بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک روش عددی کارآمدی برای حل نوعی از دستگاه معادلات انتگرال ارائه شده است. یکی از پرکاربردترینِ این نوع معادلات انتگرال، معادلات انتگرال فردهلم است که در شاخههای مختلف علوم فنی -مهندسی، مباحث ریاضی و فیزیک دیده میشود. این مقاله با هدف توسعهی حل دستگاه معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم، به دنبال استفاده از روش مناسبتری است. روش مورد استفاده در این مقاله، بهرهگیری از چندجملهایهای برنشتاین1 است. با بهکار بردن این روش، بهدلیل سهولت استفاده از چندجملهایهای برنشتاین و ویژگیهای بسیار خوب آن، آسانتر از روشهای دیگر که برای حل این نوع دستگاه معادلات بهکار برده شده، میتوان به جواب دقیق و یا جواب تقریبی بسیار نزدیک به جواب دقیق معادلات دست یافت؛ یعنی استفاده از چندجملهای برنشتاین برای حل این نوع دستگاه نتایج بهتری را میدهد. در حل دستگاه معادلات انتگرالی که در آن چندجملهایهای ساده داریم، جواب بهدست آمده با استفاده از این روش همان جواب دقیق مسأله مسأله خواهد بود، اما در روشهای مشابه جواب بهدست آمده، تقریبی و با خطای بیشتر است. در این مقاله با ارائهی چند مثال به بررسی و مقایسه این روش و روش دیگری که برای حل این نوع معادلات بهکار برده شده، پرداخته شده و کارایی این روش نشان داده شده است. برای انجام تمام محاسبات مثالهای این مقاله از میپل2 استفاده شده است.
واژه های کلیدی:دستگاه ، معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم، چندجملهای برنشتاین
مقدمه
معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم یکی از مهمترین معادلات در ریاضیات است. یکی از شیوههای حل این معادلات، تقریب زدن آن است که نخستین بار بهوسیله رِن3 و همکارانش در سال 1999 مطرح شد، که با استفاده از بسط تیلور آن را ارائه دادند .[1]مالکنژاد و همکارانش در سال 2006 ، با بهرهگیری از روش بسط تیلور، دستگاه معادلات انتگرال را به دستگاه معادلات دیفرانسیلمعمولی ساده تبدیل کردند که به سادگی قابل حل است. روش بهکار رفته به وسیلهی آنها دارای کارایی بالایی بود و برای حتی معادلات انتگرال ولترا نیز قابل استفاده بود.[2]باتاچار و مندل در سال 2007، از چندجملهایهای برنشتاین برای تعیین تقریب جوابهای عددی یک معادلهی انتگرال دیفرانسیل خاص با هستهی کوشی استفاده کردند که روشی همگرا برای هر کلاسی از معادلهی انتگرال بود.4]،[3
یکی از مناسبترین روشها برای تقریب زدن تابعها، استفاده از چندجملهایهای برنشتاین است. چندجملهایهای برنشتاین نخستینبار توسط سرژ برنشتاین در سال 1912 معرفی شد. این چندجملهایها ابتدا برای تقریب زدن توابع پیوسته معرفی شدند. چندجملهایهای برنشتاین، چندجملهایهای مثبت هستند که مجموع آنها برابر یک است و روی یک بازه تعریف میشوند و برای معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی دیریکله مورد استفاده قرار گرفته است.[5] این چندجملهای از درجهی در بازهی بهصورت زیر تعریف میشوند:به ازای هر، چندجملهایهای برنشتاین همواره نامنفی هستند؛ یعنی . با توجه به اینکه چندجملهای برنشتاین در بازهی تعریف شده است، با یک تبدیل خطی، میتوان دامنهی چندجملهایهای برنشتاین را به بازهی کلی منتقل نمود.
در این صورت چندجملهایهای برنشتاین از درجهی ، در بازهی عبارتاند از:در این مقاله دربارهی چندجملهایهای برنشتاین صحبت میشود که بسیار مفید برای حل دستگاه معادلات انتگرال فردهلم از هر نوعی از این نوع معادلات است. این روش، جواب عددی دقیقتری را برای حل دستگاه معادلات فردهلم بهدست میآورد و انعطافپذیری بیشتری نسبت به روشهایی مانند روش بسط تیلور و مشابه آن دارد، با استفاده از این روش معادلات تبدیل به معادلات انتگرال ساده میشوند، بهعبارتی با استفاده از چندجملهایهای برنشتاینجواب دستگاه معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم تقریب زده شده است.بخش دوم این مقاله، به بیان روش کلی اختصاص یافته است که در این بخش به بیان دو مثال و بحثهای لازم دربارهی نتایج حاصل و به مقایسه با روشی که برای حل این نوع دستگاه معادلات بهکار رفته میپردازیم. بخش سوم این مقاله به نتایج حاصل از این مقاله پرداخته شده است.
روش کلی: در این مقاله میخواهیم به بررسی حل دستگاه معادلات انتگرال فردهلم و روش ارائه شده بپردازیم. فرم کلی دستگاه معادلهی انتگرال فردهلم نوع دوم به صورت زیر است:که تابع مجهول است و مقدار آن تعیین میشود ، هستهی انتگرال و تابع معلوم است. در این معادله:فرض میکنیم که این دستگاه دارای جواب باشد. معادلهی -ام این دستگاه را بهصورت زیر در نظر بگیرید:
حل این دستگاه بهوسیلهی بسط تیلور مورد بررسی قرار گرفت، به دنبال روشی بودیم که آسانتر و دقیقتر از روشهای مورد استفادهی قبل به جواب برسیم، یکی از مناسبترین روشها، استفاده از چندجملهایهای برنشاین برای حل این نوع دستگاهها است. با استفاده از چندجملهایهای برنشتاین تابع را بهصورت زیر تقریب میزنیم:
در عبارت فوق، چندجملهایهای برنشتاین از درجهیاست. با توجه به اینکه محدودهی انتگرال است، خواهیمداشت:
کافیاست ضرائب مجهول را تعیین کنیم. حال با جایگذاری رابطه - 4 - در رابطهی - 2 - روابط زیر ایجاد میشود:
پس از اِعمال انتگرالگیری به طرفین تساوی:
معادله فوق بر مبنای ویژگیهای سیگما و انتگرال بهصورت زیر تغییر میکند:
با استفاده از بسط دوجملهای میتوانیم بنویسیم:
در رابطهی - 7 - ، فرض میکنیم:
بنابراین میتوانیم با کمک روابط - 7 - و - 8 - ، رابطهی - 6 - را بهصورت زیر بنویسیم:
هر کدام تشکیل یک دستگاه را میدهند که با حل این دستگاهها، جواب نهایی را با تعیین مقادیر ، بهدست میآوریم. حال با ارائهی چند مثال، به مقایسهی این روش با روشهای ارائه شدهی دیگر میپردازیم. اگر معادلات از نوع ولترا باشند نیز میتوان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. البته، همگرایی این روش برای هر نوعی از این دستگاه معادلات با دقت تمام مورد بررسی قرار گرفته است.4]،[3 پیادهسازی عددی: در این قسمت، پس از ارائه کلیات معادلات،میخواهیم به بررسی پیادهسازی یک نمونه عددی در این چارچوببپردازیم. در مثال زیر که توسط مالکنژاد و همکارانش با استفاده از روش بسط تیلور حل شد، در این مقاله با روش ارائه شده حل و جوابهای این دو روش با جواب دقیق دستگاه معادلات مورد مقایسه قرار گرفتند.
مثال :1 نمونه انتخابی در این زمینه با معادله زیر، توسط مالکنژاد و همکارانش در سال 2008 با استفاده از بسط سری تیلور حل شده است. پس از بررسیهای انجام شده، میخواهیم به پیادهسازی الگوی خود در این نمونه بپردازیم:
در معادلهی فوق ووبهازای. جوابهای دقیق این دستگاه عبارتند از:
نتایج پیادهسازی: با توجه به شرایط مسأله و برای پیدا کردن جواب تقریبی، فرض میکنیم تابع مجهول بهصورت زیر باشد:
برای پیدا کردن جواب تقریبی دستگاه معادلات - 2 - ، با استفاده از چندجملهایهای برنشتاین در بازهی،را بهصورت تقریب میزنیم. در این صورت داریم:
با جایگذاری، معادلات زیر بهدست میآید:
با مرتب کردن روابط فوق خواهیم داشت:
با ضرب طرفین در و انتگرالگیری در محدودهی صفر تا یک داریم:
با توجه به ویژگیهای چندجملهایهای برنشاین و حل دستگاه فوق داریم:
بنابراین خواهیم داشت:
میبینیم که جواب بهدست آمده همان جواب دقیق مسأله است. در جدول زیر مقادیر عددی حاصل از روش ارائه شده و روش مطرح شده در [2] ارائه شده است.
بحث: پس از بررسیهای فراون، نتایج پیادهسازی روش استفاده از چندجملهای برنشتاین در جدول 1 ارائه شده است. با مقایسهی دو جواب دیده میشود، طبق روش ارائه شده در این مقاله، جواب بدون خطا حاصل میشود ولی با روش [2] جوابها با خطا بهدست میآیند و این دال بر مطلوب بودن روش مورد مطالعه است.
