گشت یک گذاري را به آهنگهاي پرش شوك نسبت میدهیم، که منجر به تساوي تابع پارش این دو دستگاه خواهد شد. سپس با استفاده از یک تبدیل تشابهی، بین ماتریس انتقال مدل گشت یک گذاري و نمایشهاي ماتریسی دو بعدي دستگاه پخشی-واداشته، ارتباط ایجاد خواهیم کرد. به طوري که توسط همین تبدیل تشابهی، بین کمیتهاي فیزیکی این دو دستگاه ارتباط سادهاي برقرار میشود.

دستگاه پخشی-واداشته شامل یک شوك با دینامیک ولگشت ساده

یک دستگاه پخشی-واداشته شامل ذرات کلاسیکی روي یک شبکه یک بعدي به طول n در نظر میگیریم. هر جایگاه این شبکه میتواند با یک ذره اشغال و یا خالی باشد. یک وزن شوك ضربی در این دستگاه به صورت زیر تعریف میکنیم:

که در آن مکان شوك ، 0  k  n و چگاي ذرات در سمت چپ  - راست - مکان شوك، 2 1  است و چگالی جایگاههاي خالی  در سمت چپ - راست -     مکان شوك 1  2 1  1  است.    فرض میکنیم که تحت قیودي روي آهنگهاي واکنشهاي دستگاه، دینامیک حالت مشابه با دینامیک یک ولگشت روي شبکه گسسته با مرزهاي بازتابی باشد. در این حالت مکان شوك با    
 آهنگهاي    l  و r  به ترتیب به چپ و راست میجهد. مکان شوك با آهنگ خاصی از مرزها منعکس میشود که این مقدار در مرز چپ  و در مرز راست l  فرض میشود. حال تحول    
توان را می به صورت زیر نوشت:    
حالت پایاي این  دستگاه  را میتوان  به صورت برهمنهی خطی ها نوشت. در این صورت  Zn ، تابع پارش این دستگاه به صورت زیر داده میشود:                                                                     

حالت پایاي این دستگاه، به کمک صورتبندي ضرب ماتریسی نیز میتوان بدست آورد:

به طوري که D عملگر مربوط به حضور ذره در یک جایگاه و Eعملگر مربوط به جایگاه خالی میباشد. نمایش ماتریسی دو بعدي که در جبر مربعی این دستگاه صدق میکند، به صورت زیر میباشد:
 
مدل گشت یک گذاري

در یک مدل گشت یک گذاري، ولگرد روي یک مسیر دو بعدي حرکت میکند. مسیرها روي یک شبکه مربعی چرخش مسیریافته -     - Dyck قرار دارند.  هرشودمسیر از 0,0 شروع میو در نهایت به 2n,0 ختم میشود. ولگرد فقط در جهت شمال شرقی و یا جنوب شرقی حرکت میکند و از طرفی هرگز نمیتواند دو گام متوالی به شمال شرقی داشته باشد ، در حالی که میتواند فقط یکبار دو گام متوالی به جنوب شرقی داشته باشد، یعنی می-تواند حداکثر یکبار محور افقی را قطع کند.مدلنمونهاي از یک گشت یک گذاري در شکل - 1 - نشان داده شده است.مطابق با این توصیفها، n 1  مسیر مختلف به طول 2nخواهیم داشت. همانطور که در شکل نشان داده شده، هر گام می-تواند ارتفاع 0 و 1 و1 داشته باشد. اگر فوگاسیته z1  را به هر گام رو به پایین، به جز گام رو به پایینی که به محور افقی ختم میشود و فوگاسیته z2  را به هر گام رو به بالا، به جز گام رو به بالایی که به محور افقی ختم میشود، نسبت دهیم، در این صورت تابع پارش این مدل، که جمع همهي مسیرهاي ممکن است را می-توان به صورت زیر نوشت:

رابطه - 6 - را این گونه میتوان تفسیر کرد که، فوگاسیتههر به تماس از بالا با محور افقی به جز گام ابتدایی رو به بالا و فوگاسیته به هر تماس از پایین با محور افقی به جز گام انتهایی رو به بالا نسبت دهیم. را میتوان با استفاده از صورت-بندي ماتریس انتقال نوشت:ماتریس T، یک ماتریس انتقال دو گامه میباشد، ماتریس T o  رابه هر گام فرد و ماتریس T e  را به هر گام زوج نسبت میدهیمو
 R  و L  بردارهاي مرزي مسیر میباشند. در ادامه چهار بردارپایه را تعریف میکنیم:بطوري که این بردارها داراي خصوصیت زیر میباشند:که در اینجا I ماتریس یکه 2  2 است، این بردارهاي پایه را بهنقاط مسیر نسبت میدهیم، مانند شکل . - 2 - نمایش ماتریسی این بردارها را به صورت زیر در نظر میگیریم:

با توجه به بردارهاي پایه تعریف شده و همچنین ماتریسهاي انتقال، تابع پارش مدل به صورت زیر خواهد بود:براي ایجاد مسیرهاي مورد نظر، شرایط زیر روي ماتریسهايانتقال و بردارهاي پایه خواهیم داشت:با توجه به شرایط بالا نمایشهاي زیر را خواهیم داشت:دو اپراتور تماس از بالا و پایین با محور افقی را تعریف میکنیم:کمیتهاي احتمال تماس مسیر در سایت    2i ام از بالا و پایین با    محور افقی را به صورت زیر تعریف میکنیم: