دانلود مقاله مشتق و مفاهیم

word قابل ویرایش
60039 صفحه
4700 تومان

مشتق و مفاهیم

۱- از تعریف مشتق استفاده کنید و فرمول مشتق حاصلضرب (uv) دو تابع مشتقپذیر u و v را بیابید.
۲- مشتق تابع زیر را بیابید.

۳- را بیابید.

۴- اگر را بیابید. برای اینکه مشتق وجود داشته باشد، چه محدودیتهایی باید برای دامنه‌ی a قائل شویم؟
۵- با توجه به تعریف مشتق تابع، در نقطه‌ی x=1 مقدار را بدست آورید.
۶- در تابع مقدار را بدست آورید.
۷- مشتق تابع را بدست آورید.
۸- نشان دهید که تابع در معادله‌ی زیر صدق می‌کند:

۹- توابع مفروض‌اند. آیا این توابع در x=0 مشتق دارند؟ در صورت وجود آنها را تعیین کنید.
۱۰- نشان دهید که تابع که در آن تابع Q(x) پیوسته است و ، در نقطه‌ی x=a مشتق ندارد. مشتق‌های چپ و راست را در این نقطه بیابید.
۱۱- مشتق توابع زیر را از تعریف مشتق حساب کنید.

۱۲- تابع f(x)= xsgnx چطور باید در x=0 تعریف شود که در این نقطه پیوسته باشد؟ آیا در این صورت در این نقطه مشتق‌پذیر است؟
۱۳- نشان دهید که مشتق یک تابع مشتق‌پذیر فرد، زوج بوده و مشتق یک تابع مشتق‌پذیر زوج، فرد است؟
۱۴- با استفاده از تفاضل مکعبات: مشتق را مستقیما از تعریف مشتق حساب کنید.
۱۵- تابع در کجا مشتق‌پذیر نیست؟
۱۶- مشتق توابع داده شده را حساب کنید.

۱۷- مشتق زیر را بیابید.

خطوط مماس و شیب آنها:
۱۸- معادله‌ی خط مماس بر منحنی داده شده در نقطه‌ی ذکر شده را بیابید.
در
در
۱۹- شیب منحنی در نقطه‌ی را بیابید. معادله‌ی خط مماس بر به شیب ۳- چیست؟
۲۰- خط x+y=k به ازای چه مقدار از ثابت k به منحنی قائم است؟
۲۱- آ) شیب در نقطه‌ی x=a را بیابید.
ب) معادلات خطوط مستقیم به شیب ۳ و مماس بر را بیابید.
۲۲- آیا نمودار تابع f در نقاط داده شده خط مماس دارند؟ اگر چنین است، خط مماس چیست؟
در x=1
23- معادله‌ی خط مماس بر منحنی در را بیابید.
۲۴- نشان دهید که منحنی دو مماس دارد که از نقطه‌ی محور x می‌گذرد.
۲۵- نشان دهید که نمودار در مبدأ دارای مماس نیست.
۲۶- آیا منحنی داده شده دو مماس عمود بر هم دارد؟

۲۷- در چه نقطه از منحنی مماس بر خط y=x عمود است؟
۲۸- به ازای چه مقادیری از b,m، تابع

در a مشتق پذیر است؟
۲۹- منحنی مماسی دارد که از (۱و۰) می‌گذرد. آن را بیابید.
۳۰- معادلات خط مماس و خط قائم به منحنیهای زیر را بنویسید:
به سهمی در نقطه‌ای به طول، ۵/۰-= x.

۳۱- معادلات خطوط مماس به منحنی را در نقاط تلاقی با سهمی را بنویسید.
۳۲- نشان دهید که تابع در نقطه‌ی x=0 خط مماس ندارد. زاویه‌ی بین خطوط مماس چپ و راست در این نقطه چقدر است؟
۳۳- خط y=3x+b بر خم مماس است. مقدار b و نقطه‌ی تماس را بیابید.

۳۴- معادله‌ی خط عمود بر مماس بر خم در نقطه‌ی (۳و۲) را بیابید.
۳۵- خمهای و در نقطه‌ی (۰و۱) بر هم مماس‌اند. مطلوبست تعیین c,b,a.
36- مطلوبست طول از مبدأ و عرض از مبدأ خط مماس بر خط در .

۳۷- خط قائم بر خم در (۰و۱) آن را در چه نقاط دیگری قطع می‌کند؟
۳۸- نشان دهید که قائم بر دایره‌ای در هر نقطه‌ی ( ) از مرکز می‌گذرد.
۳۹- شیب را در مبدأ بیابید. معادله‌ی خط مماس در مبدأ را تعیین کنید.

قاعده‌ی زنجیری
۴۰- اگر و را بر حسب t بیان کنید.
۴۱- با استفاده از قاعده‌ی زنجیری، را بیابید و نتیجه را بر حسب t بیان کنید.

۴۲- اگر ، ، را بیابید.
۴۳- اگر و ، را بیابید.
۴۴- اگر و و را بیابید.
۴۵- اگر و و را بیابید.
۴۶- مقدار (d/dt)(gof) را به ازای tی داده شده بیابید.

۴۷- جسمی در حال سقوط است. در لحظه‌ای که جسم S تراز نقطه‌ی آغاز فاصله دارد، سرعت آن متر (ثابت) در ثانیه است. نشان دهید که شتاب جسم ثابت است.
۴۸- فرض کنید ، نشان دهید هر چند g در x=0 مشتق ندارد،‌ولی fog و gof هر دو در x=0 مشتق دارند. آیا این امر قاعده‌ی زنجیری را نقض می‌کند؟ توضیح دهید.
۴۹- اگر و ، را بیابید.
۵۰- از مشتق بگیرید.

۵۱- را در صورتی بیابید که
۵۲- مشتق توابع زیر را بیابید.

۵۳- را در صورتی بیابد که
۵۴- آیا با قاعده‌ی زنجیری می‌توانید مشتقهای و را در x=0 حساب کنید؟ آیا توابع در x=0 مشتق دارند؟ چرا؟

مشتق توابع مثلثاتی
۵۵- فرمول مشتق را حساب کنید.
۵۶- مشتق توابع زیر را حساب کنید.

۵۷- به فرض آنکه sin2x=2sinxcosx ، نتیجه بگیرید که

۵۸- معادله‌ی خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای که x=60 را بیابید.
۵۹- نقاطی از منحنی را بیابید که در آنها قائم موازی خط باشد.
۶۰- مقادیر b,a را چنان بیابید که

در مشتق پذیر باشد.
۶۱- را بیابید.

۶۲- مشتق تابع در نقطه‌ی بدست آورید.

«قضیه مقدار میانگین» (صعودی و نزولی – قضیه‌ی ژل)
۶۳- تابع در چه نواحی صعودی است؟
۶۴- به ازای کدام مقادیر m تابع همواره صعودی است.
۶۵- تابع در چه بازه‌ای صعودی است.
۶۶- به ازای چه مقادیری از a تابع همواره صعودی است؟
۶۷- نشان دهید که به ازای x>0 و ،

۶۸- فرض کنید . ا.گر x>0 یا ، نشان دهید که
۶۹- بازه‌های صعودی و نزولی را بیابید.

۷۰- قضیه‌ی مقدار میانگین را با یافتن نقاطی در بازه‌ی باز (a,b) که در آنها خط مماس بر موازی و تر واصل بین (a,f(a)) و (b,f(b)) است، توضیح دهید.
بر ]۲و۱[ بر

سرعت و میزانهای تغییر:
۷۱- میزان تغییر ضلع s یک مکعب نسبت به حجم v آن را بیابید. نقاط بحرانی توابع تمرینهای زیر چیست‌اند؟ هر تابع بر چه بازه‌هایی صعودی و نزولی است؟

۷۲- میزان تغییر طول ضلع یک مربع نسبت به مساحت را وقتی مساحت ۱۶ مترمربع است بیابید.
۷۳- درصد تقریبی تغییرات در تابع داده شده‌ی y=f(x) ناشی از افزایش ۲٪ در مقدار x را بیابید.

۷۴- یک توپ از بالای یک برج ۱۰۰ متری با سرعت اولیه‌ی ۲ متر بر ثانیه به پایین پرتاب شده است. ارتفاع توپ از سطح زمین پس از t ثانیه مساوی است با .. چقدر طول می‌کشد تا به زمین برسد؟ سرعت متوسط آن در مدت سقوط چقدر است؟ در چه لحظه‌ای سرعت توپ با سرعت متوسطش یکی است؟
۷۵- مکان جسمی در زمان t، است. شتاب جسم را وقتی که سرعت صفر باشد، بیابید.

۷۶- ذره‌ای روی یک محور حرکت می‌کند و موضع آن را تابع که در آن s بر حسب متر، و t بر حسب ثانیه است به دست می‌دهد. وقتی که t=6 ثانیه، سرعت و شتاب ذره چقدر است؟
۷۷- تابع مفروض است. مطلوبست تعیین نقاطی که در آنها میزان تغییرات تابع مینیمم باشد.
۷۸- سرعت یک متحرک در حرکت مستقیم الخط از دستور به دست می‌آید. شتاب متحرک را چهار ثانیه بعد از حرکت بیابید.
۷۹- موضع یک ذره‌ی متحرک در امتداد خطی مستقیم در لحظه‌ی عبارت است از . سرعت و شتاب ذره را در لحظه‌ی t بیابید. چه وقت جهت حرکت ذره تغییر می‌کند؟ چه وقت ذره به موضع اولیه‌ی خود باز می‌گردد؟

مشتق مراتب بالاتر
۸۰- مشتقات مراتب دوم و سوم f(x)g(x) را بیابید.
۸۱- را بیابید.
– – y=xsinx
82- نشان دهید تابع
بر مشتق‌پذیر است ولی در x=0 مشتق دوم ندارد.
۸۳- به ازای چه ثابتهایی c,b,a تابع

در x=1 مشتق دوم دارد؟
۸۴- مقدار مشتق مرتبه‌ی nام تابع را در نقطه‌ی x=0 بنویسید.
۸۵-مطلوبست تعیین در توابع زیر:
آیا وجود دارد؟

۸۴- اگر مشتق دوم تابع در نقطه x=1 برابر صفر باشد. آنگاه بین b,a چه رابطه‌ای برقرار است؟
۸۷- مطلوبست مشتقات اول و دوم

۸۸- اگر و را بیابید.
۸۹- مطلوبست هر گاه
الف)
ب)
۹۰- مشتق nام ، ، تابع را بیابید.
۹۱- توابع را بیابید.

۹۲- اگر y=tankx، نشان دهید که .
۹۳- اگر توابع g,f دوبار مشتق پذیر باشند، نشان دهید که

مشتق گیری ضمنی
۹۴- را بر حسب y,x بنویسید.

۹۵- را بر حسب y,x بیابید.

۹۶- شیب را در ( ) بیابید.
۹۷- با استفاده از مشتق تابع معکوس، را در توابع زیر بدست آورید.

۹۸- را بیابید.

۹۹- با مشتقگیری منحنی از معادله‌ی ،‌ نشان دهید که از دو طرف معادله‌ی مشتق بگیرید و نشان دهید که

از دو طرف معادله‌ی مشتق بگیرید و نشان دهید که

۱۰۰- با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی، را در صورتی بیابید که y,x‌در معادله‌ی داده شده صدق کند.

-sinx+cosy=0
101- فرض کنید با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی : سر مشتق اول را در نقطه‌ی x=-1 را حساب کنید.
۱۰۲- با فرض آنکه مقادیر و را در نقطه‌ی (۴و۳) بیابید.
۱۰۳- استفاده‌ی کورکورانه از مشتق‌گیری ضمنی در معادله‌ی به فرمول

منجر می‌شود. چرا این نتیجه بی‌معنی است؟

کاربرد مشتق
تقعر و نقطه‌ی عطف
۱۰۴- نشان دهید که تابع ، بی‌توجه به مقادیر b,a، نقطه‌ی عطف ندارد. آیا این مطلب در مورد تابع نیز درست است.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 4700 تومان در 60039 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد