بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله کمانش پوسته استوانه اي متشکل از مواد تابعی مدرج1 - FG - مورد بررسی قرار گرفته است. خواص مواد در راستاي طول پوسته تغییر می کند به این صورت که خواص از سرامیک به فلز تا وسط آن و سپس از فلز به سرامیک براي نیمه دیگر تغییر می یابد.پوسته تحت تاثیر بار محوري فشاري قرار داشته و معادلات تعادل و پایداري از تئوري مرتبه اول تغییر شکل برشی2 بدست می آیند.روش حل مساله به صورت عددي و بااستفاده از روش دیفرانسیل کوادریچر تعمیم یافته - GDQ - 3 می باشد. مقادیر بدست آمده براي بار بحرانی در یک پوسته همسان گرد4 با تکیه گاه ساده با مقاله مرجع مطابقت داده شده و دقت خوب نتایج، نشان دهنده صحت این روش می باشد. بعد از بدست آوردن بار بحرانی اثر پارامتر هاي هندسی و تغییر توان کسر حجمی بر بار بحرانی در جداولی ارائه شده است.
واژه هاي کلیدي:کمانش محوري، پوسته استوانه اي FG، روش دیفرانسیل کوادریچر تعمیم یافته، تغییر خواص در راستاي طول
مقدمه
مواد تابعی مدرج براي اولین بار در سال [1] 1984 در ژاپن ساخته شد. این مواد از ترکیب حداقل دو ماده به عنوان مواد اصلی ساخته شده اند. با تغییر پیوسته کسر حجمی مواد اصلی، خواص هر یک از مواد مخلوط شده می تواند به آرامی در راستاي ضخامت تغییر کند، که این خاصیت به طور موثري از تمرکز تنش حرارتی که در کامپوزیت هاي لایه اي معمولی دیده می شود جلوگیري می کند.فایده اولیه FGM ها این است که ماده سرامیکی مقاومت به گرماي بالا تولید می کند در حالیکه ماده فلزي از شکست جلوگیري میکند. در دهه اخیر با افزایش چشمگیر تقاضا براي سازه هاي با مقاومت بالا در برابر حرارت بالا، جذب انرژي و وزن سبک مطالعات زیادي روي رفتار کمانشی پوسته هاي استوانه اي FG صورت گرفته است.
رفتار کمانشی اعضاي سازه اي ساخته شده از مواد همگن که در معرض بارهاي مکانیکی هستند توسط Brush و [2] Almorth بیان شده است. 3] Eslami و [4 تئوري پوسته هاي Donnell و Koiter را براي بررسی تغییر شکل کمانش پوسته هاي استوانه اي همسان گرد و غیر همسان گرد لایه اي که تحت تاثیر بارهاي مکانیکی و حرارتی قرار دارند، به کار گرفت. [5] Shen به تحلیل کمانش پوسته استوانه اي با طول معین متشکل از مواد تابعی مدرج که در معرض بارگذاري محوري فشاري و در محیط گرمایی می باشد، پرداخت. Najafizadeh و همکارانش [6] به بررسی کمانش الاستیک پوسته هاي استوانه اي تقویت شده متشکل از مواد تابعی مدرج که تحت بارگذاري محوري فشاري قرار دارند، پرداختند.
با توجه به پیچیدگی روابط حاکم بر مساله، امکان بدست آوردن جواب با استفاده از روش تحلیلی دشوار یا غیر ممکن می باشد از این رو براي حل مساله روش دیفرانسیل کوادریچر انتخاب شده است. این روش توسط [7] Bellman و [8] Shu به عنوان روشی موثر براي بدست آوردن جوابهاي معادلات دیفرانسل جزئی با نقاط شبکه5 نسبتا کم ارائه شده است .این روش امروزه در حل بسیاري از مسائل به کار گرفته می شود. Bert و [9] Malik از این روش براي بررسی رفتار ارتعاشی پوسته هاي استوانه اي همسان گرد نازك با تکیه گاه آزاد، دو سر گیر دار، آزاد- گیر دار و آزاد- آزاد استفاده کردند. Lam [10] این روش را براي بررسی ناپایداري پوسته هاي مخروطی و ارتعاشات آزاد پنل هاي مخروطی ناقص [11] بکار گرفت.در این تحقیق روش دیفرانسیل کوادریچر براي بدست آوردن بار بحرانی پوسته استوانه اي متشکل از مواد تابعی مدرج با تغییر خواص به گونه اي که قبلا توضیح داده شد، براي اولین بار بکار گرفته شده است.
معادلات حاکم
در این پوسته استوانه اي متشکل از مواد تابعی مدرج، شعاع میانگین را R، طول پوسته را l، و ضخامت آن را h، در نظر می گیریم. تابع تغییرات مدول الاستیسیته در راستاي طول پوسته از رابطه زیر بدست می آید:
در این رابطه زیر نویس 1 مربوط به ماده اول - مثل فلز - ، زیر نویس 2 مربوط به ماده دوم - مثل سرامیک - و توان k نیز توان کسر حجمی می باشد. ضریب پواسون نیز در طول پوسته ثابت و برابر با0.3 در نظر گرفته شده است.بر اساس تئوري مرتبه اول تغییر شکل برشی میدان تغییر مکان از رابطه زیر بدست می آید :[12]u - x, θ, x - ، v - x,θ , x - و w - x, θ , x - به ترتیب تغییر مکان در راستاي محورهاي x و y و z هستند.پس از بدست آوردن روابط کرنش- تغییر مکان با استفاده ازرابطه - 2 - ، آنها را در روابط تنش بر حسب کرنش جایگذاري کرده و روابط به شکل زیر حاصل می شوند:
براي بست آوردن معادلات تعادل از اصل حداقل انرژي پتانسیل استفاده کرده و سپس با استفاده از روابط اولر معادلات تعادل به صورت زیر حاصل می شوند:
اگر انرژي پتانسیل کل پوسته را V در نظر بگیریم، تغییرات آن در وضعیت تعادل با استفاده از بسط تیلور به شکل زیر بیان می شود:
در این رابطه ترم اول مرتبط با وضعیت تعادل است. براي بدست آوردن معادلات پایداري، از شرط δ 2V 0 استفاده می کنیم. براي این کار یک جابجایی مجازي را در همسایگی وضعیت تعادل پوسته در نظر گرفته و تغییر مکان هاي کل در این شرایط به صورت زیر نوشته می شوند:
با جایگذاري معادلات تنش- تغییر مکان - 3 - - - 7 - در روابط - 8 - و سپس با اعمال شرط δ 2V 0 روابط پایداري به شکل زیر حاصل می شوند:
منتجه هاي نیرو و ممان نیز از روابط زیر حاصل می شوند:
در این روابط ترم هاي N x 0 ، Nθ 0 و N xθ 0 نیروهاي پیش کمانش هستند، که با توجه به اینکه پوسته تحت تاثیر نیروي محوري فشاري قرار دارد به صورت زیر تعریف می شوند:
حل مساله
همانطور که قبلا گفته شد از روش دیفرانسیل کوادریچر براي حل مساله استفاده می شود. در این روش فرض می شود که مشتق مرتبه n ام یک تابع در یک نقطه از رابطه زیر بدست می آید :[13]
در این رابطه N تعداد نقاط شبکه وC - ikn - ضرایب وزنی می باشند که از روابط زیر بدست می آیند:
میدان تغییر مکان u، v و w به صورت یک تابع مجهول در راستاي x و یک تابع مثلثاتی در راستاي θ مطابق روابط زیر به گونه اي نوشته می شود که در روابط پایداري صدق کند:
شرایط مرزي براي تکیه گاه ساده به صورت زیر نوشته می شود:
با استفاده از روابط میدان تغییر مکان - 28 - و روابط - 22 - - - 27 - معادلات پایداري را بازنویسی می کنیم.براي حل معادلات باید در ابتدا نقاط مرزي از نقاط داخلی جدا شوند. نقاط مرزي را با زیر نویس b و نقاط داخلی را با زیر نویس dنمایش می دهیم. سپس معادلات را به فرم ماتریسی زیر می نویسیم:
که در این رابطه {Ud } و {Ub} به صورت زیر تعریف می شوند:
بنابراین در رابطه - 30 - ، P مقدار ویژه بوده که مقدار آن با استفاده از نرم افزار MATLAB به ازاي مقادیر مختلف n محاسبه می شود سپس عدد موجی که به ازاي آن کمترین مقدار P بدست آمده به عنوان عدد موج کمانش و نیروي مربوط به آن به عنوان نیروي بحرانی کمانش محاسبه می شود.
بررسی نتایج
براي بررسی صحت نتایج، توان k در تابع خواص مواد را مساوي صفر قرار می دهیم تا پوسته به حالت همسان گرد تبدیل شود. در جدول1 در ابعاد مختلف پوسته مقادیر بار بحرانی با مقاله مرجع [14]مقایسه شده است. مواد تشکیل دهنده پوسته، آلومنیوم به عنوان فلز و آلومینا به عنوان سرامیک می باشند. مدول یانگ آلومنیوم و آلومینا به ترتیب 70 GPa و 380 GPa می باشد. ضخامت پوسته و تعداد نقاط شبکه در همه جا ثابت و به ترتیب برابر با 0.001 m و 13 در نظر گرفته شده. در شکل 1 تغییرات بار بحرانی براي پوسته FGM با نسبت r/h=50 و نسبت هاي l/r مختلف به ازاي تغییرات توان کسر حجمی نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می شود با افزایش توان کسر حجمی، بار بحرانی پوسته کاهش می یابد.
