بخشی از مقاله
چکیده
رفتار مواد در مقیاس نانو متفاوت از رفتار آنها در مقیاس معمول میباشد. ازاین رو برای تحلیل نانو ذرات ،از جمله نانو تیرها از مدل غیر محلی استفاده میشود. دراین مقاله سعی شده تا اثرات غیر
محلی بر روی بار کمانش بحرانی تیر اویلر- برنولی همگن با مقطع متغیر، تحت شرایط مرزی دوسر گیردار و یک سر گیردار بررسی شود.معادلات دیفرانسیل پایداری حاکم بر رفتار تیر غیر منشوری با استفاده از حداقل کردن انرژی پتانسیل بدست میآید. و سپس به کمک روش اختلاف محدود با دقت مرتبه دو، معادلات پایداری حل میشود. با مقایسه مقادیر بدست آمده و نتایج ارائه شده در منابع دیگر، صحت روش بهاثبات میرسد. نتایج بدست آمده نشان میدهد با افزایش پارامتر غیر محلی، بار کمانش بحرانی در تیر کاهش مییابد. اثر تغییر میزان پارامتر غیر محلی در این مقاله برسی شده است. یکی از واژههایی که در مباحث مربوط به تعادل و تحلیل سازهها زیاد از آن استفاده میشود، مفهوم پایداری است. پایداری یک سازه راتوانمی به صورت قابلیّت تحمّل بار بدون ایجاد تغییر شکلهای بزرگ در سازه تعریف کرد. لازم به توضیح است که تاکید بر بزرگ بودن تغییر شکلهای سازهی ناپایدار از آن روست که تمامی سازههای واقعی، خواه پایدار وخواه ناپایدار، تحت اثر بارگذاری تغییر شکل میدهند. به عبارت دیگر تغییر شکلهای سازهی پایدار، نسبت به ابعاد اولیّهی سازه کوچک میباشد؛ به طوری که سازه زیر اثر بار شکل کلّی خود را حفظ میکند. اما در سازهی ناپایدار این تغییر شکل نسبت به ابعاد اولیّهی سازه بسیار قابل ملاحظه میباشد؛ به طوری که شکل اولیهّی سازه به کلی تغییر میکند.اما آنچه بر اهمیت پایداری اعضا می افزاید بررسی آن ها در مختصات غیر محلی - Eringen, 2006 - می باشد .[1]
به دلیل اهمیت موضوع پایداری دانشمندان زیادی به بررسی پایداری اعضای سازهای از جمله تیرها پرداختهاند.فریش فی - Frisch-Fay,1962 - حل روش تحلیلی چگونگی تعیین نیروی کمانش بحرانی یک المان منشوری که تحت اثر نیروی محوری یکنواخت و شرایط مرزی متفاوت را به دست آورد[2] .اربابی - Arbabi, 1991 - کمانش الاستیک تیر- ستونهای غیرمنشوری با ضخامت متغیر را مورد بررسی قرار داد .[3]پاسکینو - Pasquino, 1992 - بااستفاده از روش حساب تغییرات، معادلات اولر- لاگرانژ را استخراج و از آن به منظور مدلسازی تیرهای جدار نازک غیرمنشوری با مقطع دلخواه و تعیین بار کمانشی استفاده کردهاست .[4]سوداک - Suduk,2003 - به مطالعه کمانش نانو لولهها پرداخت. و پیش بینی کرد که با افزایش اثرات مقیاس کوچک، مقدار نیروی کمانش بحرانی کاهش مییابد[5] .پیسانو و فوسچی - Pisano and Fuschi,2003 - از مدل غیر موضعی برای مطالعه کشش یک میله الاستیک استفاده کردند .[6] ردی - Reddy, 2007 - به بررسی کمانش ، خمش و ارتعاش جانبی ازاد نانو تیر های غیر محلی پرداخت او از روش جابجایی مجازی برای حل معادلات حرکت استفاده نمودو این معادلات را به صورت تحلیلی حل نمود .[7]پرادهان و فادیکار - Pradhan and Phadikar, 2009 - رفتار نانو تیوب ناهمگن را با روش GDQ و تئوری غیر محلی مورد بررسی قرار دادند .[8]آنها همچنین - Phadikar and Pradhan, 2010 - از روش المان محدود برای بررسی پایداری و فرکانس تیر خطی غیر موضعی استفاده کردند .[9] قنادپور و محمدی - Ghannadpour and Mohammadi, 2013 - به تحلیل تنش، کمانش و ارتعاشات تیر اویلر- برنولی با روش رایلی ریتز پرداختند. بدین منظورآنها فرمولهای تحلیلی برای یافتن ماتریس سختی کمانشی و ماتریس جرم را توسعه دادند ومقادیر ارتعاش ، بار کمانش بحرانی و خیز را در تکیه گاه های مختلف بدست آوردند .[10] در این پژوهش بار کمانش بحرانی تیر اویلر - برنولی غیر منشوری با روش اختلاف محدود مرکزی در مختصات غیرمحلی بدست میآید.و اثرات تکیه گاه دوسر گیردار و یک سر گیردار روی آن بررسی میشود.
معادلات حاکم
در این مقاله از تیر اویلر- برنولی استفاده شدهاست. تیر تحت خمش خالص قرار گرفتهاست. به این معنی که نیروی برشی صفر بوده و هیچ گونه بار پیچشی یا نیروی محوری وجود ندارد برای بدست آوردن معادلات حاکم، تیری همگن و به طول L در نظر می گیریم تیر در راستای طولی خود یعنی محور x دارای مقطع متغیر بوده و راستای z در جهت ضخامت تیر می باشد.
