بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
آنالیز استاتیکی ورق های ساندویچی حلقوی با هسته مدرج تابعی با استفاده از روش تفاضالت دیفرانسیلی
خالصه
در این مقاله، آنالیز استاتیکی ورق های ساندویچی حلقوی با هسته ساخته شده از مواد مدرج تابعی با استفاده از روش تفاضالت دیفرانسیلی بررسی شده است. خواص مواد در ورق مدرج تابعی با یک تابع نمایی در راستای ضخامت متغییر فرض شده و ضریب پواسون ثابت می باشد. ورق دارای شرایط مرزی مختلف بوده و تحت بارگذاری متقارن محوری می باشد. معادالت حاکم بر اساس تئوری االستیسیته فرمولبندی شده سپس با استفاده از یک روش نیمه تحلیلی حل شده است. روش نیمه تحلیلی امکان استفاده از روش فضای حالت در راستای ضخامت و روش تفاضالت دیفرانسیلی در راستای شعاعی را فراهم می سازد. نتایج بدست آمده توسط مقایسه با نتایج بدست آمده در سایر مقاالت اعتبار سنجی شده است. تاثیر جهت مواد، نسبت شعاع خارجی به شعاع داخلی ورق ، شرایط مرزی و مقادیر بار وارده روی رفتار استاتیکی ورق بررسی شده است.
کلمات کلیدی: ورق مدرج تابعی، روش تفاضالت دیفرانسیلی، روش فضای حالت
.1 مقدمه
مواد مدرج تابعی مواد ساختاری پیشرفته ای است، که در آن خواص مواد بصورت پیوسته در راستای ضخامت درجه بندی شده تا بتوان بر مسائل و مشکالت بین الیه ای در مواد کامپوزیتی سنتی با توجه به تغییر ناگهانی خواص مواد غلبه کرد. رددی و همکاران [ ] و وانگ همکاران [ ] ورق های دایروی /حلقوی مدرج تابعی را بر اساس تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ورق مطالعه کرده اند. ما و وانگ [ ] روابط بین خمش متقارن و کمانش ورق های دایروی مدرج تابعی را بر اساس تئوری مرتبه سوم ورق و تئوری کالسیک ورق ارائه کرده اند. حل نیمه تحلیلی برای خمش متقارن ورق های دایروی و حلقوی مدرج تابعی دوبعدی توسط نای و ژونگ [ ] استخراج شده با فرض آنکه خواص مواد باتوجه به یک قائده نمایی در هر دو راستای ضخامت و شعاع تغییر می کند. آنالیز ارتعاش آزاد و اجباری سه بعدی ورق دایروی مدرج تابعی با شرایط مرزی مختلف و تغییرات خواص مواد با یک قائده نمایی توسط نای و ژونگ [ ] مورد مطالعه قرار گرفته است. فرریرا و همکاران [ ] آنالیز استاتیکی ورق های مدرج تابعی را با استفاده از روش کالوکیشن، توابع شعاعی و یک تئوری تغییر شکل برشی مرتبه باالتر ارائه کرده اند. بر اساس تئوری لوینسون ورق، صحرائی [ ] آنالیز خمش ورق های قطاع دایروی را با استفاده از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ارائه کرده است. بر اساس تئوری سه بعدی یان و همکاران [ ] خمش متقارن ورق های دایروی تحت بارهای عرضی دلخواه با استفاده از روش جابجایی مستقیم بررسی کرده اند.خمش متقارن ورق های دایروی ایزوتروپ عرضی و مدرج تابعی تحت بار عرضی دلخواه با استفاده از روش جابجایی مستقیم توسط وانگ و همکاران [ ] بررسی شده است.اسبورالتی و باردال [ ] حل االستیسیته سه بعدی برای ورق های دایروی مدرج تابعی ضخیم با استفاده از تابع پتانسیل تعیین کردند. گل مکانی و کدخدائیان [ ] آنالیز خمش غیر خطی متقارن ورق حلقوی مدرج تابعی را با استفاده از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم ارائه کرده اند. آنالیز خمش متقارن ورق های مدرج تابعی ضخیم تحت بارگذاری یکنواخت عرضی بر اساس تئوری تغییر شکل برشی مرتبه چهارم ورق توسط صحرائی و سعیدی [ ] مورد مطالعه قرار گرفته است. یک روش تحلیلی بر اساس تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ورق برای آنالیز تنش ورق های قطاع حلقوی مدرج تابعی توسط جمعه زاده و همکاران [ ] ارائه شده است. آنالیز خمش ورق های حلقوی ساخته شده از مواد مدرج تابعی با استفاده از روش کانتروویچ توسعه یافته توسط فریدون و همکاران [ ] مورد مطالعه قرار گرفته است..
.2 فرمول بندی فضای حالت
یک ورق ساندویچی با هسته ساخته شده از مواد مدرج تابعی به شعاع داخلی ri، شعاع خارجی ro، و ضخامت h را در نظر بگیرید که الیه های باالئی و پائینی آن به ترتیب از جنس فلز و سرامیک می باشد. ورق تحت بار عرضی متقارن )فشار یکنواخت( قرار دارد. همانگونه که در، شکل .1 نشان داده شده از سیستم مختصات استوانه ای r,θ,z برای توصیف ورق استفاده شده که در آن مبداء مختصات در مرکز الیه پایینی قرار دارد.
شکل-1 هندسه و مختصات ورق ساندویچی.
.1.2 الیه های ایزوتروپ
معادالت ساختاری برای الیه های ایزوتروپ در سیستم مختصات مرجع (r,θ,z) بصورت زیر می باشند:
E و ν به ترتیب، مدول یانگ و ضریب پواسون می باشند.
در غیاب نیروهای حجمی، معادله تعادل به صورت زیر می باشد:
روابط خطی بین کرنش و جابجایی مکانیکی بصورت زیر می باشند:
با جایگذاری معادله 3 در معادالت1,2 ، معادالت فضای حالت بدست خواهند آمد:
که متغییرهای فضای حالت برای الیه های ایزوتروپ هستند و GI
الیه های باالیی و پایینی ورق متفاوت باشد ضمیمه.
همچنین داریم:
شرایط مرزی روی سطوح باالیی و پایینی ورق بصورت زیر می باشد:
.2.2 الیه مدرج تابعی
الیه مدرج تابعی ایزوتروپ عرضی با ضریب پواسون ثابت ν، و مدول یانگ و تنش ها با توزیع نمایی در راستای ضخانت بصورت زیر می باشند:
که در آن مدول های یانگ به ترتیب در می باشند. و
با جایگذاری روابط 7 و 8 در معادالت ساختاری برحسب جابجایی برای ورق دایروی مدرج تابعی داریم:
معادالت تعادل در غیاب نیروهای حجمی برای ورق مدرج تابعی می تواند از روابط 8 و 2 بصورت زیر تعیین شود:
با استفاده از معادالت 11 و 11، معادالت فضای حالت بصورت زیر بدست خواهند آمد:
که در آن متغییرهای فضای حالت و GF ماتریس ضرایب ثابت می باشد ضمیمه
همچنین داریم:
.3 حل نیمه تحلیلی
یک حل نیمه تحلیلی با استفاده از تکنیک تفاضالت دیفرانسیلی می آید. در این روش، مشتقات جزئی از مرتبه n یک تابع پیوسته نسبت به r در یک نقطه مانند ri می تواند تقریب زده شود به صورت یک جمع خطی از مقادیر توابع وزنی در نقاط گسسته شده در دامنه r بصورت زیر:
که در آنN تعداد نقط نمونه، و gij ضرایب وزنی می باشند.
با جایگذاری معادله 11 در معادله4، متغییرهای حالت در نقطه نمونه ri بدست خواهند آمد:
در نظر گرفتن معادله 11 برای تمام نقاط نمونه منجر به معادله حالت کلی برای الیه های ایزوتروپ به فرم ماتریسی بصورت زیر می باشد:
با جایگذاری معادله 11 در معادله 12، معادله فضای حالت برای الیه مدرج تابعی می تواند بصورت زیر تعیین شود:
حال شرایط مرزی را در معادله 11 و 18 اعمال می کنیم. در این بررسی شرایط مرزی تکیه گاه ساده S ، تکیه گاه گیردار C، وتکیه گاه آزاد F در لبه های r = ri, ro بصورت زیر در نظر گرفته شده است:
بعد از بارگذاری شرایط مرزی در معادالت 11 و 18 می توان بدست آورد:
که در آن اندیس b نشان دهنده معادالت فضای حالت شامل شرایط مرزی می باشد.
حل های عمومی برای معادالت )21 و 21، برای الیه های فلز، مدرج تابعی، و سرامیک بصورت زیر می باشند:
از معادله 21 21، رابطه زیر بین متغییرهای فضای حالت در سطوح باالیی و پایینی ورق بدست خواهد آمد:
که در آن ماتریس انتقال کلی می باشد.
.4 نتایج عددی
برای محاسبات عددی، نقاط نمونه از معادله زیر انتخاب می شوند:
خواص مواد برای الیه های فلز، سرامیک و مدرج تابعی بصورت زیر می باشند:
