مقاله کنترلH∞ چند منظوره سیستم های آشفته تکین

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

کنترلH∞ چند منظوره سیستم هاي آشفته تکین

چکیده

این مقاله به طراحی کنترل کننده مقاوم چند منظوره با استفاده از روش H∞ براي سیستم هاي آشفته تکین می پردازد. دراین راستا از روش جدید مـدل کردن براي سیستم هاي مزبور مطابق روش مطروحه در [3, 4] استفاده می شود. بدین ترتیب مسأله کنترل H ∞ چند منظوره بدین گونه بیان می شــود که مشتمل بر دو مسأله جداگانه می باشد: مسأله اول در رگلاسیون مقاوم و ردیابی ورودي مرجع براي سیستم و مسأله دوم برآورده ســاختن یـک قیـد H∞ می باشد که هدف آن تضعیف اغتشاش روي خروجی کنترل شده می باشد. حل جداگانه این دو مسأله به عنوان رگلاسیون مقــاوم بـا یـک قیـد (RR H∞ C) H∞ نامیده می شود.

کلمات کلیدي: کنترل H∞ چند منظوره, سیستم آشفته تکین, رگلاسیون مقاوم.

مقدمه

کنترل سیستم هاي آشفته تکین بطور گسترده از سه دهه گذشته مورد مطالعه قرار گرفته اند. یک روش مرسوم جهت برخورد بـا ایـن سیسـتم هـا, تکنیـک کاهش یافته١ نامیده می شود .[1] طرّاحی کنترل کننده مرکﹼب مبتنی بر طرّاحی هاي جداگانه براي زیر سیستم هاي کند و سریع بطور سیستماتیک در [2] مرور شده است. مسأله پایدارسازي مقاوم سیستم هاي آشفته تکین مبتنی بر یک روش جدید مدل کردن نیز در [3 , 4] بیان گردیده است. همچنین مرجع [5] آنــالیز پایداري مقاوم و بهبود کران پایداري پارامتر آشفتگی در سیستم هاي آشفته تکین را بیان نموده است. جدیداً, طرّاحی کنترل کننده فیدبک حــالت بـه روش H∞ که پایداري مجانبی و نیز تضعیف اغتشاش مقاوم را براي یک کلاس از سیستم هاي آشفته تکین نامعین تاخیردار تضمین می کند, همراه با کران بینهایت پارامتر آشفتگی در [6,7] بررسی شده است.

در این مقاله به طراحی کنترل کننده مقاوم چند منظوره٢ با استفاده از روش H ∞ براي سیستم هاي آشفته تکین می پردازیــم. درایـن راسـتا از روش جدیـد مدل کردن براي سیستم هاي مزبور مطابق روش مطروحه در[3, 4] استفاده خواهیم نمود.

جهت طراحی کنترل کننده مقاوم براي سیستم اصلی که قسمتی از زیرسیستم فرکانس بالاي آن ممکن است بعنوان نامعینی در نظر گرفته شود, مسأله کنــترل H ∞ چند منظوره بدین گونه بیان می شود که آن مشتمل بر دو مسأله جداگانه می باشد. مسأله اول در رگلاسیون مقاوم و ردیابی ورودي مرجع براي سیســتم و مسأله دوم برآورده ساختن یک قید H∞ می باشد که هدف آن تضعیف اغتشاش روي خروجی کنترل شده است. حل جداگانه این دو مسأله بعنوان رگلاســیون مقاوم با قید (RR H∞ C) H∞ نامیده می شود. در مورد سیستم هاي خطی, مسأله مورد نظر به پایدارسازي مقاوم در حضور نامعینی هــاي نـرم محـدود بـراي سیستمی که شامل دینامیک هاي غالب یا معین می باشد, تبدیل خواهد شد. [8]

در ادامه معرفی کنترل H ∞ چند منظوره و سنتز کنترل کننده به روش فیدبک حالت را بیان می کنیم. همچنین در بخش سوم اعمال روش مذکور به سیسـتم هاي آشفته تکین ذکر خواهد شد. جهت بیان بهتر روش ذکر شده در این مقاله به بیان یک مثال در بخش چهارم می پردازیم و جمع بنــدي نتـایج ایـن مقالـه در بخش آخر آورده شده است.

٢- معرفی کنترل H ∞ چند منظوره
در این قسمت کنترل زیر بهینه چند منظوره با قید H ∞ برآورده ساختن رگلاسیون مقاوم حلقه بسته را مطالعه می کنیم و لازم به توضیح است که تمرکز مـا عمدتاﹰ بر مسأله رگلاسیون مقاوم می باشد.
سیستم فیدبک نشان داده شده در شکل١ را در نظر بگیرید که فرض بعد محدود و تغییر ناپذیر بودن سیستم برقرار می باشد و wr بعنوان ورودي خارجی وΖ1 خروجی کنترل شده (یا رگوله شده) و شامل l کانال اولy می باشد. در مسأله رگلاسیون مقاوم کنترل کننده مجاز٣ نامیده مـی شـود اگر سیسـتم حلقـه بسته حاصل پایدار داخلی (مجانبی) باشد.

بعبارت دیگر مسأله طراحی کنترل کننده مجاز (در صورت امکان) بنحوي است که:

١)کنترل کننده ((Κ بطور داخلی سیستم (Ρ) را پایدار کند.
٢) براي تمام ورودي هاي سینوسی که مشتمل بر فرکانس هاي می باشد ( براي ورودي هاي ثابت فرکانس صفر در نظر گرفته می شود) رابطه زیر برقرار باشد:

٣)خاصیت ٢) براي تمام سیستم هاي در مجاورت سیستم نامی ((Ρ از نظر توپولژي گراف برقرار بماند.
در قسمت ٢), تابع تبدیل حلقه بسته از wr بهΖ1 می باشد و در قسمت ٣) نیاز به قوام محلی می باشد.

حال مطابق شکل٢ سیستم متشکل از سیستم نامی افزوده شده با ورودي اضافی v و خروجی اضافی Ζ (و بلوك نامعینی نرم محدود ســاختار نیافته ∆ می باشد. بطوریکه کنترل کننده Κ بعنوان کنترل کننده مجاز و u ورودي کنترل و y خروجی اندازه گیري شــده و wr ورودي خـارجی و Ζ1 خروجی کنترل شده و قابل اندازه گیري شده می باشد.

مسأله سنتز کنترل کننده بگونه اي است که براي یک عدد حقیقی داده شده کنترل کننده مجاز بنحوي طراحی شود که براي هر ∆ پایدار با شرط

١) کنترل کننده مجاز (Κ (بطور داخلی سیستم اصلی را پایدار کند.
٢)
٣) خاصیت ٢) براي تمام سیستم هاي در مجاورت از نظر توپولژي گراف برقرار باشد.

این مسأله بعنوان مسأله رگلاسیون مقاوم در حضور نامعینی نرم محدود (RRNBU) نامیده می شود. بطورکلی آن از مســأله اسـتاندارد رگلاسـیون مقـاوم متفاوت می باشد, زیرا در آن هدف فقط طراحی کنترل کننده جهت حل مسأله رگلاسیون مقاوم براي یک مجموعه نامعینی می باشد. لازم است بر این نکته تأکید
کنیم که هر کنترل کننده ایکه مسأله رگلاسیون مقاوم را براي سیستم نامی حل می کند مطابق اصل قوام محلی, مسأله RRNBU را براي 1 تا حــد کـافی کوچک نیز حل می کند.

بهرحال تضمینی روي مقدار وجود ندارد و با یک γ مشخص مسأله RRNBU متناظر را از نظر قابل حل بودن چک می کنیم و در صورت قابل حل بودن کنترل کننده مجاز را طراحی می کنیم. در مرجع [8] نشان داده شده است که مسأله RRNBU معادل با یک مسأله چند منظوره معین مطابق شکل ٣ می باشد و هدف از مسأله چند منظوره طراحی یک کنترل کننده یکتا می باشد که مسأله رگلاسیون مقاوم ( از wr به Ζ1 با فرض ( v = 0 و مسأله کنترل زیر بهینه H ∞ ( از v به Ζ با ( wr = 0 را حل کند.

بعبارت دیگر براي یک عدد حقیقی γ  0 داده شده, مسأله طراحی یک کنترل کننده مجاز بنحوي است که:

١) کنترل کننده بطور داخلی سیستم نامی را پایدار کند.

٢ (

٣) خاصیت ٢) براي تمام سیستم هاي در مجاورت سیستم نامی از نظر توپولژي گراف برقرار باشد.

4)
این مسأله چند منظوره, رگلاسیون مقاوم با یک قید H∞ نامیده می شود.

موضوع رگلاسیون مقاوم یک حالت خاص از مسأله رگلاتور مقاوم باحفظ پایداري داخلی می باشد که بطور گسترده در دهه ٧٠ با استفاده از انــواع روشـها بررسی شده است. ردیابی مجانبی و حذف اغتشاش مجانبی حالت هاي خاص از این مسأله می باشد و این یکی از مسائل مرکزي بود که بــا اسـتفاده از تئـوري کنترل هندسی حل شده است. براي نمونه به مراجع [9, 10] رجوع شود. مسأله رگلاتور مقاوم با پایداري داخلی در حوزه فرکانس نیز بررسی شــده اسـت کـه یکی از نتایج این تحقیق شناخته شدن "اصل مدل داخلی٥" بود. موضوع دوم مسأله چند منظوره (RR H∞ C) H∞ مسأله استاندارد تئوري کنترل H ∞ می باشد که توسط زِیمس٦ بیان شده است .[11] این مسأله بطور گسترده با استفاده از تکنیک هاي حوزه فرکانس و فضاي حالت نیز بررسی شده است.

حال در این قسمت با بیان یک قضیه نشان می دهیم که مسأله RRNBU و مسأله RR H ∞ C معادل یکدیگر هستند.
قضیه ١ : گیریم Κ یک کنترل کننده خطی تغییرناپذیر با زمانِ بعد محدود باشد. آنگاه کنترلر Κ مسأله RRNBU را براي Ρ حل می کنـد, اگر و تنـها اگر Κ مسأله RR H ∞ C را براي Ρ حل کند. - اثبات این قضیه در [8] آورده شده است.
در ادامه ما روش فضاي حالت به مسأله RR H ∞ C را در نظر می گیریم که یکی از مزایاي این روش آن است که شرایط حل پذیــري مسـتقیماﹰ برحسـب اطلاعات سیستم و حل هاي دو معادله جبري ریکاتی داده می شود. همانگونه که می دانیم موضوع رگلاسیون مقاوم, معادل بــا بدسـت آوردن کنـترل کننـده اي شامل یک مدل داخلی مناسب می باشد. بنابراین یک روش مشخص به مسألهRR H ∞ C مشارکت دادن این مدل داخلی به سیستم نــامی (Ρ) و سـپس حـل یک مسأله کنترل H ∞ می باشد.
در این قسمت مسأله, RR H ∞ نتیجتاﹰ مسأله , RRNBU در حالتی که تمام حالت هاي سیستم براي فیدبک در دسترس می باشد را بیان می کنیم. در ابتدا فرضیات استاندارد سیستم نامی (Ρ) را بیان می کنیم.
١. (فیدبک حالت).
٢. زوج پایدارپذیر باشد.
٣. سه تائی مد هاي کنترل ناپذیر و یا رویت ناپذیر روي محور موهومی نداشته باشد.
٤.

تعریف بعدي جهت مختصر بیان شدن قضیه ٢ ارائه می گردد.
تعریف (ماتریس هاي مدل داخلی)
ماتریس هاي مدل داخلی جهت رگلاسیون مقاوم فرکانس هاي معین می باشند اگر این ماتریس ها شرایط زیر را برآورده سازند:

ماتریس هاي در تعریف براي هر فرکانس داراي تحققی بدین شکل هستند :[8]
الف) اگر باشد پس دینامیک هاي انتگرالگیر را بدین شکل انتخاب می کنیم: ~


ب) اگر ωk ≠ 0 باشد پس دینامیک هاي نوسانگر بدین شکل می باشند:

حال ماتریس هاي A و B بدین شکل تعریف می شوند:

قضیه٢ : گیریم سیستم نامی Ρِ (مطابق شکل ٣ ) فرضیات استاندارد را برآورده می سازد. پس گزاره هاي زیر معادل می باشند:
الـف) کنـترل کننـده مجـاز بـراي Ρ کـه مسـأله رگلاسـیون مقـاوم ازwr بـه Ζ1درفرکـانس هـاي را حـل کنـد, وجـود دارد ضمـن آنکــه شرط را نیز برآورده می سازد (مسأله RR H ∞