بخشی از مقاله
چکیده
در پژوهش حاضر برای نخستین بار، ارتعاشات عرضی نانوتیرهای مدل اویلر - برنولی با جرمهای متمرکز متعدد قرار گرفته بروی بستر الاستیک وینکلر بررسی شده است. مدل بر اساس تئوری الاستیسیته غیرمحلی1 در حضور جرمهای ارائه شده است.حل تحلیلی برای فرکانسهای طبیعی و شکل مدهای ارتعاشی توسط روش اختلال هموتوپی2 ارائه گردید.نتایج برای دو حالت نانوتیر بدون جرم متمرکز و با یک جرم متمرکز برای دو شرط تکیهگاهی استاندارد، دوسر مفصل و دوسر گیردار بدست آورده شد و با مرجع معتبری در حالت ساده شده مدل، صحت آنها بررسی گردید.همانگونه که انتظار داشتیم با افزایش ضریب غیرمحلی،مقدار و اندازه جرم متمرکز و مدول وینکلر3، فرکانس طبیعی بهترتیب کاهش،کاهش و افزایش مییابد.لازم بهذکر است کارآمدی روش برای هرتعداد جرم متمرکز و در هر موقعیتی از تیر بسیار بالا میباشد.
واژه های کلیدی:ارتعاشات عرضی،تئوری الاستیسیته غیرمحلی،جرم متمرکز،روش اختلال هموتوپی
مقدمه
در دهههای اخیر، کارهای قابل ملاحظهای در جهت توسعه بخشیدن به روشهای جدید و مدرن برای حل تحلیلی و عددی معادلات دیفرانسیل و انتگرالی خطی یا غیرخطی، صورت گرفته شده است. از روشهای جدید میتوان به روش اختلال هموتوپی اشاره کرد.جی هوان هی4 استاد مکانیک دانشگاه دونگوآ چین در سال 1999 میلادی یک روش اختلال مدرن[1] بهنام روش اختلال هموتوپی را معرفی کرد که اولا تمام خواص اختلال کلاسیک را دارا میباشد و ثانیا این روش نه تنها برای پارامتر کوچک بلکه برای پارامترهای خیلی بزرگ هم معتبر میباشد. این روش بر خلاف روشهای اختلال پیشین دیگر وابسته به پارامتر کوچک که شاید از بزرگترین ضعف-های روش اختلال است نمیباشد.
این روش بهوسیله خود هی در چندین معادله غیرخطی بهکار گرفته شده است که در همه حالتها،روش، عملکرد عالی داشته است. این روش بهدلیل سادگی در حل و دقت بالا مورد توجه محققان بسیاری از سرتاسر جهان قرار گرفته است که در میان آنها میتوان به ازیش[2] 5، عباس بندی [3] و در سالهای اخیر نیز محققانی همچون چان[4]6، خادر[5] 7، کائو[6] 8 اشاره نمود که توانستهاند این روش را با موفقیت در معادلات غیرخطی مختلفی پیاده کنند.در ادامه پژوهش حاضر،روش اختلال هموتوپی بهکار گرفته شده است تا بتوان فرکانس های طبیعی نانوتیر مورد بحث با وجود جرمهای متمرکز و بدون در نظر گرفتن جرم را بهدست آورد.نتایج در جداول جداگانهای ارائه شده است و تاثیر پارامترهایی همچون ضریب غیرمحلی،مدول وینکلر،مقدار و تعداد جرم متمرکز بر روی فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای سیستم مورد بحث قرار گرفتهاست.
روش اختلال هموتوپی
برای توضیح ایده اساسی و پایهای روش اختلال هموتوپی، هی معادله دیفرانسیل غیرخطی زیر با شرایط مرزی متناظر با آن را بهصورت زیر در نظر گرفت.که در معادلات - 1 - و - 2 - ، A اپراتور دیفرانسیل کلی،bاپراتور مرزی، - f - r یک تابع تحلیلی و مرز دامنه است.اپراتورA را میتوان به دو قسمت خطی L و غیرخطی Nتقسیم کرد. بنابراین معادله - 1 - را میتوان بهصورت زیر نوشت. هی یک هموتوپی به شکل R [0,1] - r , p - : ساخت که در معادلات زیر صادق باشد.که y 0 یک تقریب اولیه و جواب تقریبی معادله - 1 - هستند. معادله - 4 - یا - 5 - یک معادله اختلال با پارامتر جادهی نامیده می شود و میتوان آن را بهوسیله روشهای مرسوم اختلال حل نمود که این روشها با بهکار بردن متغیر جادهی p مانند یک پارامترکوچک این کار را انجام میدهند. روشن است که , p - H - یکهموتوپی را تعریف میکند، زیرا که شرایط زیر را برآورده میکند.
وقتی p از صفر تا یک تغیر میکند، معادله , p - H - ازتغیر میکند که در توپولوژی به این حالت تغیر شکل گویند و L - - L - y 0 - و f - r - - A - راهموتوپیک می نامند.اکنون برای حل معادلات - 4 - یا - 5 - ، پارامتر جادهی p را مانند یک پارامتر کوچک بهکار میبریم و فرض میکنیم جواب - 4 - یا - 5 - بهصورت یک سری توانی برحسب p باشد مینامند.اکنون برای حل معادلات - 4 - یا - 5 - ، پارامتر جادهی p را مانند یک پارامتر کوچک بهکار میبریم و فرض میکنیم جواب - 4 - یا - 5 - بهصورت یک سری توانی برحسب p باشد یعنی:وقتی 1 p معادله - 4 - یا - 5 - متناظر با معادله - 1 - میشود و بهاین ترتیب معادله - 7 - جواب تقریبی معادله - 1 - می شود.
سری فوق در اغلب موارد همگراست، هر چند که سرعت همگرایی آن به اپراتور غیرخطی - - A و حدس اولیه بستگی داردروابط حاکم در ارتعاشات نانوتیر اویلر- برنولیبا انتخاب یک المان از تیر و معرفی - m - x به عنوان جرم واحد طول در هر نقطه، - A - x مساحت سطح مقطع برش، I ممان اینرسی سطح مقطع حول محور E , z ضریب الاستیسیته و kw مدول وینکلر، در ادامه معادلات حرکت برای نانوتیر اویلر- برنولی حاصل خواهد شد.با توجه به دیاگرام آزاد جسم،میتوان معادله حرکت در جهت عمودی را بدست آورد. تصور کنید که یک جرم متمرکز mi در موقعیت x i از تیر همانند شکل - - 1 قرار بگیرد.معادلات حرکت و ممان برای یک نانوتیر اویلر- برنولی با N جرم متمرکز در ارتعاش آزاد بهصورت زیر حاصل میگردد.
که در روابط فوق تئوری پیشنهادی الاستیسیته غیرمحلی مورد استفاده قرار گرفته شده است و برای یک نانوتیر در یک راستا، معادلات ساختاری غیرمحلی میتواند بهصورت زیر نوشته شود.[7]
که a طول مشخصه داخلی و e0 ثابتی است که به جنس ماده بستگی دارد.برای اینکه بتوانیم مسئله را از نقطه نظرهای گوناگونی بررسی کنیم،ابتدا سعی برآن خواهیم داشت تا از بی بعدسازی های مناسب به فرم ساده تری از معادلات برسیم،از این رو از روابط بیبعد زیر بهره خواهیم برد.با استفاده از روابط فوق به معادله ارتعاشات عرضی یک نانوتیر اویلر- برنولی با جرمهای متمرکز متقارن که کل مجموعه روی یک بستر الاستیک وینکلر قرار گرفته است، دست خواهیم یافت.
آنالیز ارتعاشی نانوتیر اویلر- برنولی با جرم متمرکز توسط روش اختلال هموتوپی
اگر معادله بیبعد - 13 - را برای حالت یک جرم متمرکز ساده کنیم و هموتوپی توضیح داده شده را برای معادله را تشکیل دهیم به معادله زیر دست مییابیم.که iدقت شود با توجه به اینکه تابع دلتای دیراک در شرایط مرزی مورد نظر و در موقعیتی که جرم متمرکز را در آن محل قرار میدهیم مقدار یک را بهخود میگیرد و در بقیه نقاط مقدارش صفر میشود، بنابراین تنها مجهول عبارت ، مقدار نامعلوم فرکانس طبیعی بیبعد شده و یا همان میباشد. با فرض جواب همانند رابطه - 5 - و با جایگذاری آن در معادله - 14 - و جداکردن ترمها بر اساس توانهای p معادلات زیر حاصل میگردند.با جایگذاری y 0 و 0در 15 - ب - ، 1بدست میآید و اگر به همین ترتیب عمل کنیم با توجه به جمله عمومی در 15 - د - j ها بدست میآیند.
جواب نهایی را نیز میتوان با توجه به رابطه - 8 - وجوابهای بدست آمده از رابطه - 15 - نوشت. لازم به ذکر است که j ها بر حسب پارامترهایی هستند که همگی بجز و 4 مقادیر معلوم و مشخصی دارند که با در نظر گرفتن شرط مرزی و مقادیر دلخواهی از میتوان فرکانسهای طبیعی اول را برای نانوتیر مورد نظر با یک جرم بدست آورد.نکته حائز اهمیت این است که حدس اولیه - - y 0 را باید بهگونهای انتخاب کرد که همگرایی با سرعت و دقت بیشتری حاصل گردد واین امر در رسیدن به فرکانسهای دقیقتر نقش بسیار مهمی را ایفا مینماید.
نتایج
در این قسمت جدولهای - 1تا - 4 ارائه میشوند که بهترتیب نسبتهای فرکانسی برای نانوتیر اویلر- برنولی بدون جرم متمرکز و با یک جرم متمرکز میباشند. در جدولهای - - 1 و - 2 - نسبتهای فرکانسی اول تا چهارم را با تغییرات در ضریب غیرمحلی و مدول وینکلر بدست آوردهایم. با توجه به اعداد بدست آمده مشخص است که با افزایش ضریب غیرمحلی نسبت فرکانسی کاهش مییابد. همچنین هنگامیکه مدول وینکلر را افزایش میدهیم نسبت فرکانسی افزایش یافته است. با دقت در فرکانسهای بدست آمده میتوان به دقت بسیار بالای روش اختلال هموتوپی پی برد.برای درک بهتر از آنالیز مسئله،فرکانس طبیعی حاصل شده را بر فرکانسطبیعی نانوتیر بدون جرم تقسیم نموده و نسبت فرکانسی بیبعد شده اول را در قسمت نتایج ارائه مینماییم.
