بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله با به کارگیری روش شبکه های تانسوری درختی به بررسی سیمای فاز مدل آیزینگ ناهمسانگرد با میدان عرضی روی شبکه شطرنجی می پردازیم. نشان می دهیم که یک فاز پلاکتی با شکست تقارن انتقالی در ناحیه میانی بسیار کوچکی از سیمای فاز بین فازهای نیل و همخط در میدان های پایین پدیدار می گردد. نقاط بحرانی مرزی بین این فازها را با استفاده از مانستگی، مشتقات انرژی و پارامترهای نظم موضعی - همچون پارامتر پلاکتی - بدست می آوریم.
سپس با استفاده از روش مقیاسی اندازه محدود، نقطه ی گذار فاز را دزست در جایی که سیستم بیشترین درماندگی را تجربه می کند - J1=J2 - بدست آورده و با روش های دیگر مقایسه می کنیم. نتیجه بدست آمده در توافق بسیار خوبی با دیگر نتایج گزارش شده می باشد. علاوه براین، روش شبکه تانسوری درختی بر خلاف روش مونته-کارلو که وجود یک فاز میانی نیل را پیش بینی می کند، تنها یک فاز پلاکتی را قبل از ورود به فاز پارامغناطیس در میدان های بالا آشکار می سازد. این نتیجه در توافق خوبی با نتیجه روش عملگر خوشه ای نیز می باشد.
مقدمه
یافتن حالت پایه سیستم های بس ذره ای و مشخصه یابی ماهیت آن ها از سوالات اساسی فیزیک ماده چگال هستند. متاسفانه، رشد نمایی درجات آزادی - فضای هیلبرت - یک چنین سیستم هایی، مطالعه ی آنها را بسیار مشکل می سازد. اگر چه در موارد بسیار نادر، می توان یک جواب تحلیلی برای حالت واقعی سیستم یافت، اما حتی با دانستن این حالت، مشخصه یابی و محاسبه ی کمیت های فیزیکی مورد علاقه می تواند فرایندی بسیار پیچده و غیر عملی باشد. از این رو، توسعه و معرفی رهیافت های جامع برای حل یک چنین مسائلی از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است.
در این راستا، حالت های شبکه های تانسوری به عنوان یک رهیافت نوید بخش نوین، برای پاسخ دادن به اینگونه مسائل مطرح شده است. در این رهیافت، حالت های کوانتومی بر اساس ساختار درهمتنیدگی به صورت شبه کلاسیکی نمایش داده می شوند. این نمایش دارای دو مزیت اساسی است، - 1 - می توان روش های وردشی قدرتمندی برای مطالعه ی کمیت های فیزیکی مورد نظر طراحی کرد و - 2 - می توان به طور مستقیم ماهیت فاز های گوناگون را مورد بررسی قرار داد و به دستبه بندی فاز های کوانتومی پرداخت. روش های عددی مبتنی بر حالت های شبکه تانسوری، قابلیت کاربردی بسیار بالایی دارند و می توانند برای مطالعه ی تقریبا تمامی سیستم های مورد علاقه امروزی استفاده شوند.
برای مثال، روش کوانتوم مونته-کارلو به دلیل وجود مشکل علامت، قابلیت بررسی سیستم های الکترونی و درمانده را ندارد، با این وجود شبکه های تانسوری از این مشکل رنج نمی برند. هدف ما در این پژوهش، مطالعه ی سیستم اسپینی آیزینگ J1-J2 در میدان عرضی روی شبکه دو بعدی شطرنجی با روش عددی حالت شبکه تانسوری درختی و مشخصه یابی فاز های آن می باشد. با استفاده از پارامترهای نظم جهان شمول شبیه مانستگی حالت پایه، مغناطش و مشتق آن و پارامتر های نظم موضعی، سیمای فاز این مدل را مورد مطالعه قرار خواهیم داد.
نشان می دهیم که درست در جایی که سیستم بیشترین درماندگی را تجربه می کند یک فاز پلاکتی در ناحیه بسیار کوچکی از نمودار فاز به وجود می آید که توسط گذار فاز های متفاوت از فاز های نیل، همخطٌ و پارامغناطیس کوانتومی جدا می شود. با استفاده از روش مقیاسی اندازه محدودٍ، نقطه ی گذار فاز را برابر با Γc ∼ 0.28 پیش بینی کردیم. این نتیجه کاملا منطبق با نتایج اخیر روش های کوانتوم مونته-کارلو و عملگر خوشه ای است .[1,2] با این وجود، محاسبات ما نشان می دهد، برخلاف مطالعات قبلی که وجود یک فاز نیل را پیش از ورود به حالت پارامغناطیس پیش بینی می کند، تنها فاز موجود در نقطه J1=J2 قبل از ورود به فاز پارامغناطیس کوانتومی، فاز پلاکتی است. این نتیجه منطبق با روش اختلالی خوشه ای نیز می باشد .[2]
معرفی مدل
برای بدست آوردن این نمودار فاز به کمک روش شبکه تانسوری درختی [3]، که یک روش مشابه روش قطری سازی دقیق با دقت محدود است، از کمیت های متفاوتی همچون مشتق انرژی در مرتبه های مختلف، مانستگی حالت پایه و پارامتر نظم پلاکتی استفاده می کنیم. دقت انرژی محاسبه شده در بدترین شرایط از مرتبه ی 10-4 برای سیستم 8*8 و 10-6 برای سیستم 6*6می باشد. برای بدست آوردن یک چنین دقتی ما بعد پیوند در شبکه های تانسوری را از مرتبه ی χ∼400 انتخاب می کنیم.
نتایج محاسباتی
در این بخش نتایج محاسباتی و شواهد خود را، به طور خلاصه، برای توجیه سیمای فاز شکل1 بیان می کنیم. برای این کار، مسیر های متفاوتی بر روی سیمای فاز انتخاب کرده و کمیت های مورد نظر خود را محاسبه می کنیم. تمرکز عمده ی ما بر روی دو مسیر - J2/J1=1 , - و - - J2/J1 , =0.2 خواهد بود. برای اینکه ماهیت فاز پلاکتی را آشکار کنیم از پارامتر نظم پلاکتی استفاده می کنیم.
