بخشی از مقاله
چکیده:در این مقاله، معادلات انتگرال نوع اول توسط ترکیب منظم_سازی و چندجمله¿ایهای برنشتاین حل شده_اند. ابتدا توسط روش منظم_سازی معادله انتگرال نوع اول داده شده به یک معادله از نوع دوم تبدیل شده سپس معادله انتگرال نوع دوم حاصل، توسط چندجمله¿ایهای برنشتاین حل می_شود. در این روش یک پارامتر در معادله نوع دوم ایجاد شده و تقریب^های حاصل از روش برنشتاین برای معادله نوع دوم، بر حسب این پارامتر می_باشند. ثابت شده است که با میل کردن پارامتر به صفر، تقریب^های معادله نوع دوم به جوابهای مطلوب معادله نوع اول میل می»کنند. استفاده از روش منظم_سازی موجب ایجاد نتایج خیلی دقیق میÁشود که با روش^های مشابه مقایسه شده_اند. کارایی روش مرکب توسط مثال_هایی بررسی شده است.
مقدمه
معادلات انتگرال از جمله شاخه_هایی در محاسبات عددی هستند که در مدلسازی فنی و مهندسی و سایر علوم ظاهر می_شوند . این معادلات در دو نوع کلی، نوع اول و نوع دوم بیان میºشوند. معادلات نوع اول خصوصاً نوع آبل به علت وجود نامنفردی در آن^ها، توسط روش^های عددی و تحلیلی بطور دقیق قابل حل نیستند و گاهی در حالت غیرخطی دارای جواب نبوده یا دارای بیشمار جواب می_باشند. در تحقیق دیگری معادلات انتگرال فردهلم نوع اول از روش هم_محلی و نیز معادلات نوع اول که دارای هسته^های منفرد از نوع کوشی هستند توسط چندجمله¿ایهای چبیشفو١ چندجمله¿ایهای ژاکوبی حل شده_اند.
کریمی و همکارش ]٢[ با استفاده از روش حداقل مربعات معادلات انتگرال نوع اول را بررسی کرده_اند. از آنجایی که حل معادلات نوع اول به راحتی صورت نمی~گیرد، باید روش^های عددی خاصی برای آنها اتخاذ شود. روش منظم_سازی٢یکی از روش^های موثر در حل معادلات نوع اول است. در این روش معادله انتگرال نوع اول به یک معادله نوع دوم تبدیل می_شود. در معادله نوع دوم حاصل شده، یک پارامتر بنام پارامتر منظم_سازی ایجاد می_شود. ثابت شده است با میل کردن این پارامتر به صفر تقریب^های حاصل از حل معادله انتگرال نوع دوم به جواب معادله اصلی نوع اول نزدیک میºشوند. یکی از تحقیقات در این زمینه، حل معادلات نوع اول با استفاده از ترکیب منظم_سازی و هموتوپی است ]۶[ و در این تحقیق معادله نوع دوم با روش هموتوپی حل شده است.
با توجه به مطالب ذکر شده معادله نوع دوم حاصل در روش منظم_سازی که برحسب یک پارامتر است باید توسط یک روش عددی حل شود. در این مقاله، معادله نوع دوم را توسط چندجمله¿ایهای برنشتاین تقریب خواهیم زد. این ترکیب تا کنون مورد بررسی قرار نگرفته و نتایج قابل توجهی به همراه دارد. این نتایج از آنجایی قابل توجه هستند که معادله انتگرال اصلی نوع اول است. دو استراتژی را بکار بردهMایم که در اولی معادله نوع دوم از نوع فردهلم است و پس از استفاده از چندجمله¿ایهای برنشتاین به یک دستگاه معادلات خطی تبدیل می_شود. در استراتژی دوم، معادله از نوع ولترا بوده و معادله نوع دوم با چندجمله¿ایهای برنشتاین حل می_شود. برای استفاده از چندجمله¿ایهای برنشتاین از نتایج تحقیق ]٣[ استفاده شده است.
