بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مدلسازي موقعیت سه بعدي ماهوارههاي GRACE با تلفیق تقریب چندجمله اي
چکیده
ژئودزي فیزیک شاخهاي از دانش ژئودزي است که به بررسی دقیق و موشکافانه میدان گرانی زمین و تغییرات آن می پردازد. در این راستا علاوهبر مطالعات خاص و دقیق روي سطح زمین، به بررسی مدار ماهوارههاي در گردش پیرامون زمین میپردازد و با تحلیل مدار ماهوارهها تغییرات میدان گرانی را به صورت دقیقتر و در مقیاسهاي جهانی به دست میآورد. ماهوارة GRACE دومین نسل از ماهوارههاي مخصوص گرانی سنجی است که هدف از مأموریت آن بررسی تغییرات زمانی میدان گرانی زمین است. این ماهواره از دو کانال متفاوت به ثبت اطلاعات مدار میپردازد. گیرندههاي نصب شده روي جفتماهوارة GRACE مختصات را هر 60 ثانیه در سامانه مختصات جهانی WGS84 ثبت میکنند. سامانه فاصلهیابی (K-band Ranging System, KBR) تغییرات موقعیت نسبی دو ماهواره و سرعت این تغییرات را هر 5 ثانیه ضبط میکند. در بررسی تغییرات محلی میدان گرانی، در صورت اکتفا کردن به مشاهداتی با نرخ اندازهگیري موقعیت با گیرندههاي GPS با کمبود مشاهدات مواجه خواهیم شد. تلفیق این مشاهدات سبب میشود تا توانایی تجزیه و تحلیل مدار ماهواره و به تبع آن میدان گرانی زمین را تا درجه و مرتبههاي بالاتر افزایش یابد. ازاینرو در این مقاله سعی شده تا با تلفیق روش درونیابی لاگرانژ (Lagrange) و تقریب ارمیت (Hermite) به نحو مطلوب از مختصات سه بعدي ماهوارههاي GRACE و مشاهدات اسکالر دستگاه KBR در مدلسازي تغییرات میدان گرانی بهره برد.
واژههاي کلیدي: GRACE، درونیابی، تقریب ارمیت، تقریب لاگرانژ، تلفیق داده ها
1 مقدمه
گرانی نیرویی نامرئی است که از طرف دو جرم به یکدیگر اعمال میشود. با وجودي که گرانی نسبت به سایر نیروهاي اساسی موجود در طبیعت نظیر الکتریسیته و مغناطیس ضعیفتر است، تأثیرات آن چشمگیر و در همهجا قابل درك است. گرانی میتواند از حرکت جزرومد اقیانوس ها گرفته تا گسترش گیتی را تحت کنترل داشته باشد. ژئودزي فیزیک شاخهاي از دانش ژئودزي است که اندازهگیريهاي دقیقی از زمین را عملی میسازد تا بتوان به بررسی میدان گرانی آن پرداخت. تهیه یک مدل دقیق از واپیچشهاي میدان گرانی روي سطح زمین کاري بسیار دشوار است. امروزه داده هاي به دست آمده از ماهوارهها را میتواند براي مدل کردن میدان جاذبه زمین مورد استفاده قرار داد. این مدلها نقش مهمی در به دست آوردن جزئیات میدان جاذبه زمین در مقیاسهاي بزرگ ایفا میکنند اما نمیتوانند جزئیات را با دقت بیشتر و به صورت پالایش یافته توصیف کنند. همچنین قادر نیستند تغییرات کوچک ماهانه را در ارتباط با چرخه هیدرولوژیکی توضیح دهند. براي رفع این نواقص ماهوارههاي گرانیسنجی پا به عرصه وجود گذاشتند (شریفی، .(2004 ماهوارة GRACE پس از ماهوارة CHAMP دومین ماهوارة قدرتمند در زمینه گرانیسنجی و اولین نسل از ماهوارههاي خوشهاي است که از یک جفت ماهوارة مشابه تشکیل شده است که در یک مدار 450 کیلومتري قرار دارند و ماهوارة عقبی با فاصله 220 کیلومتري، ماهوارة جلویی را تعقیب میکند (شکل.(1
اطلاعات به دست آمده از این ماهوارهها مدلهاي گرانی را تا چندین درجه و مرتبه بهبود میدهد و باعث شده تا جزئیات میدان گرانی زمین چه روي دریا و چه در خشکی در مقیاسهاي وسیعتر و به صورت پالایشیافتهتر به دست آید (جاگی و همکاران، .(2007
شکل.1 ماهوارههاي دوقلوي GRACE و سامانههاي تعیین موقعیتی آن (شریفی، .(2004
اطلاعات مدار این ماهواره از دو دستگاه اندازهگیري متفاوت حاصل میشود. موقعیت دو ماهواره از طریق سامانه تعیین موقعیت جهانی GPS با استفاده از گیرندههایی که روي جفتماهواره قرار دارند ثبت میشود که سرعت ثبت اطلاعات موقعیتی جفت ماهواره درآن 60 ثانیه است. بهعلاوه سرعت و شتاب نسبی دو ماهواره با دستگاه KBR در فواصل زمانی 5 ثانیه ثبت میشود. (شکل.(1 لذا هنگام پردازش همزمان این اطلاعات بخش عظیمی از داده هاي مداري سرعت و شتاب براي هماهنگی با داده هاي موقعیتی کنار گذاشته میشود. از این رو هدف از این مقاله متراکم کردن داده هاي موقعیتی دو ماهواره از راه اطلاعات حاصل از دستگاه KBR سرعت( ( ρ و شتاب( ( است. ازاینرو ابتدا رابطه سرعت و شتاب با مختصات دکارتی ماهواره به دست میآید و سپس با کمک درونیابی لاگرانژ مختصات 5 ثانیهاي ماهوارهها تعیین میشود. بعد از آن به طور همزمان با مشاهدات سرعت و شتاب به روش تقریب ارمیت سرشکن و نتایج به دست آمده با مشاهدات شبیه سازي شده مقایسه میشود.
2 مدلسازي ریاضی
1-2 معرفی تقریب چندجمله اي ارمیت
درونیابی به روش چندجمله اي ارمیت روشی بسیار نزدیک به روش درونیابی تقسیم تفاضلی نیوتن در آنالیز عددي است، که به ما اجازه می دهد مشتقات نقاط داده شده را همزمان با خود نقاط در مدلسازي عددي مورد استفاده قرار دهیم. در این روش از توابع چندجمله اي براي مدلسازي داده ها استفاده میشود. علاوه بر خود تابع، مشتقات آن نیز در حل مسئله شرکت میکنند و لذا از میان روشهاي درونیابی ساده این روش به خاطر در بر داشتن مشتقات تابع به صورت مشاهده در مدلسازي میتواند بهترین برازش را به داده ها داشته باشد (مث ورلد، .(math world
هرگاه n+1 مقدار تابعی مجهول در نقاط گوناگون به صورت موجود باشد که در آن هیچ دوxi ي یکسان نباشد، میتوان چندجمله اي را به صورت زیر بهمنزله یک تابع تقریب کننده، به این داده ها برازش داد.
و میتوان آن را به صورت براي i ∈0,1, ..., n بیان کرد. هرگاه مشتقات این داده ها نیز در نقاط مربوط موجود باشد یا به عبارتی داده ها به صورت (( (xi , f (xi ), f (xi ),... , f ( m ) (xi داده شده باشند، آنگاه مشتق این چندجمله اي نیز به این داده ها برازش داده میشود.
به این ترتیب براي به دست آوردن ضرایب چندجمله اي مناسب که به داده ها برازش یابد دستگاه معادلات به صورت زیر خواهد بود.
با به دست آوردن ضرایب چندجمله اي میتوان روي داده هاي موجود درونیابی کرد.
وجود مشاهدات مشتق تابع باعث میشود تغییرات ناخواسته تقریب با چندجمله ايها که نقص اصلی این روش به شمار میرود، برطرف شود و از طرفی میتوان با تعداد مشاهدات کمتري تقریب خوبی از تابع مجهول f(x) به دست آورد.
2-2 درونیابی لاگرانژ
چندجمله اي درونیاب لاگرانژ به ازاي n نقطه مشاهداتی یک چندجمله اي از درجه n-1 ایجاد میکند که به صورت است. بزرگ ترین درجه چندجمله اي n-1 است که از بین n نقطه عبور داده میشود و مطابق رابطه است. در حالت بسط یافته، این رابطه به صورت زیر خواهد بود (مثورلد):
هنگامی که چندجمله اي هاي درونیاب در این روش بهکار گرفته میشوند، رابطهاي بین داشتن یک برازش بهتر و داشتن یک تابع برازش یافته هموار وجود دارد. هرچه تعداد نقاط بهکار رفته در درونیابی بیشتر باشد، درجه بالاتري از چندجمله اي به دست میآید (شکل(2 و چندجمله اي با درجه بالاتر در بین نقاط نوسانات زیادي خواهد داشت. بنابراین یک درونیاب درجه بالا یک تابع پیشبینی کنندة ضعیف در فاصله بین نقاط است، هرچند که دقت در بین نقاط مشاهداتی مناسب باشد (شریفی و همکاران، .(1387
شکل.2 درونیابی نقاط با توابع چندجمله اي از درجات متفاوت(مثورلد).
ازآنجاکه هدف متراکمسازي نقاط و تعیین مختصات ماهواره در حد فاصل نقاط مشاهداتی است لذا روش درونیابی لاگرانژ که روشی متداول در بحث درونیابیهاي مداري است، کارایی نخواهد داشت. ولی میتوان از این روش بهمانند یک الگوریتم تولیدکنندة مختصات تقریبی در حدفاصل نقاط مشاهداتی استفاده کرد و نتایج حاصل را درحکم اطلاعات اولیه موقعیتهاي مجهول در مدل تقریب موقعیتهاي ماهواره وارد کرد.
3-2 مدلسازي تقریب چندجمله اي ارمیت در ترکیب با درونیابی لاگرانژ
ازآنجاکه مختصات ماهوارههاي GRACE هر 60 ثانیه و سرعت و شتاب نسبی آنها در فواصل زمانی 5 ثانیه ثبت میشود، علاقمندیم که با تلفیق مشاهداتی که نرخ نمونهبرداري آنها متفاوت است، داده هاي ماهوارة GRACE را که از راه گیرندههاي GPS ثبت میشوند با تراکم بالاتر و دقت مناسبی بازیابی کنیم. براي این منظور از تقریب چندجمله اي ارمیت کمک میگیریم. در مقاله شریفی و همکاران (1387) با روش ارمیت فاصله نسبی بین ماهوارههاي GRACE با چندجمله ايها مدلسازي شده و نتایج مناسبی به دست آمده است. علت استفاده از روش ارمیت نیز این است که مشاهدات، فاصله، سرعت و شتاب نسبی هستند، و ازآنجاکه سرعت و شتاب مشتقات مراتب اول و دوم فاصله هستند، بهترین روش مدلسازي مسئله روش ارمیت است. چرا که در این روش به طور همزمان یک مدل براي همه مشاهدات به دست میآید. حال از این روش در مسئلهاي استفاده میشود که سرعت و شتاب بهطور مستقیم از مشتق موقعیت دکارتی سه بعدي ماهواره به دست نمیآیند و لذا مسئله ارمیت دیگر نمیتواند مسئلهاي خطی باشد. ازاینرو لازم است که ابتدا رابطه بین موقعیت با سرعت و شتاب به دست آید. براي این منظور ابتدا فرض میکنیم هریک از سه مؤلفه موقعیت نسبی در هر بازه مثل j بین دو نقطه مشاهداتی با یک چندجمله اي از مرتبه n تقریب شوند:
که در آن cij ,bij , aij ها ضرایب مجهول چندجمله ايهاي تقریبکنندة هستند که در حالت برداري به صورت bj , aj و cj نمایش داده میشوند. همچنین ( P( j چندجمله اي تقریبکننده از درجه j است.
در صورتیکه بردار اختلاف مختصات به صورت رابطه (8) نمایش داده شود، میتوان روابط زیر را براي فاصله، سرعت و شتاب تغییرات بین دو ماهواره برحسب چندجمله ايها نوشت:
که در آن K P( j)T P( j) ماتریس حاصل از ضرب چندجمله ايها است.
که در آن K1 P( j)T P( j) ماتریس حاصل از ضرب چندجمله ايها و مشتقات مرتبه اول آنها است. درنهایت شتاب تغییرات فاصله نیز به صورت
خواهد بود که برحسب چندجمله ايها به صورت زیر نتیجه میشود:
