بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کاربرد زنجير هاي مارکوف در اقتصاد
چکيده
باتوجه به اينکه سياست هاي اقتصادي اغلب اثرات خود را با وقفه به جاي مي گذارند ، ممکن است سياست اعمال شده دريک دوره رکود طراحي شده باشد ولي به دليل وجود وقفه ، اثرش را در دوره رونق ، بر اقتصاد برجاي بگذارد. براي اينکه سياست هاي اقتصادي اثرات خود را درهمان دوره اي که اعمال شده اند بگذارند، بايد نقطه اي را که در آن اقتصاد از يک دوره رونق به دوره رکود وارد مي شودو برعکس را مشخص کرد و از آنجايي که اين نقطه در آينده اتفاق مي افتد پس بايد پيش بيني شود .در اين مقاله سعي شده است که از طريق روشهاي آماري پيشرفته مانند شاخص هاي ترکيبي آينده نگر و زنجيره مارکوف نقاط چرخش اقتصادي ايران برآورد شود.
واژه هاي کليدي
دوران هاي اقتصادي، نقطه چرخش ، شاخص هاي ترکيبي آينده نگـر، زنجيـره مارکوف ،انتقـال رژيـم
١- مقدمه
تمامي فرايندهاي اقتصادي داراي نوسان بوده و همواره از يک دوره رکود(رونق )به يک دوره
رونق (رکود)درحرکت اند. اين نوسانات نقش بسيار مهمي در سرنوشت اقتصادي کشورها ايفا مي کند. لذا شناسايي آنها مي تواند درنحوه برنامه ريزي اقتصادي کشور ها در جهت جلوگيري از بروز بحران ها ، حرکت به سوي رونق اقتصادي و حفظ رونق آن تاثير گذار باشد.
با توجه به اينکه فعاليت هاي اقتصادي همـواره در ايـن نوسانات اقتصادي گرفتارمي شوند و دولتمـردان بـراي خروج از اين ها سياست هاي پولي و مالي متفـاوتي را اعمال مي کنند بررسي يک مسئله در اينجا حائز اهميت است و آن اينکه دوره هاي اقتصادي چـه وقـت ازيـک مرحله ، وارد مرحله ديگر مي شود.بيشترين اهميت ايـن مسئله از اين جهت است که سياستگذاري هايي کـه در اقتصاد اتفاق مي افتد، همواره با وقفه هايي مواجه است مانند وقفه در تشـخيص ، در تصـميم گيـري ،در اجـرا وهمينطـور دراثرگـذاري آن سياسـت . بـه همـين دليـل ممکن است سياست اعمال شده دردوره اي کـه رکـود بوده طراحي شده باشد؛ ولي به دليل وجود وقفه ، اثرات خود را در دوره رونق بر اقتصاد بگذاردو همـين عامـل مي تواند يکي از دلايل مفيد نبودن سياست هاي مالي و پولي باشد. لذا بايستي نقطه اي را که در آن اقتصـاد از يک دوره رونق (رکود) به دوره رکود (رونق ) وارد مـي شود، مشخص کردو از آنجايي که اين نقطـه در آينـده اتفاق مي افتد، پس بايسـتي پـيش بينـي شـود. در ايـن راستا براي تأثيرگذاري بهتر سياستها در تثبيـت فعاليـت هاي اقتصادي و براي پيش بيني دقيقتر متغيرهاي کـلان اقتصادي، برآورد نقطه چرخش دوران اقتصادي در يک زمان واقعـي در اقتصـاد از اهميـت وافـري برخـوردار است . [١و٢و٧و٨]
٢- فرآيند تصادفي و زنجير ه هاي مارکوفي
گاهي اوقات در بررسي هاي اقتصادي اين اتفاق مي افتد که در طول يک دوره زماني معيني ساختار اقتصاد يا به عبارت بهتر نظام سياستگذاري تغيير مي کند. در ادبيات اقتصادي، اين پديده به انتقال رژيم معروف است . علت اينکه از واژه انتقال استفاده مي شود اين است که يک متغير سياستي ممکن است در دور ه اي از زمان معين داراي يک رفتار و فرآيند باشد و در دوره اي ديگر رفتار ديگري از خودش نشان دهد. لذا چنانچه در بررسي فرآيند متغير مورد نظر اين موضوع ناديده گرفته شود، نتايج بدي بدست خواهد آمد. براي اين منظور در ادبيات اقتصادسنجي مدل هاي خاصي توسعه داده شده است که يکي از معروف ترين آنها بکارگيري فرآيند تصادفي زنجيره هاي مارکوفي است . در ادامه به بررسي فرآيند هاي تصادفي مي پردازيم .
زنجيره مارکوف تابع احتمال شرطي زير را براي متغير وابسته ، مدل سازي مي کند:
رابطه فوق بيانگر احتمال متغير در زمان حاضر با توجه به شرايط زمان قبل است که ميتواند به معناي تغييروضعيت
ميباشد.
زنجيره هاي مارکوف وبه صورت P نشان داده ميشود.
اين احتمال اغلب با ماتريس تغيير وضعيت
بطور مثال اگر اين زنجير در طـول زمـان سـه وضعيت تغيير را تجربه کنـد مـاتريس تغييـر وضـعيت
بصورت زير خواهد بود:
احتمال آن است که متغير درزمان ١- t دروضعيت i بوده ودرزمان t به وضعيت j رسيده است .
اين ماتريس داراي خواص زير است :
١) مجموع مقادير هر سطر برابر ١است و تمـام درآيـه ها بين صفر و يک هستند
٢) مــاتريس تغييــر وضــعيت را مــي تــوان بگونــه اي سازماندهي کرد تا جـاذب شـود. در ايـن صـورت بـه زنجيره مارکوف زنجيـره جـذب نيـز گفتـه مـي شـود.
زنجيره جذب وجود وضعيتي درماتريس تغيير وضعيت است که ساير وضـعيت هـا را در طـي زمـان در خـود جذب مي نمايد. براساس عناصر ماتريس جـذب مـي توان به اين پرسش پاسـخ داد کـه مـدت زمـان توقـف متغيروابسته در هر وضعيت قبل از ترک آن به چه ميزان است ؟
٣) اگر بردار ستوني π را طوري در نظـر بگيـريم کـه ترانهاده اش در ماتريس ضرايب ضرب شود خود بردار بدست آيد،به بردار πرا برداراحتمال پايـدار يـا بـردار توزيع پايدار گوئيم و اعداد آن به اين مفهوم اسـت کـه در زنجيـره مـدت متغيـر چنـد درصـد در هـر يـک از وضعيت ها باقي مي ماند.اگر ماتريس تغيير وضعيت به توان رسيده شود و در ترانهـاده بـردار احتمـال پايـدار ضرب شود،چيزي که بدست خواهد آمـد همـان بـردار احتمال پايدار است ،يعني رابطه زير برقرار است .
در نتيجه بردارπ براي تمام زمانهايِ آينده ثابت خواهـد بود
٤) اگر بخواهيم احتمال رسيدن به يک وضعيت را بعـد ازm تغيير وضعيت بدون توجه به حالت شروع بـدانيم لازم است کـه بـردار احتمـال پايـدار را از رابطـه زيـر
بدست آوريم :
که در آن πبردارحالت اوليه است .
چنانچه از طرفين رابطه فوق بردار احتمال پايداربا m-1 مرحله اي را کم کنيم در اينصورت خواهيم داشت :
در ادامه با کمک خواص زنجيره هاي مارکوف قصد داريم نقاط چرخش اقتصادي ايران را بدست آوريم .
[٣و٤و٩و١٠]
٣- شناسايي نقاط چرخش اقتصادي ايران با کمک زنجيره مارکوف
در مقالاتي که در اين زمينه نوشته شده است با کمک روش شاخص ترکيبي آينده نگر وضعيت دوره هاي چرخش اقتصادي بررسي شده است . مي توان با کمک روش شاخص ترکيبي آينده نگروضعيت اقتصاد دوره بعدي را تعيين کرد. حال با کمک زنجيره مارکوف علاوه بر مورد فوق مي توان تعيين کرد که اقتصاد چه مدت زماني در يک وضعيت باقي مي ماند ويا اينکه چه مدت زماني طول مي کشد که يک اقتصاد در صورت تغيير از وضعيت اوليه خود،دوباره به آن وضعيت بازگردد.
با بررسي روند شاخص ترکيبي آينده نگر مشخص مي شود که طي دوره ماه اول سال ١٣٧٥ تا ماه نهم
١٣٨٤اقتصاد ايران سه وضعيت رونق ،رکود و سکون را تجربه کرده است . [٤و٧و١٠]
لذا مي تواند ماتريس تغييروضعيت با ابعاد ٣*٣را در نظر گرفت . از١١٧ مشاهده انجام شده در اين مدت وبا کمک احتمال شرطي مي توان به نتايج زير دست يافت :
جدول ١
با قرار دادن موارد جدول در ماتريس ميتوان
نوشت :
حال ميخواهيم به اين سوال پاسخ بدهيم که از لحاظ قرار گرفتن در دوره هاي کسب و کار وضعيت اقتصاد به چه صورتي است . براي اين کاربايد بردار احتمال پايدار از ماتريس تغيير وضعيت زنجيره مارکوف استخراج شود و براي بدست آوردن آن بايد محاسبات ماتريسي زير انجام شود:
که πبردار ستوني و eبردار واحد است که معادله دوم براي نرمال سازي و حاصل شدن جوابهاي غير بديهي (غير صفر) است . حل سيستم معادلات فوق بصورت زير است :
که از حل دستگاه فوق جواب دستگاه بصورت زير حاصل ميگردد:
بعنوان احتمال پايدار خواهد بود و در نتيجه ميتوان گفت که در بلند مدت تقريبا در ٥٥٨*٠درصد
زمانها داراي رونق اقتصادي ودر ٣٦*٠درصد
زمانها داراي رکود اقتصادي ودر ٠٧٧*٠درصد
زمانها داراي سکون اقتصادي را خواهيم داشت .
حال اگر بردار احتمال پايداررا معکوس کنيم ميتوان بدست آورد که در صورت تغيير وضعيت پس از چه
زماني به وضعيت اوليه باز خواهيم گشت :
که نشان ميدهد :
١)تقريبا پس از يک ماه و ٢٤روزاگر از وضعيت رونق خارج شده ايم به حالت اوليه رونق باز ميگرديم .
٢)تقريبا پس از دو ماه و ٢٣روز اگر از وضعيت رکود خارج شده ايم به حالت اوليه رکود باز ميگرديم .
٣) تقريبا پس از سيزده دو ماه اگر از وضعيت سکون خارج شده ايم به حالت اوليه سکون باز ميگرديم .
در ادامه ميخواهيم بگوئيم که مدت زمان قرار گرفتن در يک وضعيت اقتصادي قبل از ترک آن چقدر ميباشد.
پاسخ اين سوال زنجيره جذب ماتريس تغيير وضعيت است بعبارتي زنجيره جذب بيانگر وضعيتي است که در طول زمان ساير وضعيت ها را در خود جذب مي کند.
بطور نمونه قصد داريم متوسط زمان وضعيت رونق ورکود را قبل از رسيدن به وضعيت سکون بيابيم براي
انجام اين کار ماتريس تغيير وضعيت زير را داريم :
