بخشی از مقاله

چکیده

در این مقاله، چگونگی حل مسائل بایهارمونیک معکوس ناهمگن را در فضاي دو بعدي به روش جوابهاي بنیادي آلمانسی - AMFS - مورد بررسی قرار میدهیم . با استفاده از روشAMFS به حل مسائل خیز سطوح پرداخته که در آن خمش، لنگر خمشی و اساس مقطع فلز مورد نظر را میتوان از روي خیز حاصل پیدا نمود و با تعیین قسمتی از کران مجهول که بر اثر خوردگی فلزات ایجاد شده است، میتوان به مقاومسازي در سازههاي کامپوزیتی،دینامیکی،تئوري ورقها و پوستهها پرداخت. روش جوابهاي بنیادي - MFS - و روش جوابهاي خاص - MPS - در ترکیب با روش منظمسازي تیخانف و روش منحنی L به کار برده شده است.

واژگان کلیدي: خوردگی، سازه کامپوزیتی، روش جوابهاي بنیادي آلمانسی - - AMFS، منظمسازي تیخانف.

١- مقدمه

با توجه به کاربرد وسیع کامپوزیتها در صنعت، بویژه صنایع دریایی و هوایی، یکی از مسائلی کهخیراً مورد توجه قرار گرفته است، آسیبپذیري این مواد میباشد.[1] مسائل بایهارمونیک به صورتهاي مختلف در مسائل کاربردي روزمره از جمله مهندسی سازه، مکانیک و یا در بررسی پدیدههاي مختلف مانند مسائل الاستیسیته و مسائل حالت پایاي جریان استوکس در مکانیک سیالات مطرح میشوند.[2] مساله مطرح شده در این مقاله مورد توجه بسیاري از مهندسین و ریاضیدانان بزرگ بوده است که در حل آن در برخی حالات خاص به روشهاي مختلف بر برخی نواحی کوشیدهاند. روش ارائه شده در این مقاله، روش جوابهاي بنیادي است.

این روش الگوریتمی است که جواب تقریبی را براي بعضی مسائل بیضوي با مقادیر کرانهاي فراهم می-سازد. مسالهي تعیین بخش کرانهاي مجهول از یک دامنهي دو بعدي  R2 ، در بسیاري از کاربردهاي مهندسی مانند تست غیر مخرب مواد که باعث خوردگی میشود، اهمیت دارد. در این مقاله، یک روش عددي براي تعیین بخش کرانهاي مجهول 2 از یک دامنه کراندار  R2 که در معادلهي دیفرانسیل جزئی مرتبه چهارم غیرخطی معکوس بیضوي:

صدق کند، ارائه میدهیم که در آن  یک دامنهي کراندار از R2 با کران هموار     شامل اجتماع1 و    2 بانقاط انتهایی مشترك - - x0 , y0 و - x1 , y1 - ،    2        2    2 عملگر لاپلاس، - q - x, y تابع به طور تکهاي پیوسته در     وصلبیت خمشی - - D - - x, y تابعی معلوم میباشد.فرض کنیم بر 1 ، - - x, y در شرایط کرانهاي زیر صدق کند:

در حالی که بر2 در شرط فوق اضافی:

صدق کندکه در آن  nبردار قائم خارجی بر 1 ، توابع f،g،f1 ، f2 و f3 پیوسته بر دامنههایشان میباشد.بخش 2 این مقاله اختصاص به وجود و یکتایی جواب مسألهي - 5 - - - 1 - دارد. چگونگی حل عددي مسأله به روش MFS در بخش 3 مورد توجه قرار میگیرد. در بخش 4 یک مثال عددي ارائه میشود و در نهایت در بخش 5 نتیجهگیري بیان میشود.

-2 وجود و یکتایی جواب مسأله معکوس - 5 - - - 1 -

در این بخش، یکتایی جواب - 2, - از مسألهي معکوس - - 5 - - - 1 را نشان میدهیم. بدین منظور فرض کنیم:

در این صورت مسأله - 5 - – - 1 - به دو مسألهي:

تقسیم میشود. وجود و یکتایی مسأله پوآسن مستقیم - 7 - - - 6 - از وجود و یکتایی جواب مسألهي لاپلاس متناظر و یکتایی جواب خاص مسأله نتیجه میشود.[3] براي مسأله پوآسن معکوس - 10 - - - 8 - ، از تبدیل معکوسپذیرs0 - یک عدد ثابت مثبت - TD - s -  s D - - d ,که در مرجع [4] آمده است، استفاده میکنیم. مسأله - 10 - - - 8 - به یک مسأله تعیین بخش کرانهاي مجهول 2 در شکل دیورژانس تبدیل میشود، در این صورت داریم:

براي هر جواب - - x, y از مسألهي معکوس - - 10 - – - 8، اگر - - x0 , y0 یک ثابت نامنفی باشد، تعریف میکنیم:

با این تبدیل، - V - x , y با توجه به مسأله معکوس - 10 - – - 8 - در مسأله زیر صدق میکند: [4]

حال فرض کنیم دادههاي کرانهاي دیریکله روي در نقاط x0 , y0 - - و - x1 , y1 - سازگار باشندیعنیf2 - x0 , y0 -  f 3 - x0 , y0 - وf2 - x1 , y1 -  f 3 - x1 , y1 - ، توابع f2 و f3 یکنواي اکید به ترتیب روي کرانهايکمکی1 و 2 ، rang f 2  rang  و rang f 3  rangکه  در آن حوزهها نقاط تکین ندارند،  با اینشرایط وجود ویکتایی جواب مسأله معکوس - 13 - – - 11 - حاصل میشود.[4] بنابراین مسأله - 5 - – - 1 - داراي جواب یکتا است.

-3 حل مسأله - 7 - - - 6 - به روش جوابهاي بنیادي
براي حل این مسأله ابتدا به روش جوابهاي خاص - MPS - یک جواب خاص از مسأله مییابیم. اگرU0 یک جواب خاص معادلهي ناهمگن - 6 - باشد، یعنی - 2U 0 - x , y -  q - x ,y پس تابع U1  U  U0 در مسألهي لاپلاس:    
صدق میکند، در این مسأله، اگر توابع موجود در شرایط کرانهاي پیوسته باشند و در شرایط سازگاري مناسبی صدق کنند، مسألهي - - 15 - – - 14 داراي جواب یکتا است.[5] روشی براي یافتن جواب خاص U0 از مسأله - 7 - - - 6 - ، استفاده از فرموللانتگرااَتکنسن به صورت زیر است:[6]
که در آنp - px, py -  و - dV - αعنصر مساحت است. اگر 0 یک ناحیه بزرگتر شامل و q - α - به طور هموار روي 0 توسعه داده شود، میتوان نوشت:

ناحیه0 به گونهاي انتخاب میشود که انتگرال - - 17 به آسانی محاسبه شود.در این صورت جواب خاص U0 به صورت زیر در میآید:                                                                                                  

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید