بخشی از پاورپوینت
--- پاورپوینت شامل تصاویر میباشد ----
اسلاید 1 :
فصل دوم - بخش اول: روابط و معادلات بنيادي
بخش اول : روابط و معادلات بنیادی
1 - مقدمه
در بخش اول فصل پيشين، وضعيت تنش در نقطه اي اختياري (Arbitrary Point) از يك جسم كه تحت اثر نيروهايي قرار دارد، مورد بررسي و مطالعه قرار گرفت و ضمن استخراج تانسور تنش، خواص مختلف آن تشريح گرديد.
در بخش دوم فصل پيشين، وضعيت كرنش (يا تغيير شكل نسبي) در نقطه اي اختياري مورد مطالعه قرار گرفت و اين در حالي بود كه اصولاً هيچ سؤالي در مورد علت ايجاد يا عامل بوجود آورنده تغيير شكل مطرح نگرديد. اساساً مسأله بررسي كرنش در نقطه اي دلخواه از يك جسم، يك مسأله صرفاً رياضي بود.
اما واقعيت اين است كه تغيير شكل جسم به علت تحريك جسم توسط عاملي كه به آن كنش (Action) گفته مي شود، بوجود مي آيد. اين كنش ممكن است مستقيماً به صورت نيرو بوده و يا اينكه عاملي ديگر مانند درجه حرارت باشد كه در هر صورت علت پيدايش ميدان تنش است.
اسلاید 2 :
يكي از قدم هاي اساسي در حل مسائل الاستيسيته، استخراج معادلاتي است كه اجزاء تانسور كرنش را به اجزاء تانسور تنش مربوط مي سازند. چنين معادلاتي كه ممكن است به عنوان تعميم قانون هوك به آنها توجه شود، به نام معادلات بنيادي (Fundamental Equations) خوانده مي شود.
برای ارتباط تنش در یک نقطه در یک مصالح مادی با کرنش متناظر در آن نقطه، خواص مصالح (Material Properties) مورد نیاز می باشند. این خواص در معادلات بنیادی یا روابط تنش - کرنش به عنوان ضرایب مصالح (Material Coefficients) وارد می شوند.
هدف در اين فصل بررسي اوليه معادلات بنيادي يا شناسايي روابط بين تنش و كرنش در مورد مصالح ارتجاعي ايزوتروپيك است تا با شناخت آنها كليه مقدمات لازم براي حل مسائل الاستيسيته فراهم شده باشد.
اسلاید 3 :
مبناي نظري استخراج روابط و معادلات بنيادي مذكور، قانون اول ترموديناميك (First Law of Thermodynamics) است.
قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه مجموع كار انجام يافته در يك سيستم مكانيكي به وسيله نيروهاي خارجي و نيز گرمايي كه از بيرون به درون سيستم جريان مي يابد، برابر است با مجموع افزايش انرژي داخلي و افزايش انرژي جنبشي.
به طور نمادين قانون اول ترموديناميك (كه در واقع بيان دقيق قانون بقاي انرژي است) به صورت زير بيان مي شود:
كه در آن:
كار انجام يافته در يك سيستم به وسيله نيروهاي خارجي،
گرمايي كه به داخل سيستم جريان مي يابد،
افزايش در انرژي داخلي،
افزايش در انرژي جنبشي.
اسلاید 4 :
2- انرژي كرنشي (ارتجاعي) در اجسام الاستيك
هنگامي كه يك جسم الاستيك تحت اثر نيرو قرار مي گيرد، نه تنها در هر نقطه آن تنش ايجاد مي شود، بلكه اين نيروها باعث مي شود كه جسم تغيير شكل (Deformation) داده و وضعيت نقاط مختلف آن نسبت به يكديگر با وضعيت اوليه تفاوت كند.
تغيير نقطه اثر نيروهاي اعمالي به سيستم باعث مي شود كه در هنگام اعمال اين نيروها مقداري كار انجام گيرد. كار مزبور كه توأم با تغيير شكل جسم در وضعيت تنش مي باشد باعث ذخيره مقداري انرژي به صورت انرژي ارتجاعي در جسم مي گردد. هرگاه رفتار جسم يك رفتار الاستيك باشد با حذف نيروهاي خارجي انرژي ارتجاعي نيز آزاد شده و هيچ نوع تغيير شكلي در جسم باقي نمي ماند.
مطالعه در مورد انرژي ارتجاعي با بهره گيري از قانون اول ترموديناميك قابل درك بوده و فرموله كردن آن ممكن مي گردد.
اسلاید 5 :
براي اعمال قانون اول ترموديناميك يك جسمي را در نظر مي گيريم كه تحت اثر بارهاي وارده در حال تعادل است. جسم مذكور داراي حجم V و سطح بسته (Closed Surface) S است و نيروهاي وارد بر آن عبارتند از: نيروهاي سطحي (Surface Forces) که به وسیله توزیع تنش در سطح S نمایش داده می شود و نيروهاي حجمي (Body Forces) که به وسیله توزیع نیروهای حجمی در واحد حجم (يعني ) مشخص میشود.
فرض بر اين است كه تغيیر مكان نقاط جسم معلوم است و به وسيله مؤلفه هاي تغيير مكان u و v و w در هر نقطه در راستاي مختصات دكارتي x و y و z مشخص مي شود.
اكنون به هر نقطه اي از جسم، نموهاي بي نهايت كوچك به مؤلفه هاي تغيير مكان u و v و w كه با و و نشان داده مي شوند اعمال مي شود. مؤلفه هاي تنش در هر نقطه از جسم در اثر اعمال تغيير مكان هاي كوچك و و دست نخورده و ثابت در نظر گرفته مي شوند.
اسلاید 6 :
اين تغييرات تغيير مكان اختياري مي باشند، جز اينكه دو يا چند ذره نمي توانند نقطه يكساني را در فضا اشغال نمايند يا اينكه يك ذره منفرد نمي تواند بيش از يك نقطه در فضا را اشغال نمايد (به عبارت ديگر جسم پاره نمي شود). به علاوه، تغيير مكان هاي نقاط مشخصي (مانند شرايط تكيه گاهي) از پيش تعيين شده مي باشند.
تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان هاي و و عبارتند از:
اسلاید 7 :
براي شرايطي كه جريان حرارت به داخل حجم V وجود نداشته باشد ( ) و نيز تعادل ايستايي ) )، قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه هنگام تغييرات تغيير مكان و و ، تغيير در كار نيروهاي خارجي برابر است با تغييرات انرژي داخلي :
ساده تر خواهد بود كه به دو قسمت تقسيم شود: كار نيروهاي سطحي و كار نيروهاي حجمي .
اسلاید 8 :
در نقطه P از سطح S، يك مساحت نموي ds را در نظر مي گيريم. بردار تنش كه در سطح ds عمل مي كند داراي سه مؤلفه و و مي باشد. نيروي سطحي مساوي است با حاصل ضرب مؤلفه هاي تنش و ds. كار نيز برابر است با مجموع كار اين نيروها در روي سطح S.
اسلاید 9 :
براي يك عنصر حجمي بي نهايت كوچك dv، نيروي حجمي به وسيله حاصل ضرب dV و مؤلفه هاي نيروي حجمي در واحد حجم (يعني )مشخص مي شود. بنابراين داريم:
انتگرال روي سطح (مربوط به نيروهاي سطحي) را مي توان با استفاده از قضيه ديورژانس به انتگرال روي حجم تبديل نمود.
اسلاید 10 :
كه در آن n بردار يكه عمود بر سطح S و به سمت خارج در هر نقطه مي باشد كه به صورت زير نيز نمايش داده مي شود:
اگر قضيه ديورژانس را به عبارت مربوط به اعمال كنيم خواهيم داشت:
