بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش یک روش کاربردي و غیر مخرب براي تشخیص محل و اندازهي ترك در تیرها با دانستن تعداد کمی از فرکانسهاي طبیعی تیر سالم و تركدار ارائه شده است. ترك، که بصورت باز در نظر گرفته شده است، بایک فنر پیچشی مدل میگردد. وجود فنر پیچشی تیر را به دو قسمت تقسیم میکند. پس از تعیین شرایط مرزي و سازگاري دو تیر، معادلات دیفرانسیل حرکت آنها به کمک روش کوادراتور دیفرانسیلی به معادلات جبري تبدیل شده که با حل مسئله مقدار ویژه حاصل، فرکانسهاي طبیعی تیر تركدار محاسبه می-گردد. سپس محل ترك و اندازهي آن به کمک الگوریتم ژنتیک تعیین میگردد. در تشخیص ترك براي تیرهاي نازك از معادله تیر اولر-برنولی استفاده شده است. جهت بررسی الگوریتم ارائه شده، آزمایش تحلیل مودال تجربی بر روي تعدادي تیر یک سرگیردار نازك، که تركهایی با اندازه ها و محلهاي متفاوت در آنها ایجاد شده، انجام گرفته است.
نتایج بدست آمده نشان میدهد که الگوریتم ارائه شده محل و اندازهي ترك را با دقت مناسبی پیشبینی میکند.اندازه ترك پرداختند. هسو[3] 3 به کمک روش کوادراتور دیفرانسیلی به تحلیل ارتعاشات یک تیر یکسرگیردار بر روي فونداسیون الاستیک و با نیروي محوري پرداخت. با اعمال روش کوادراتور دیفرانسیلی بر معادله دیفرانسیل تیر، شرایط مرزي و سازگاري، یک مسئله مقدار ویژه استخراج نمود. سپس با تبدیل مسئله مقدار ویژه به فرم استاندارد، فرکانسهاي طبیعی و شکل مودها را بدست آورد.در پژوهش حاضر با توسعه روش ارائه شده توسط هسو [3] در تحلیل ارتعاشات تیر اولر، به مسئله معکوس یعنی تشخیص ترك در تیرهاي نازك - اولر - و ضخیم - تیموشنکو - پرداخته میشود.
واژه هاي کلیدي :تشخیص ترك، روش کوادراتور دیفرانسیلی، تحلیل مودال تجربی
روش کوادراتور دیفرانسیلی
روش کوادراتور دیفرانسیلی روش تقریبی براي تبدیل مشتق یک تابع در نقطهاي واقع بر دامنهي آن، بصورت ترکیب وزنی از مقادیر تابع در نقاط درون دامنه آن میباشد. این تعریف اولین بار توسط بلمن[4] 4بیان شد.
مقدمه
ترك به عنوان اصلیترین عامل شکست سازهها میباشد. رشد پیوسته ترك در نهایت منجر به فروپاشی سازه خواهد شد. بنابراین تشخیص ترك در مراحل ابتدایی توسعه آن از اهمیت ویژهاي برخوردار است.ترك یکی از آسیبهاي متداولی است که در صورت بوجود آمدن در سازه باعث کاهش سختی دینامیکی آن و در نتیجه، باعث تغییر مشخصات دینامیکی سازه از جمله فرکانسهاي طبیعی و شکل مودها خواهد شد. گودمانسون[1] 1 با استفاده از ماتریس نرمی روشی براي مدلسازي ترك در تیر ارائه نمود. سپس با اعمال این مدل بر یک تیر یکسرگیردار، فرکانسهاي طبیعی را براي حالتهاي مختلف محل و عمق ترك بدست آورد. نارکیس2 و همکاران [2]ارتعاشات محوري و عرضی تیر تركدار با شرایط تکیهگاهی ساده را بررسی نمودند.
آنها با مدلسازي ترك با فنر پیچشی، معادلاتی جبري را بدست آوردند که برحسب فرکانسهاي طبیعی و محل و اندازه ترك بود. سپس با حل معکوس مسئله به پیشبینی محل ودر رابطهي فوق N تعداد نقاط دقت، xj نقطهي دقت jام از دامنهي تابع f، - Cijm ضریب وزنی مرتبه m مورد نیاز جهت محاسبهي مشتق mام تابع در نقطهي دقت iام میباشد.شو و زو[5]5 براي محاسبه ضرائب وزنی مشتق اول، رابطهاي جبري و مستقل از مختصات گرهها پیشنهاد نمود. در این روش، از توابع پایه لاگرانژ در محاسبهي ضرایب وزنی استفاده شده است. این روابط به صورت زیر میباشند:
با استفاده از رابطهي - 2 - ضرایب وزنی مشتق درجات بالاتر به صورت زیر تعریف میشوند:
انتخاب نقاط دقت در همگرایی6 و دقت روش DQ بسیار موثر است نقاط دقت با استفاده از ریشه هاي چند جمله ایهاي لژاندر به صورت رابطه زیر می باشد.
مدلسازي تیر تركدار
ترك مورد نظر در این پژوهش از نوع لبهاي میباشد. شکل - 1 - هندسه تیر تركدار را نشان میدهد. محل ترك با lc و عمق آن با a مشخص شده است b و H به ترتیب عرض و ارتفاع تیر میباشند.
ترك را میتوان با یک فنر پیچشی جایگزین نمود.[3] سختی این فنر از رابطه زیر محاسبه میشود.در رابطه زیر ν ضریب پواسون، H ارتفاع تیر، a اندازهي ترك، Iممان اینرسی دوم سطح، E مدول الاستیسیته و ja / H با حل رابطه زیر حاصل میشود:
مدل ریاضی استفاده شده جهت توصیف حرکت بصورت دو تابع جداگانه میباشد. این توابع w1 - x,t - و w2 - x,t - ، توصیف کنندهي جابجایی عرضی تیر بترتیب در سمت چپ و راست ترك میباشند.
معادلهي حرکت تیر تركدار را میتوان به صورت زیر بیان نمود:
در رابطهي فوق k شماره تیر میباشد.در انتهاي گیردار، x=0 جابجایی عرضی و شیب صفر میباشد. در اینصورت:
در x=lc پیوستگی جابجایی، گشتاور، برش و ناپیوستگی دوران در اثر خمش برقرار میباشد:
در انتهاي آزاد تیر، x=L، ممان خمشی و نیروي برشی صفر میباشد.در اینصورت:
با استفاده از رابطهي توزیع نقاط دقت، در هر یک از تیرهاي واقع درسمت چپ و راست فنر، N نقطهي دقت انتخاب میگردد. با تغییر متغیر x X و اعمال DQ بر معادله دیفرانسیل تیرها میتوان L نوشت:
در رابطهي فوق ijk ضریب وزنی مشتق مرتبه چهارم در نقطهي دقت iام تیر شماره k، wik جابجایی عرضی نقطهي iام تیر شماره kو lk طول تیر شماره k میباشد.جهت اعمال شرط مرزي در تیر شماره 1، گره 1، 2، N-1 و Nبه عنوان گرههاي مرزي در نظر گرفته شده ولی شرایط مرزي لبه گیردار در گره 1 اعمال میشوند. جهت اعمال شرط مرزي در تیر شماره 2، گرههاي N+1، N+2، 2N-1 و 2N به عنوان گرههاي مرزي در نظر گرفته شده ولی شرایط مرزي انتهاي آزاد در گره 2Nاعمال میشوند.معادله دیفرانسیل تیر - رابطهي - - 11 - در نقاط دقت داخلی اعمال میشود . - 3≤ i ≤N-2 - روابط - 11 - و - 12 - یک مسئلهي مقدار ویژهي - 2N - × - 2N - تشکیل میدهد که میتوان آن را به فرم زیر نوشت:
زیرنویسهاي b و i بترتیب نشان دهنده مناطق مرزي و داخلی میباشند. بردارهاي {wb} و {wi} داخلی هستند.در رابطهي فوق λ بصورت تابعی از ω بصورت زیر میباشد:
رابطهي - 13 - را میتوان به یک مساله مقدار ویژهي استاندارد تبدیلنمود:
با حل این مسئله فرکانسهاي طبیعی سیستم از مقادیر ویژهيدستگاه معادلات فوق استخراج میشود.
مدلسازي تجربی
در این تحقیق، از تیر یکسر گیردار به عنوان سازه ي مورد آزمایش استفاده شده است. جنس تیر از فولاد میباشد. طول تیر مورد آزمایش 400 میلیمتر و سطح مقطع تیر، مستطیل شکل و به ابعاد14×14 میلیمتر میباشد. خصوصیات مکانیکی تیر مورد نظر به شرح زیر میباشد. دانستن فرکانسهاي سازه سالم و فرکانسهاي مربوط به سازه معیوب - ترك دار - اولین مرحله ي براي جستجوي ترك میباشد. در این آزمایشها، سه فرکانس طبیعی اول براي هر یک از 3 تیر سالم اندازهگیري شده است. سپس یک برش در هر تیر و در مکانهاي مختلف مورد نظر ایجاد میشود و سه فرکانس اول این تیرهاي ترك-دار نیز اندازهگیري میشود. ترك در هر تیر به وسیله یک برش عمود بر محور طولی تیر با عمق کنترل شده مدلسازي میشود. ضخامت برش به گونهاي انتخاب میشود که از برخورد سطوح ترك در هنگام خمش دینامیکی تیر جلوگیري شود.به منظور اندازهگیري فرکانسهاي طبیعی از آنالیز مودال تجربی استفاده میگردد. فرکانسهاي مربوط به 9 حالت مختلف تیر سالم و تركدار در جدول 1 و 2 آمده است.
تشخیص ترك به کمک الگوریتم ژنتیک
در این روش تشخیص ترك بصورت یک مسئلهي بهینهسازي براي یافتن محل و اندازهي بهینه ترك با مینیممسازي تابع خطا که بر پایه اختلاف نسبت فرکانسهاي تجربی تیر سالم و تركدار و فرکانسهاي تحلیلی تیر سالم و تركدار میباشد، طرحریزي می-گردد. الگوریتم ژنتیک آرایهاي از متغیرهایی که میبایست بهینه شوند، تعریف میکند. این آرایهها در این تحقیق محل و اندازهي بی-بعد ترك میباشند. براي هر حالت از آرایهي متغیرها، تابع خطا یک خروجی ایجاد میکند. تابع خطا از رابطهي زیر محاسبه میشود:
