مقاله تحول زمانی درهمتنیدگی در یک زنجیره اسپینی توصیف شده با مدل

بخشی از مقاله

چکیده

در کار حاضر رفتار وابسته به زمان درهمتنیدگی، در یک زنجیره اسپینی بعنوان یک کانال کوانتومی مورد مطالعه قرار گرفتهاست. هامیلتونی حاکم بر سامانه مورد نظر با مدل ٍ  J ٌ J توصیف میشود. نشان دادهشدهاست که چگونه درهمتنیدگی در زمانهای خاص و گسسته ای، از کیوبیتهای درهمتنیده اول زنجیره به کیوبیتهای غیردرهمتنیده آخر زنجیره منتقل میگردد. زمانهای انتقال درهمتنیدگی بهصورت دقیق بر حسب قدرت برهمکنشی بین همسایههای دوم بهدست آمدهاند. همچنین ما دریافتیم که فرکانس انتقال درهمتنیدگی برای حالتی که برهمکنشهای بین همسایه دوم از نوع آنتی فرومغناطیس باشند بیشتر از وضعیتی است که آنها از نوع فرومغناطیس باشند. از طرف دیگر، مشاهدهشد که حالت کوانتومی سامانه در تحول زمانی خود، از حالتهای کوانتومی W میگذرد. تابعیت زمان رخ دادن این حالتها به قدرت برهمکنشی همسایه دوم بهصورت دقیق بهدست آمدهاست.

مقدمه
شناسایی روشهای بالقوه به منظور برقراری پیوند بین پردازندههای کوانتومی متمایز، بخش مهمی از تکنولوژی محاسبات کوانتومی بزرگ-مقیاس است.اخیراً زنجیرههای اسپینی، بعنوان سیمهای کوانتومی، برای تحقق هدف فوق، مورد توجه قرار گرفتهاند، چراکه آنها قادر هستند حالتهای کوانتومی و درهمتنیدگی را در فاصلههای کوتاه بطور موفقیت آمیزی منتقل نمایند 1]و.[2 اگر زیرسیستمهای T و S را درنظر بگیریم که هرکدام از آنها شامل یک جفت کیوبیت باشد، در یک زنجیره اسپینی آنها میتوانند توسط یک هامیلتونی به یکدیگر متصل باشند. این هامیلتونی شامل برهمکنشهای بین زیرسیستمهای موردنظر است. بطور کلی، این برهمکنشها می توانند اطلاعات کوانتومی را بین زیرسیستمها منتقل نمایندکه عموماً توسط درهمتنیدگی مشخصهیابی میگردد. در کار حاضر، هامیلتونی پیشنهادی برای یک زنجیره اسپینی، هامیلتونی    ٍ  J ٌ J است [3] که در آن علاوه بر برهمکنشهای هایزنبرگ    بین همسایههای اول - ٌ J - ، برهمکنش بین    دومینهمسایهها - ٍ - J نیز در نظر گرفته شدهاست. برای قیاس بهتر بین برهمکنشهای ٌ J و ٍ J  ضریبفِرَستِریشِن - واماندگی -      را به صورت    ٌ/ J ٍ   J  تعریف نموده و ضریب ٌ J  را    با  J نمایش میدهیم که نهایتاً هامیلتونی بهصورت زیر نوشته میشود:و کیوبیت های زیرسیستم - مثلاً S، - کاملاً غیردرهمتنیده باشند - در یک حالت جداپذیر ُ َ   oo باشند - بنابراین حالت اولیه کل سیستم چهارکیوبیتی مورد نظر را میتوان به صورت زیر نوشت: لازم به ذکر است که در هامیلتونی - 1 - شرایط دورهای پیوسته فقط برای برهمکنشهای نزدیکترین همسایه ها در نظر گرفتهشدهاست و جهت جلوگیری از دوبار تکرارشدن برهمکنشهای ناشی از دومین همسایهها، شرایط دورهای پیوسته برای آنها در نظر گرفته نشدهاست.

در ادامه خواهیم دید که اگر یک سامانه کوانتومی با هامیلتونیمعادله - 1 - تعریف گردد و حالت اولیه آن در لحظه ًt  به صورت معادله - 3 - باشد، به جز وضعیتی که در آن ٌ  است، در همتنیدگی در زمانهای گسستهای که مقادیر آنها به  وابسته است، از زیر سیستم T به زیر سیستم S منتقل میشود. همچنین خواهیم دید که در طی این انتقال، شرایطی پیش میآید که درهمتنیدگی بین تمامی جفتهای این سامانه با هم برابر خواهد شد. این شرایط حاکی از ظهور حالتهای کوانتومی W در اثر تحول زمانی کت حالت اولیه سیستم براساس هامیلتونی ٍ  J ٌ J است. کانکیورنس : - concurrence - سنجه درهمتنیدگی میزان درهمتنیدگی بین دو کیوبیت A و B، در یک حالت خالص یا آمیخته کوانتومی را میتوان با تابع کانکیورنس 4]، [ 5 سنجید که بصورت:

بنا به تعریف، 0<C -  A B - <1 بدین معنی است که کیوبیتهای A و B به صورت جزئی درهمتنیده هستند. C - A B -  1، مطابق با حالت کوانتومی با بیشترین درهمتنیدگی بین کیوبیتهای A و B بوده و C - A B -  0 یک حالت کوانتومی با عدم درهمتنیدگی کیوبیتهای مدنظر است. اگر ماتریس چگالی ناشی از بردار حالت تحول یافته در زمان t باشد - - -  - t ، آنگاه تابع کانکیورنس به دست آمده از رابطه - 4 - بر حسب زمان بهدست خواهد آمد. با توجه به حالت سیستم در لحظه ًt  که با معادله - 3 - داده میشود، بردار حالت تحولیافته این سامانه کوانتومی در زمان t به صورت زیر است: در این معادله،        iHt    U - t -  e ، عملگر تحول زمانی بوده که در  آن H هامیلتونی سیستم است و با معادله - 1 - داده میشود.

از آنجاییکه، اثر عملگر تحول زمانی بر روی ویژه بردارهای انرژی، ظاهر شدن یک فاز متناسب با انرژی همان ویژه بردار انرژی است، به منظور به دست آوردن   -  - t ، در ابتدا، بردارهای   ooٌ o و   oooٌ که در معادله - 6 - ظاهر گردیدهاند به صورت بسطی از ویژهبردارهای انرژی نوشته میشوند. بنابراین با اثر دادن عملگر تحول زمانی، ویژهبردارهای انرژی با فازهای مورد نظر مستخرج میگردد. بار دیگر ویژه بردارهای انرژی، بر حسب شانزده پایه استاندارد شامل   تابع کانکیورنس بهدست آمده از معادله - 4 - با استفاده از کت حالت سامانه در لحظه t  o، برای جفتهای مختلف به صورت زیر خواهد بود: که در اینجا    C m n  کانکیورنس بین کیوبیتهای n و m ام میباشد.     کمیتهای    ٌٍ C  و َُ C  در شکل     - 1 - با هم آورده شدهاند.  همچنانکه در این شکل مشخص است در لحظه ًt     دو کیوبیت اول کاملاً درهمتنیده و کیوبیتهای سوم و چهارم غیر درهمتنیده هستند که با سپری شدن زمان، این درهمتنیدگی به آنها منتقل می شود. برای روشنشدن موضوع، نقاط ماکزیمم تابع َُ C که برایر با عدد یک میباشد، در شکل - 2 - نمایش داده شدهاست. این نقاط که تشکیل یک دسته خط میدهند، نشاندهنده انتقال درهمتنیدگی میباشند.

همچنانکه در شکل - 2 - مشخص است، برای هر مقدار ، زمانهای انتقال درهمتنیدگی به صورت گسسته خواهد بود که ارتباط مقادیر آنها با ضریب   o بهصورت زیر خواهد بود: برای ٌ ، کیوبیت های اول و دوم، برای همیشه درهمتنیده و کیوبیتهای سوم و چهارم برای همیشه غیردرهمتنیده باقی میمانند و رابطه - 7 - بصورت زیر درخواهد آمد: از طرف دیگر، وجود حالتهای تک-ذرهای در معادله - 7 - ، انگیزهای برای بررسی حالتهای کوانتومی W خواهد بود که در آنها، درهمتنیدگی بین هر دو جفت برابر با مقدار / N ٍ خواهد شد N - تعداد کیوبیتهای سامانه است - . در شکل - 1 - نقاط برخورد کانکیورنسها با رنگ زرد نشان دادهشدهاست. این نقاط در شکل - 3 - نیز با رنگ زرد مشخص گردیدهاند.