مقاله حل تحلیلی مدل اسپینی هایزنبرگ با برهم کنش کامل مابین اسپین ها

بخشی از مقاله

چکیده

در ابتدا پس از بیان هامیلتونی مدل اسپینی هایزنبرگ با برهمکنش کامل، به طرح اجمالی روشی براي محاسبه ي تحلیلی طیف آن می پردازیم سپس با استفاده از آن، مدل را حل نموده رابطهاي تحلیلی براي ویژه مقادیر ، ویژه بردارها و بعد زیرفضاهاي ویژه را ارائه میدهیم که بیانگر میزان تبهگنی ویژه مقادیر است.

مقدمه
مدل اسپینی اولین بار توسط هایزنبرگ [1]  و دیراك [2]در سال 1926 براي توضیح رفتار مغناطیسی مواد مطرح گردید.این دو دریافتند که اسپین الکترونیکدیگرهايدو اتم مجاور که با همپوشانی دارند، برهمکنشی مؤثر به شکل Jij S i ⋅ S j با یکدیگرایجاد میکنند.این مدل در اصل یک مدل حلپذیر بس ذرهاي مکانیک آماري است. در سال 1931 هانس الریخت بته در صدد حل این مدلبرآمد . [3] او موفق گردید تا مدل یک بعدي هایزنبرگ با شرایطمرزي دوره اي را براي ذراتی با اسپین 1/2 و برهمکنشی تنها مابین ذرات همسایه حل نماید. هرچند بدست آوردن طیف سامانه در حالت کلی مستلزم حل یک سري معادلات غیر خطی به نام معادلات بته است که این معادلات به صورت عددي تا اکنون حل نشدهاند.

روشهایی براي حل حالت خاص معادلات  صورت گرفته است [4] و همچنین کارهاي زیادي در حل عددي این معادلات انجام شدهاست.پس از کارهاي یانگ در سال 1968 و باکستر در سال 1971
جبر یانگ – باکستر براي حل چنین مدلهایی به وجود آمد.هرچند با این روش نیز مجدداً به معادلات بته میرسیم. اما در راهحل مدل اسپینی با برهمکنش همسایه در یک بعد به کمک جبر
یانگ – باکستر طیف مجموعهاي از عملگرهاازبدست میآیند که آن جمله طیف مدل اسپینی با برهمکنش کامل مابین تمامی ذرات است. هرچند که بازهم براي یافتن جواب تحلیلی کامل، نیازمندجوابهاي معادلات بته هستیم که در دسترس نیست.

در اینجا روش دیگري براي یافتن طیف مدل اسپینی هایزنبرگ با برهمکنش کامل مابین ذرات مطرح شده و جوابها به طور کامل به صورت تحلیلی ذکر گردیده است.توصیف سامانه و معرفی هامیلتونی آن میتوان با فرضH i  C 2فضاي هیلبرت به شکل زیر تعریف نمود.که مربوط است به یک سامانهي بس ذرهاي متشکل از ذراتی بااسپین .1/2مدل اسپینی هایزنبرگ در یک بعد در حقیقت تنها برهمکنش ذرات همسایه با یکدیگر را بر روي یک خط و یا تحت شرایط مرزي متناوب بر روي یک دایره در نظر می گیرد که ضرایب جفتشدگی آنها میتوانند متفاوت باشند. سامانهاي که در اینجا مطرح میگردد متشکل است از یک مجموعه از ذرات با اسپین 1/2به گونهاي که بجاي برهمکنش همسایه تمامی برهمکنشها مفروض است.

هامیلتونی سامانهاي که قصد داریم طیف آن را بدست آوریم مدل اسپینی هایزنبرگ با برهمکنش کامل مابین ذرات آن خواهد بود. همچنین مدل همسانگرد فرض شده است. یعنی ضرایب جفت شدگی در تمامی راستاهاي فضا یکسان است. همانطور کهصفرقبلا نیز ذکر شد این هامیلتونی نیز از طریقباکسترجبریانگ -حاصل میگردد که جواب صریح و تحلیلی آن مشخص نیست. بنابراین میتوان هامیلتونی را به صورت زیر مطرح نمود.به این ترتیب تمامی ذرات در این مدل با یکدیگر برهمکنشخواهند داشت.  رابطهي معروفی مابین ماتریسهاي پائولی وعملگر تعویض ذرات وجود دارد که میتوان آن را به صورتi ⋅σ j   2Pij  − Iعملگرσنشان داد. Pij  جاي دو ذرهي i ام و j ام راعوض مینماید. باجایگذاري در رابطهي - 2 - در نهایت براي شکل هامیلتونی مورد نظر به رابطهي زیر میرسیم.

شماي همبسته ي جانسون، لایه بندي و توزیع طیفی به طور کلی مباحثی از شمايمنابعهمبسته را میتوان در 5]،[6  یافت همچنین مطالب مفصلروشدر زمینهي لایهبندي و توزیع طیفی در مراجع 7]،8،6،[5 آورده شده است در اینجا تنهابه مواردي که مستقیما از آنها استفاده خواهد شد میپردازیم. فرض کنیم V مجموعهاي متشکل از - λmايλ  - λ1 L به گونهباشد که    λ1 L  λm   n    و . m ≤ n 2  دو چندتایی مرتب به صورتi  - i1 Li m - و j  - j1 L jm -  در نظر میگیریم. حالتابع ∂ - i , j -  k    براي مجموعهي    V  تعریف مینماییم به طوريکه k  به    معناي    تعداد مؤلفههاي    متفاوت در - i  - i 1 Li mوj  - j1 L jm - است. به این ترتیب می توان ماتریس هاي همسایگی به شکل زیر تعریف نمود.

که در آن . i , j ∈V مجموعهي ماتریسهایی که به این ترتیب بدست میآیند به شماي همبستهي جانسون معروف هستند . [10]به طور کلی ماتریسهاي هر شماي همبسته پایههاي جبري راتشکیل میدهند که به آن جبر بوز – مزنر گفته میشود 8 ]،. [11اگر CV فضاي هیلبرت روي میدان مختلط باشد آنگاهتوان می مجموعهي بردارهاي راست هنجار به شکل }تشکیل{β: β ∈V
داد. β برداري ستونی است که β امین مؤلفهي آن برابر یک ومابقی برابراست.میتوان نشان داد که با انتخاب یک عضو o ∈V و بردار نظیرآن    o    φ0   به عنوان مرجع میتوان پایههاي جدیدي به صورت زیر بدست آورد که به پایههاي لایهبندي براي زیر فضاي کریلف معروفند.که در آن  m بعد زیرفضاي کریلف بوده و    κi  C mm −iCin −m  بعد هر لایه است. مبحث لایهبندي توضیح مفصلتري داردبه که میتوان مراجع، [ 7 8 ] رجوع نمود.

براي سادگی در نوشتن A n ,m ≡ A1n ,m قرار میدهیم. اثر آن بر روي بردارهاي لایهها به صورت زیر خواهد بود.بنابراین نمایش ماتریس همسایگی A n ,m در پایههاي لایهبندي به صورت سهقطري خواهد بود که در بخشهاي بعدي شکل صریح آن را ارائه مینماییم. از روش توزیع طیفی براي محاسبهي مقادیر ویژهي ماتریس همسایگی میدانیم که می توان به ماتریس سهقطري ذکر شده یک چندجملهاي به صورت زیر نسبت داد.ریشههاي چندجملهاي بالا به ازاي i  m مقادیر ویژه ماتریس همسایگی بدون احتساب تبهگنی است. روش ارتباط مابین مقادیرویژه و رابطهي سه بازگشتی - - 8 را میتوان در،[7 8 ] یافت.

محاسبهي ویژه مقادیر و ویژه بردارهابراي اینکه بتوان از روش توزیع طیفی در محاسبات مربوط به طیف هامیلتونی مربوطه استفاده نمود بین رابطهي - 3 - و ماتریس همسایگی شماي همبستهي جانسون ارتباط برقرار مینماییم.بهجاي اینکه بردارهاي پایه را براي هامیلتونی به صورت کامل براي هر ذره نمایش دهیم به طوري که اسپین بالا و پایین براي همگی مشخص باشد میتوان تنها به نام گذاري مکان ذرات بااسپین پایین بپردازیم.به وضوح، وقتی Pij  بر روي بردار پایه به صورت اثر میکند یا تنها یک مؤلفه را تغییر میدهد یا آن را بدون تغییرباقی میگذارد. اگر مکان i    و j  در Pij  داراي اسپین یکسان باشندبردار پایه بدون تغییر باقی خواهد ماند.

بنابراین براي    n ذره با mاسپین رو به پایین تعداد C 2m  C 2n −mپایه بدون تغییر باقی میماند. بنابراین نمایش هامیلتونی در این پایهها بر حسب ماتریس همسایگی جانسون را میتوان به صورت زیر نوشت.که براي سادگی ضریب جفت شدگی J برابر یک فرض شده است. همانطور که از رابطهي - 2 - میتوان مشاهده نمود، هامیلتونی با اسپین کل جابجا می شود به عبارتی .[H ,ST ]  0 بنابراین داریم.[H ,ST± ]  0    درنتیجه اگر داشته باشیم H ψ  e ψ آنگاه رابطهي زیر را داریم. امتداد ویژهي هامیلتونی را با ψln , m ;i ، l  0,K, m نمایشمیدهیم که lنمایندهي امتدادهاي ویژه مربوط به ویژه مقادیرمتفاوت است و  i مربوط به تبهگنی احتمالی هر امتداد ویژه است.به عبارت دیگر رابطهي زیر را داریم.

با توجه به - 10 - و - 12 - به راحتی به این نتیجه میرسیم کهeln ,m   x ln , m  C 2m C 2n − m  که در آن x ln ,m  طیف گراف جانسون،ریشههاي چندجملهايQ nm ,m1 - x - است.  از    طرف دیگر داریمψln−,1m−1;i    ST ψln , m ;iکه در آنm 1  پایه  ψln , m ;i  مربوطA n ,m  وجود    دارد در صورتی که m  پایهψln ,m −1;i  مربوط بهA n , m −1  وجود دارد. بنابراین یکی از پایههاي اخیر مستقل نبوده ومیتوان بر حسب سایر پایهها نوشت. بدون اینکه از کلیت مسئلهکاسته شود فرض میکنیم کهSTψ0n,m;i  ψ −n ,1m −1;i  این ایه    
باشد. بنابراین با توجه به - 11 - به وضوح داریم eln ,−1m −1  e ln , m  و بهکمک - 12 - رابطهي بازگشتی زیر را بدست میآوریم.اما هنوز جملهي اول این رابطهي  بازگشتی x −n ,1m   را بدست  نیاوردهایم.  پیشتر گفتیم x ln ,mریشههاي چندجملهاي - Q nm ,m1 - xهستند پس رابطهي زیر را داریم. از طرفی به راحتی از چندجملهايهاي متعامد را[3] رابطهي زیرداریم.