بخشی از مقاله

چکیده

در این پژوهش، ارتعاشات ورق ضخیم مدل شده توسط تئوري میندلین-ریسنر به کمک روش تفاضات مربعی تعمیم یافته 1 ارائه-شدهاست . خواص مادهي سازندهي ورق به صورت هدفمند در راستاي ضخامت بر اساس یک تابع توانی تغییر خواهند کرد. هرچند روش استفادهشده هیچگونه محدودیتی براي شرایط مرزي ندارد؛ ولی به دلیل کاربرد فراوان، در این پژوهش شرایط مرزي یکسردرگیر انتخاب گردیدهاست. ابتدا معادلات حرکت با استفاده از قانون همیلتون استخراج گردیده و سپس با استفاده از روش تفاضلات مربعی تعمیمیافته این معادلات براي شرایط مرزي یکسردرگیر حل گردیدهاست. ابتدا براي سنجش میزان اعتبار روش ارائهشده، ارتعاشات ورق همگن تحلیلشده و نتایج بدستآمده با نتایج ارائهشده توسط سایر محققان مقایسهشدهاند؛ سپس تاثیر پارامترهاي مساله بر روي فرکانسهاي ارتعاشات عرضی ورق بررسی گردیدهاست.

واژه هاي کلیدي:ارتعاشات آزاد، ورق میندلین ریسنر، مواد مدرج تابعی، روش تفاضلات مربعی تعمیم یافته

مقدمه

سادهترین مدل ارائهشده براي ورقها، تئوري کلاسیک ورقها - ورق کیرشهف - میباشد که تنها براي ورقهاي نازك قابل استفاد میباشد. مدل پیشرفتهتر ورق، مدل ورق ضخیم معروف به مدل میندلین-ریسنر میباشد. در این مدل براي ورق تغییرشکلهاي برشی نیز در نظر گرفته میشوند و در نتیجه نتایج دقیقتري بدست خواهندآمد.مواد مدرج تابعی2 دستهاي از ساختارهاي کامپوزیتی هستند که با توجه به خواص مناسب مکانیکی و حرارتی خود کاربردهاي فراوانی به خصوص در صنایع هوافضا، بیومکانیک، الکترونیک، شیمیایی، کشتی-سازي و دیگر شاخههاي مهندسی که نیاز به تحمل تمرکز تنش، تنشهاي بالاي گرمایی و پسماند هستند، پیدا کردهاند. این مواد اساسا مواد مرکب ناهمگنی هستند که خواص آنها به صورت پیوسته از یک سطح به سطح دیگر تغییر میکنند.

بر اساس تئوري کلاسیک طیف وسیعی از تحقیقات بر روي ارتعاشات آزاد ورقهاي نازك FG انجام شدهاست؛ به عنوان نمونه ابریت [1] ارتعاشات آزاد ورق FG با تکیهگاهاي ساده را مورد بررسی قرار داد و حل دقیق ارتعاشات آزاد و پاسخ گذراي یک ورق نازك مستطیلی داراي تنش اولیه، واقع شده بر روي بستر الاستیک پاسترناك، تحت بار ضربهاي توسط یانگ و شن [2] ارائه گردید. بر روي ورقهاي ضخیم نیز مطالعات وسیعی صورت گرفتهاست. به عنوان نمونه با استفاده از روش پتروف-گالرکین موضعی، کوین 3]و[4، ارتعاشات آزاد و واداشتهي ورق ضخیم همگن FG را مورد بررسی قرار داد.

ژونگ و یو[5] با استفاده از روش فضاي حالت ارتعاشات آزاد و اجباري ورقه ضخیم مستطیلی پیزو الکتریک FG با تکیهگاههاي ساده را مورد بررسی قرار دادند. حسینی هاشمی و همکارانش 7]،6و[8 چند حل بستهي تحلیلی را براي ارتعاشات ورق ضخیم مستطیلی ساختهشده از مواد هدفمند ارائه کردند. در این تحلیلها دو لبهي رو در روي با شرایط مرزي ساده در نظر گرفتهشدند.در تحقیق پیش رو با استفاده از روش تفاضلات مربعی تعمیم یافته ارتعاشات آزاد عرضی ورق ضخیم یکسردرگیر مورد بررسی قرار گرفه-است. براي مدلسازي ورق از تئوري ورق میندلین-ریسنر استفاده شده و همچنین علیرغم عدم محدودیت روش حل چگونگی تغییر خواص در راستاي ضخامت، این تغییر به صورت توانی در در نظر گرفتهشدهاست.

-1 روش تفاضلات مربعی

بر اساس روش تفاضلات مربعی، مشتقات تابع از هر مرتبهاي را در نقطه اي دلخواه مانند - x,y - = - xi,yi - میتوان بر حسب مقادیر تابع در تمامی بازه به شکل زیر بازنویسی نمود:

و همچنین A - r - ماتریسهاي وزنی می باشند که به عنوان مثال در راستاي x به شکل زیر تعریف شدهاند :[9]

یکی از مهمترین نکات در تسریع همگرایی مساله چگونگی توزیع نقاط در دامنه ي حل می باشد. بهترین نوع توزیع نقاطی که تاکنون در نظر گرفته شده است توزیع توزیع چبیشف-گوس-لوباتو می باشد که براي بازهي [0,1] از رابطهي زیر محاسبه خواهد شد:
در مسائل دوبعدي از زیر هم قرار دادن ستونهاي ماتریس یک بردار معادل براي ماتریس بدست میآید؛ به عبارت دیگر:                                                                                        در صورت انجام این تعریف رابطهي زیر را خواهیمداشت:    
که در این رابطه علامت  نشاندهندهي ضرب کرونیکر دو ماتریس می باشد. در این مقاله به منظور سهولت در نمادگذاري از قرارداد زیر در دو راستاي x و y استفاده خواهیم کرد:

-2 استخراج معادلات

-1-2هندسهي مساله مطابق با شکل 1، یک ورق مستطیلی یکنواخت در نظر گرفتهشده-است؛ لبهي x=0 درگیر و سایر لبهها آزاد میباشند. خواص ماده در راستاي ضخامت ورق به صورت تابع توانی به شکل زیر از سطح کاملا سرامیکی تا سطح کاملا فلزي به شکل زیر تغییر میکنند:                                                                                                                          که در این رابطه E و ρ به ترتیب نشاندهندهي مدول الاستیک و چگالی ماده میباشند؛ همچنین اندیسهاي m و c به ترتیب نشان دهندهي خواص مربوطه در فلز و سرامیک میباشند. همچنین ضریب پواسون معمولا ثابت در نظر گرفته میشود.

میتوان رابطهي - 8 - را به شکل بدونبعد زیر بیان نمود:

میدان جابجایی در مدل ریسنر-میندلین براي ورقها به شکل زیر در نظر گرفته میشود:[10]

که در این رابطه uz ، vz و wz به ترتیب نشاندهنده ي جابجایی در راستاهاي x، y و z میباشند؛ همچنین u، v و w به ترتیب نشان-دهندهي جابجایی مربوطه در صفحهي میانی - z=0 - بوده ψx و ψy و نشاندهندهي شیب حول محورهاي x و y میباشند. با توجه به کوچک بودن جابجاییهاي طولی در صفحهي میانی در مقایسه با جابجایی عرضی میتوان رابطهي - 11 - را به شکل زیر بیان نمود:
و در نتیجه مولفههاي کرنش را به شکل زیر محاسبه نمود:

 مولفههاي تنش نیز بر اساس قانون هوك به شکل زیر خواهندبود:
که در این رابطه G مدول برشی بوده و k ضریب اصلاح تنش برشی میباشد که در این تحقیق از رابطهي محاسبه خواهدشد :[11] 

-2-2اصل همیلتون به منظور استخراج معادلات حاکم بر مساله از اصل همیلتون که براساس روشهاي انرژي بنا نهادهشدهاست استفاده خواهیم نمود. رابطهي اساسی در اصل همیلتون به شکل زیر میباشد:
با جایگذاري روابط - 12 - ، - 13 - و - - 17 در رابطهي - 16 - ، انترالگیري در راستاي ضخامت ورق و استفاده از قوانین حاکم بر عملگر دلتا - δ - ، معادلات زیر بدست خواهندآمد:

 که در این رابطه منتجههاي تنش، سفتیهاي کششی و خمشی ورق و اینرسیهاي خطی و دورانی آن به ترتیب به شکل زیر تعریف شده-اند:

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید