بخشی از مقاله
چکیده
در این تحقیق ارتعاشات آزاد تیر ساخته شده از ماده تابعی بررسی شده است که با استفاده از روش عددی مربعات دیفرانسیلی تحلیل خواهد شد. با این فرض که خواص ماده در امتداد طول تیر به صورت تابع نمایی تغییر می کند. معادله دیفرانسیل حاکم بر ارتعاشات تیر بر اساس تئوری کلاسیک تعیین گردیده است.
این معادلات به روش عددی مربعات دیفرانسیلی حل شده و فرکانس های طبیعی تیر بدست آمده و با هم مقایسه شده اند. تاثیرات پارامتر نا همگونی ماده بر فرکانس های طبیعی و شکل مودها برای دو شرط مرزی، تیر دو سر گیردار و تیر دو سر مفصل مورد بررسی قرار گرفته اند. نتایج نشان می دهد فرکانس طبیعی با افزایش مقدار پارامتر ناهمگونی ماده، در تیر دو سر گیردار افزایش و در تیر دو سر مفصل کاهش می یابد. همچنین مشاهده می گردد که اثر تغییرات پارامتر ناهمگونی ماده بر منحنی تغییر شکل با افزایش تعداد مودها کمتر شده و این موضوع با افزایش نسبت ضخامت به طول تیر بیشتر قابل توجه است.
-1 مقدمه
مواد تابعی1 به دلیل مقاومت به حرارت بالا و چقرمگی مناسب، اخیرا بسیار مورد توجه بوده اند. توابع تحلیلی مانند تابع توانی و تابع نمایی بطور معمول برای بیان خواص مواد تابعی استفاده می شوند. مطالعات زیادی در ارتباط با تیرها، صفحات و پوسته ها ساخته شده از مواد تابعی تحت تئوری های مختلف تغییر شکل به طور خطی و غیر خطی صورت پذیرفته است. تحلیل الاستیسیته تیرهای ساخته شده از ماده تابعی توسط سانکار [1] انجام شد. در این تحقیق تابع توزیع ماده تابعی به صورت نمایی در راستای ضخامت در نظر گرفته شده و مسئله منطبق بر تئوری کلاسیک - اویلر- برنولی - بطور دقیق حل شده است.
ژونگ و یو [2] یک حل نیمه تحلیلی طبق تئوری اویلر- برنولی برای بررسی الاستیسیته تیر از ماده تابعی، ارائه دادند. با این فرض که تمام خواص ماده دارای تغییرات یکسان در جهت ضخامت تیر هستند. لی [3] توانست روش نیمه تحلیلی جدیدی را جهت بررسی رفتارهای دینامیکی و ارتعاشات تیرهای ساخته شده از مواد تابعی ارائه دهد. در این مطالعه از نظریه های اویلر-برنولی و تیموشنکو استفاده شده است و در آن تغییر خواص در جهت ضخامت فرض شده است.
پراژان و چاکراورتی [4] ارتعاشات آزاد تیر از ماده تابعی را طبق تئوری های اویلر- برنولی و تیموشنکو بررسی کردند. و تابع توزیع خواص قانون توانی در نظر گرفته شد و روش نیمه تحلیلی ریلی - ریتز به منظور محاسبه فرکانس های طبیعی بکار رفته است.
مطالعات هانگ و لی [5] حول مبحث ارتعاشات آزاد تیر از ماده تابعی منطبق بر نظریه اویلر- برنولی به روش معادلات انتگرال صورت گرفته است. باید متذکر شد که روش ارائه شده توسط آنها در این تحقیق جهت بدست آوردن فرکانس های طبیعی، یک روش تقریبی است. لی و همکارانش [6] روش تحلیلی را برای بدست آوردن معادلات دقیق فرکانسی ارتعاشات آزاد تیر از ماده تابعی بیان نمودند. آنها در کار خود با در نظر گرفتن تئوری تیر اویلر- برنولی و تابع توزیع تغییر خواص ماده در جهت طول تیر به صورت نمایی، معادلات فرکانسی را بدست آورده و تحت شروط مرزی مختلف مسئله را حل کرده اند.
در این تحقیق ارتعاشات آزاد یک تیر از ماده تابعی که خواص آن در امتداد طول به صورت تابع نمایی تغییر می کند - شکل - 1، با استفاده از روش عددی مربعات دیفرانسیلی تحلیل شده است، تا بتوان راه حلی آسان تر و به مراتب سریع تر از روش های تحلیلی بدست آورد. ابتدا معادلات دیفرانسیل حاکم بر ارتعاشات تیر بر اساس تئوری کلاسیک تعیین شده و سپس این معادلات به روش عددی مربعات دیفرانسیلی حل شده است. با حل این معادلات فرکانس های طبیعی تیر بدست آمده و تاثیرات پارامتر نا همگونی ماده بر فرکانس های طبیعی و شکل مودها در شرایط مرزی مختلف مورد بررسی قرار گرفته اند.
شکل 1 یک تیر از ماده تابعی که خواص آن در امتداد طول تغییر می کند.
-2 تئوری کلاسیک تغییر شکل تیرها
میدان های تغییر مکان در تئوری کلاسیک برای صفحه به شکل زیر نوشته می شوند:
در رابطه بالا w, v, u به ترتیب مولفه های جابجایی در جهت محورهای z, y, x هستند و w0 , v0 , u0 تغییر مکان هر نقطه روی سطح میانی - z=0 - به ترتیب در جهت محورهای z, y, x می باشد. با توجه به میدان های تغییر مکان بالا و مطابق با شکل - 2 - می توان به این نتیجه رسید که خط مستقیم و عمود بر محور میانی قبل از تغییر شکل، پس از تغییر شکل نیز مستقیم و عمود باقی می ماند. از اینرو می توان نتیجه گرفت که در این تئوری از برش عرضی صرف نظر شده و تغییر شکل مانند حالت خمش خالص می باشد.
شکل 2 هندسه های تغییر شکل نیافته و تغییر شکل یافته لبه ای از صفحه بر طبق تئوری کلاسیک
-3 روش مربعات دیفرانسیلی
گسسته سازی عددی معادلات به دو بخش گسسته سازی مکانی و گسسته سازی زمانی تقسیم می شود. در گسسته سازی مکانی از روش هایی نظیر روش های تفاضلات محدود، اجزای محدود، حجم محدود، طیفی و روش مربعات دیفرانسیلی اشاره کرد. از میان این روشها سه روش اول جزء روشهای مرتبه پایین به حساب می آیند در حالی که روشهای طیفی و مربعات دیفرانسیلی به عنوان روشهای مرتبه بالا شناخته می شوند. روشهای مرتبه پایین برای به دست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گره های محاسباتی بسیاری اند. این در حالی است که در روشهای مرتبه بالا، حتی با استفاده از تعداد گره های محاسباتی کم نیز، نتایج عددی از دقت خوبی برخوردار است. جهت مطالعه و بررسی ویژگی های ارتعاشات آزاد تیر، در این تحقیق، از روش عددی مربعات دیفرانسیلی استفاده شده است.
ایده اولیه این روش برگرفته شده از روش انتگرال گیری مربعی است. در این روش مشتق در یک راستای معین از تمامی گره های محاسباتی در آن راستا اثر می پذیرد. میزان اثر پذیری گره های محاسباتی را ماتریس ضرایب وزنی تعیین می کند. به عبارت دیگر مشتق یک تابع نسبت به متغیر آن در یک نقطه معین با مجموع خطی حاصلضرب ضرایب وزنی در مقدار تابع در نقاط موجود در دامنه آن متغیر محاسبه می شود. تابع را در نظر بگیرید که میدان آن بر روی یک ناحیه مستطیلی به صورت و قرار دارد. در ناحیه داده شده مقادیر تابع معلوم است و یا اینکه بر روی نقاط ناحیه خواسته شده اند.
