بخشی از مقاله
چکیده
هدف از این تحقیق تحلیل پسکمانش تیر چند ترکه میباشد. به منظور مدلسازی ترک و نرمی ایجاد شده در اثر آن در تیر از فنر پیچشی بدون جرم استفاده میگردد. معادلات حاکم بر مسئله که در دستگاه مختصات مماسی بدست میآیند یک دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی را تشکیل میدهند که با استفاده از روش عددی المان کوادراتور دیفرانسیلی گسسته شده و به یک دستگاه معادلات جبری غیرخطی تبدیل میگردند. برای حل دستگاه معادلات جبری غیرخطی از روش طول قوس استفاده میشود. تیر با نقص هندسی اولیه در نظر گرفته میشود. در این پژوهش اثر عمق، مکان و تعداد ترک و همچنین افزایش بار بر رفتار پسکمانشی تیر بررسی میگردد. مقایسه نتایج بدست آمده از پژوهش حاضر و روش اجزای محدود نشان دهنده کارایی، دقت روش ارائه شده و زمان کم محاسباتی میباشد.
واژه های کلیدی: پس کمانش تیرها، ترک، روش المان کوادراتور دیفرانسیلی
مقدمه
وجود ترک باعث کاهش استحکام سازهها می گردد. از این رو محققین بسیاری در زمینه های متفاوت، سازههای ترکدار را بررسی نمودهاند. یکی از این زمینه ها بررسی رفتار کمانشی و پس کمانشی سازههای ترکدار میباشد. با توجه به ماهیت مسئله، حل تحلیلی آن دشوار بوده به همین دلیل برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی از روشهای عددی استفاده شده است. یزدچی و گوهری [1] ظرفیت تحمل ستونهای ترکدار با شرایط مرزی متفاوت تحت بار متمرکز عمودی را بررسی نمودند. آنها برای مدلسازی ترک از فنر پیچشی بدون جرم استفاده نمودند. پارلاپالی و همکاران [2] کمانش تیر کامپوزیتی با لایه شدگی را با استفاده از یک مدل تحلیلی بررسی نمودند. آنها معادلات خود را بر اساس تئوری تیر اولر بدست آوردند و برای صحتسنجی کار خود از تحلیل اجزای محدود خطی و غیرخطی بهره بردند. که و همکاران [3] بر اساس تئوری تیموشنکو و روابط کرنش - جابجایی غیرخطی ون کارمن پس کمانش تیرهای با جنس متغیر در ضخامت1 را با ترک لبهای بررسی نمودند. آنها ترک را با فنر پیچشی بدون جرم مدل نموده، سپس با استفاده از روش ریتز معادلات حاکم بر مسئله را استخراج و با استفاده از روش نیوتن - رافسون حل کردند. قاسمنژاد و همکاران [4] جهت بررسی آسیب لایهشدگی داخلی پرههای توربین بادی، بار بحرانی کمانشی و رفتار پسکمانشی تیرهای کامپوزیتی با چند لایهشدگی را مطالعه کردند. آنها کمانش و پس کمانش تیر را با روش اجزای محدود شبیهسازی و نتایج خود را با دادههای تجربی مقایسه نمودند. در پژوهش حاضر پسکمانش تیر چند ترکه دو سرگیردار بررسی میشود. بدین منظور اثر ترکها با چند فنر پیچشی بدون جرم که گشتاور خمشی را تحمل میکند مدل میشود. پس از محاسبه نرمی ایجاد شده در تیر به علت وجود ترکها، تیر به چندین قسمت تقسیم گشته و معادلات حاکم بر مسئله پس کمانش، شرایط مرزی، معادلات پیوستگی تیرها و معادله ترک ارائه میشوند. سپس دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی با استفاده از روش المان کوادراتور دیفرانسیلی2 گسسته گردیده و به یک دستگاه معادلات جبری غیرخطی تبدیل میگردد که این دستگاه معادلات جبری غیرخطی با استفاده از روش طول قوس3 حل میگردد.
مدلسازی ترک
برای بررسی پس کمانش تیر چند تر که، ابتدا تیری دو سرگیردار مشابه شکل 1 به طول l ، ارتفاع h، تحت بار محوری p و با ترکهایی به عمق ai و محل lci در نظر گرفته میشود.
شکل :1 تیر چند ترکه دوسرگیردار تحت نیروی محوری فشاری
برای مدلسازی ترکها، تیر به چندین قسمت تقسیم میشودکه این قسمتها با فنر پیچشی بدون جرم به یکدیگر متصل میگردند. برای محاسبه نرمی ایجاد شده در تیر به علت وجود ترک با استفاده از روابط مکانیک شکست و تعریف ضریب شدت تنش برای مود اول ترک - بازشدگی - ، سختی فنر پیچشی محاسبه می شود. ترکها به صورت لبهای در نظر گرفته شده و برای اجتناب از اثرات غیرخطی در معادلات، به صورت باز فرض میشوند. ضریب نرمی کلی هر ترک به صورت رابطه - 1 - در خواهد آمد5] و .[6
n j ، q j و j m بترتیب نیروی محوری، نیروی عرضی و ممان خمشی و w j و j u بترتیب جابجاییهای تیر j ام در راستاهای x و y میباشند. s متغیری در امتداد محور میباشد. j زاویه بین خط مماس بر منحنی تغییر شکل المان j ام و محور y A سطح مقطع و I ممان اینرسی سطح هستند. در معادلات - 3 - اندیس صفر نشان دهنده جابجایی اولیه میباشد. برای حل مسئله، ابتدا روابط - 3 - با استفاده از روابط - 4 - بیبعد گشته و روابط - 5 - بدست میآیند.
شرایط مرزی
معادلات ترک
به منظور مدل سازی ترک، رابطه ناپیوستگی مربوط به آن به صورت رابطه - 8 - در خواهد آمد. با توجه به استفاده از روش المان کوادراتور دیفرانسیلی در محل اتصال دو المان که ترک وجود نداشته باشد رابطه - 8 - به فرم رابطه - 9 - در خواهد آمد.
روش المان کوادراتور دیفرانسیلی
در روش المان کوادراتور دیفرانسیلی تیر به چندین المان تقسیم شده و مشتق مرتبه اول تابع - - x در یک نقطه درون دامنه آن به صورت تقریبی خطی از مجموع مقادیر وزنی تابع در تمام دامنه آن المان نوشته میشود.
در رابطه - 10 - n p تعداد نقاط دقت، x i نقطهی دقت i ام از دامنه تابع و C ik ضرایب وزنی برای بدست آوردن مشتق مرتبه اول تابع در نقطه دقت i ام میباشند. ضرایب وزنی روش کوادراتور دیفرانسیلی با رابطه پیشنهادی شو و ریچاردز [9]، محاسبه میگردند. در این پژوهش برای محاسبه نقاط دقت از رابطه زیر که ریشههای چند جملهای گوس -لوباتو - چبشیف هستند استفاده می گردد. که ne تعداد المان ها و Lj طول بی بعد المان j ام می باشد. پس از گسستهسازی معادلات با استفاده از روش المان کوادراتور با افزایش بار کوتاهشدگی انتهایی تیرهای چند ترکه به یکدیگر نزدیک میشوند. دیفرانسیلی، این معادلات با استفاده از روش طول قوس حل میگردند .[10]
نتایج
تلرانس خطا 1 10 8 میباشد. مشخصات مکانیکی و هندسی تیر در نظر گرفته شده در پژوهش حاضر به صورت زیر میباشد. به منظور بررسی پسکمانش تیر چند ترکه دوسر گیردار فرض شده که تیر دارای مقداری نقص هندسی میباشد. نقص هندسی به صورت جزئی از شکل مود کمانشی در نظر گرفته شده است که با رابطه - 12 - تعریف می گردد. در نظر گرفته شده است. جهت بررسی دقت روش ارائه شده تیر دو سرگیرداری که دارای دو ترک به عمقهای نسبی 0/2 و 0/3 و بترتیب در مکانهای نسبی 0/35 و 0/5 هستند در نظر گرفته شده است. جدول 1 مقایسه نتایج پژوهش حاضر با نتایج نرمافزار ANSYS را برای مقادیر مختلف ضرائب بار بحرانی تیر سالم مختلف نشان میدهد. برای مدل سازی تیر در نرمافزار ANSYS از المان Beam189 استفاده شده است. همچنین، ترک به صورت کاهش ارتفاع تیر در محل ترک، مدل شده است. با توجه به جدول مشاهده میگردد که نتایج پژوهش حاضر نسبت به نتایج ANSYS دارای دقت قابل قبولی میباشند.
شکل 2 همگرایی کوتاهشدگی انتهای تیر بر حسب نقاط دقت متفاوت در هر المان را برای تیرهایی با مکانهای ترک مختلف نشان میدهد. عمقهای نسبی ترک 0/2 و 0/3 و بترتیب در مکانهای نسبی 0/35 و 0/5 و همچنین 0/1 و 0/5 هستند و مقدار نیروی وارد بر تیر 1/2 برابر بار بحرانی تیر سالم میباشد. با توجه به شکل مشخص است که هرچه محل ترک به وسط تیر نزدیکتر میشود همگرایی با نقاط دقت کمتر حاصل میگردد. در پژوهش حاضر از پنج المان و 6 نقطه دقت در هر المان استفاده شده است. شکل 3 پس کمانش تیری با دو ترک که با عمقهای نسبی 0/2 و 0/3 که به ترتیب در مکان های نسبی 0/35 و 0/5 قرار دارند نشان میدهد.
کوتاه شدگی انتهایی شکل :4 منحنی بار جابجایی تیر چند ترکه شکل 5 نمودار تغییرات ماکزیمم جابجایی در راستای محور y تیر دو ترکه نسبت به مکان نسبی ترک دوم را برای عمقهای متفاوت آن نشان میدهد. ترک اول در وسط و عمق نسبی آن 0/3 میباشد. بار وارده بر تیر 1/2 برابر بار بحرانی تیر سالم میباشد. با توجه به منحنی تیر یک ترکه - a1 0 - مشاهده میشود که ماکزیمم جابجایی با تغییر طول المانهای تیر تغییر نکرده و مسئله همواره به یک پاسخ همگرا می گردد. همچنین مشاهده میگردد که برای محل ترک 0.25 LC 2 که گشتاور خمشی برابر با صفر میگردد اثر ترک از
