بخشی از مقاله
مقدمه
در اکثر مسائل واقعی بارگذاري به صـورت وابسـته بـه
زمان است و هر چند سازه از نظـر بـار الاستواسـتاتیک
داراي طراح مطمئنی باشد اما ممکن است با اعمال بـار ناگهانی دچار خرابی گردد. به همـین دلیـل لازم اسـت
بسیاري از مسائل به صورت دینامیکی مورد بررسی قرار
گیرنـد. بـا توجـه بـه کـاربرد زیـاد مکانیـک شکسـت دینامیکی در زمینههاي گوناگون، شناسـایی و مطالعـهي
آن حائز اهمیت است. براي شناسایی مسائل دینـامیکی،
در حالت عمومی بـه بزرگـی تـرم انـرژي جنبشـی در بالانس انرژي توجه مـیشـود؛ یعنـی مسـأله را زمـانی
دینامیکی فرض میکنند که نیروهاي اینرسـی بـهحـدي بزرگ باشند که براي بالانس انرژي لازم شود ترمهـاي
انرژي جنبشی نیز لحاظ گردد. اما براي شناسایی مسائل
شکست دینامیکی محققان تعریف جامعتري بـه شـرح زیر ارائه کردند؛
شکست دینـامیکی شـامل تمـام مسـائل مکانیـک
شکستی میشود که بارگذاري یا اندازه ي ترك با زمـان تغییر میکند .[1] میدان تنش دینامیکی بهعلـت وجـود
ترمهاي وابسته به زمان در معادلات، تفاوت زیـادي بـا
میدان تنش استاتیکی در اطراف تـرك دارد و مطالعـهي آن بهمراتب پیچیدهتر است. یکی از پارامترهاي مهم در شکسـت دینـامیکی، ضـریب شـدت تـنش دینـامیکی
(Dynamic Stress Intensity Factor (DSIF)) اسـت کـه تـاکنون از روشهـاي تجربـی، تحلیلـی و عـددي مختلفی بـراي محاسـبه ي آن اسـتفاده شـده اسـت. در
مرجع [2] با روش آشکارسازي براي دو حالـت تـرك
در حال رشد تحت بار ثابت و تـرك ایسـتا تحـت بـار دینامیکی، ضریب شدت تنش دینامیکی محاسـبه شـده
است. در مرجع [3] ضریب شدت تنش دینامیکی ورق
ترکدار مرکزي همگن ایزوتروپیک به صـورت تحلیلـی
ارائه شده است. روشهاي عـددي متنـوعی نیـز بـراي محاسبهي ضریب شدت تنش دینامیکی بـهکـار گرفتـه شده است که در ادامه برخی از آنها ذکر میشود.
در مراجــع [4,5] از روش اخــتلاف محــدود و در
مراجع [6-9] از روش المان محـدود بـراي محاسـبهي ضریب شدت تنش دینامیکی استفاده شده است.
از روشهاي المان مرزي با معیار بازشـدگی تـرك
در مراجــع [10-12]، المــانهــاي مــرزي دوتــایی
((DBEM) Dual Boundary Element Method) در
مراجـع [13-15]، روش المـان مـرزي متقابـل دوتـایی
Dual Reciprocity Boundary Element Method )
((DRBEM) در مراجــع [16,17]، المــانهــاي مــرزي
دوتایی در حوزهي زمانی بـا معیـار بازشـدگی تـرك و
انتگرال J در مراجع [18-20] و المان مرزي در حوزه ي لاپلاس در مرجع [22] براي محاسبهي ضـریب شـدت
تنش دینامیکی استفاده شده است.
روش ترکیبی نیز در مرجع [21] بکار گرفته شـده است؛ بدینصورت که در معادلات انتگرال مرزي تغییر مکـان و ترکشـن از روش المـانهـاي مـرزي دوتـایی استفاده شده و با روش حـوزه زمـانی، قضـیهي انتقـال انتگرالی و روش تقابلی دوتایی ترکیب گردیده است.
علاوه بر روشهاي فوق از روشهاي بـدون مـش ماننــد ســلولی([23] (Cell Method، نقطــه مــادي
[24,25] ( Material Point Method ( MPM)) و بـدون مش محلی پتروف گالرکین(-Meshless Local Petrov
[26,27] ( Galerkin (MLPG) method نیــز بــراي محاسبه ي ضریب شدت تـنش دینـامیکی بهـره گرفتـه شده است.
در اکثــر مراجــع فــوق شکســت دینــامیکی مــواد
ایزوتروپیک همگن بررسی شده است، تنهـا در مراجـع [5,17] مواد همگن غیر ایزوتروپیک و در مرجـع [27]
مواد مـدرج تـابعی ( Functionally Graded Material ((FGM) براي حالت خاصی از ناهمگنی تحلیـل شـده
است. از طرفی با گسترش روزافزون کاربرد مواد مدرج تابعی بررسی شکست دینامیکی آنها از اهمیت بـالایی
برخوردار شده است. زیرا مهندسان براي استفاده از این مواد در طراحی قطعات صنعتی، باید شناخت صحیحی
2
علی عبدالهی فر- محمدرحیم نامی- بهادر سرانجام سال بیست و پنجم، شماره دو، 1393
از رفتار آنها داشته باشند.
مواد مدرج تابعی یک راه حل مناسـب بـراي رفـع مشکل مـرز مشـترك در ترکیـب دو مـادهي نـاهمگون
میباشد. این مواد اولین بار در سال 1984 بـراي تولیـد
عایق حرارتی در سازههاي فضایی و راکتورها اسـتفاده شدند .[28] با بررسی پنج مـدل موجـود مـواد مـدرج
تابعی، نشان داده شد، که مدل تغییـرات پیوسـته بـراي
آنالیز دینامیکی این مواد مناسب اسـت .[29] در مرجـع
[30] نشان داده شد که میدان تنش اطراف نـوك تـرك
در صفحهي ناهمگن با فرض گرادیان مادهي پیوسـته و
مشتقپذیر تکهاي، مشابه با میدان تنش مـادهي همگـن در نوك ترك میشود، لذا مفهوم ضریب شـدت تـنش
براي مطالعهي شکست مـواد مـدرج تـابعی نیـز قابـل
تعمیم است. همچنین در این مرجع نشان داده شـد کـه اگر چه گرادیان خواص ماده بر میـدان تـنش ناحیـهي
اطراف نوك ترك تأثیر ندارد ولـی ابعـاد ایـن ناحیـه را
تغییر مـیدهـد. در مرجـع [31] میـدان تـنش و سـایر پارامترهاي شکست در یک صفحهي مـدرج تـابعی بـا
ترك لبهاي عمود بر گرادیان ماده محاسبه شدند. در این
مقاله تنش یکنواخت کششی استاتیکی 0 به مرزهـاي صفحه اعمال گردید و پارامتر نـاهمگنی (E2/E1) برابـر
سه فرض شد. در مرجع [32] نشان داده شد که انتگرال
J معرفیشده توسط رایس در مواد نـاهمگن مسـتقل از مسیر نیست و مقدار انتگرال، برابر با نرخ رهایی انرژي
کرنشی نمیباشد. در مرجع [33] روش سـادهاي بـراي
تعیین عددي ضرایب شدت ارائه شده و تأثیر ناهمگنی بر مقدار انتگرال J بررسـی شـده اسـت. در ایـن مقالـه نشان داده شد که در صورت استفاده از المانهاي بسیار کوچک در اطراف ترك، میتوان از انتگـرال J اسـتفاده کرد. در سال 2000 در مرجع [34] نشان داده شـد کـه انتگرال J براي مواد مدرج تابعی تنها زمـانی مسـتقل از
مسیر است که گرایان خواص بر ترك عمود باشد. براي رفع این مشکل در این مقاله انتگرال مستقل از مسیر J*
با اضافه کردن یک ترم به انتگرال J براي مسائل مـدرج
تابعی معرفی گردید و تنهـا در تعیـین ضـریب شـدت
تنش استاتیکی از آن استفاده شد.
هر چند که روشهاي تحلیلی پاسخ به فـرم بسـته
نتیجه میدهند اما در بیشتر مسائل عملی این پاسخهـا
قابل محاسبه نیسـتند در نتیجـه اسـتفاده از روشهـاي عددي مانند المان محدود، المان مرزي و بـدون مـش،
گریزناپذیر است. از طرفی اسـتفاده از المـان بـهعنـوان
زیربناي روش المان محدود محدودیتهـاي زیـادي را در بر دارد .[35] اخیراً روشهـاي محاسـباتی جدیـدي
پدید آمدهاند که معادلات دیفرانسـیل پـارهاي را بـدون
نیاز به مشبندي حل مـیکننـد بـه همـین دلیـل آنهـا را روش هاي بدون مش نامیدهاند. یکـی از روشهـاي
بــدون مــش ارائــه شــده کــه از دقــت و پایــداري
مناسـبی برخـوردار اسـت روش المـان آزاد گـالرکین
(Element free Galerkin (EFG)) است، اما این روش
بــه ســلول پــسزمینــهي کلــی بــراي انتگــرالگیــري
ماتریسهاي به دسـت آمـده از فـرم ضـعیف معـادلات نیازمند است بـه همـین دلیـل ایـن روش، بـدون مـش
واقعــی نیســت .[35] بــراي اجتنــاب از ایجــاد ســلول
پسزمینـهي کلـی روش بـدون مـش محلـی پتـروف-
گالرکین که بر اساس فرم ضعیف متقـارن محلـی بـوده
اسـت در سـال 1998 ارائـه گردیـد .[36] ایـن روش،
ساختار سادهاي شبیه به روشهاي فرم قـوي دارد و در عــین حــال، بــراي درونیــابی متغیرهــاي میــدان و انتگرالگیري فرم ضعیف معادلات نیاز بـه ایجـاد یـک مش مشخص بر روي کل دامنه نـدارد. لـذا ایـن روش بسیار مورد توجه و استقبال واقع شده و با موفقیـت در
حل مسائل بسیاري بهکار گرفته شده است. ایـن روش بر اساس تابع تست انتخابی به شش نوع تقسـیم شـده است اما نوع اول و پس از آن نوع پنجم بهعلت دقت و پایداري مناسـب بـیش از سـایرین مـورد توجـه قـرار
گرفتند. در مرجع [26] تحلیل شکست دینـامیکی مـواد همگن ایزوتروپیـک بـا اسـتفاده از روش MLPG نـوع
اول انجـام شـده اسـت. در مرجـع [37] بـا اسـتفاده از
3
نشریه علوم کاربردي و محاسباتی در مکانیک تحلیل شکست دینامیکی مود ترکیبی ورق مدرج ...
روش MLPG نوع پنجم و با درونیابی حداقل مربعات
متحــرك (Moving Least Square interpolation)
(MLS) مسائل شکسـت دینـامیکی مـواد ایزوتروپیـک
همگن بررسی شده و ضـریب شـدت تـنش دینـامیکی
محاسبه شده است. در مرجع [38] تحلیل اسـتاتیکی و دینامیکی یک تیر ساده مدرج تابعی با گرادیان خـواص
در راستاي تیر و عمود بر تیـر بـا روش MLPG انجـام
شده است. آنالیز ترك دوبعدي مواد مدرج تابعی با یک زاویـهي گرادیـان خـاص بـا درونیـابی MLS و تـابع
آزمــون پلــه در ســال 2006 در مرجــع [39] بــا روش
MLPG انجــام شــده اســت. در مرجــع [27] از روش MLPG نوع اول براي تحلیل ترك مواد مدرج تابعی با
یک زاویه ي گرادیان خاص در هر دو حالت اسـتاتیکی و دینامیکی بهره گرفته شده است. در مرجع [40] براي اولین بار اثر تغییر گرادیان خواص بـر ضـریب شـدت تنش استاتیکی بررسی شده است.
