بخشی از مقاله
خلاصه:
در این مقاله مساله انتقال حرارت رسانشی گذرا در یک استوانه توو خالی با شرایط مرزی ناهمگن روبین در هر دو سطح داخلی و خارجی استوانه بصورت همزمان در جهت شعاعی همراه با چشمه حرارتی وابسته به زمان و مکان شعاعی و همچنین شرط اولیه بصورت کلی با استفاده از روش جداسازی متغییرها و اصل بر هم نهی حل شده است و توزیع دما در جداره استوانه بصورت تحلیلی به دست آمده است.
با حل مساله انتقال حرارت گذرا بدون چشمه حرارتی، با استفاده از روش جداسازی متغییرها، یک سری جدید بر مبنای توابع بسل حاصل شده است. هر تابعی که شرایط بسط توسط سری فوریه را داشته باشد با استفاده از این سری جدید میتوان بسط داد. سپس با بسط جمله چشمه حرارتی با استفاده از این سری جدید مساله انتقال حرارت رسانشی گذرا همراه با جمله چشمه حرارتی با استفاده از بسط بر حسب توابع ویژه این سری جدید حل شده است. به دلیل محدودیت موارد مطالعاتی در این زمینه، علاوه بر حل تحلیلی، حل عددی این مساله نیز با استفاده از روش تفاضلات متناهی ضمنی، ارایه شده است و در نهایت در غالب یک مثال عددی، حل های تحلیلی و عددی با یکدیگر مقایسه شده اند. نتایج نشان میدهد که این دو حل، انطباق قابل قبولی با یکدیگر دارند.
.1 مقدمه
مسایل انتقال حرارتی به دلیل کاربردهای صنعتی و کارایی سیستم های محرکه در اکثر مسایل مهندسی جزو مسایل غالب میباشند. از کاربردهای انتقال حرارت میتوان به طراحی مرسوم سیتمهای حرارتی که در خنک سازی تجهیزات الکترونیکی در یخچال ها و سیستمهای تهویه هوایی اشاره کرد .[1-5] یکی از مهمترین مکانیزمهای انتقال حرارت، انتقال حرارت رسانشی میباشد. رسانش حرارتی در هندسه های استوانهای و لولهها به دلیل کاربردهای صنعتی متنوع، مانند بازده ترمودینامیکی، پیلهای سوختی، راکتورهای الکتروشیمیایی، سیستمهای تهویه، گرمایش از کف، مواد کامپوزیتی، فرایندهای انجماد و بسیاری دیگر از کاربردها ، بطور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است.
6-9] مهندسان شیمی با مساله حرارت رسانشی گذرا در هندسه های استوانهای هنگام بررسی اتلاف حرارتی از جداره لوله ها، آنالیز انتقال حرارت بین دو لوله در مبدلهای حرارتی و حالتهای مشابه دیگر، روبرو میشوند. مساله انتقال حرارت رسانشی گذرا شامل چشمه یا چاه حرارتی با شرایط مرزی مخلوط - روبین یا شرط مرزی نوع سوم - بصورت گسترده در راکتورهای هستهای حاصل میشود. در این راکتورها میلههایی به شکل استوانه بصورت داخلی توسط شکافت هستهای گرم میشوند که با غوطه ور سازی این میلهها در یک سیال، آنها را خنک میکنند. اگر فقط بخشی از میله در سیال غوطه ور شود، شرط مرزی مخلوط در مرزهای این میله حاصل خواهد شد.
[10] حلهای تحلیلی معادله دیفرانسیل خطی انتقال حرارت رسانشی در مختصات مختلف در مسایل انتقال حرارتی بسیار حایز اهمیت میباشند. بعلاوه، این حلهای تحلیلی در انتقال حرارت محاسباتی به منظور اعتبار سنجی حلهای عددی بسیار مفید میباشند. حلهای تحلیلی رایج این مساله شامل، تیدیلات لاپلاس، توابع گرین، جداسازی متغییرها و بسط بر حسب توابع متعامد میباشند .[11] یکی از روشهای مؤثر حل مسایل با مشتقات جزیی، روش جداسازی متغییرها میباشد که در این روش، معادله دیفرانسیلی با مشتقات جزیی به معادله دیفرانسیلی معمولی تبدیل میگردد. یک پروسه سیستماتیک برای روش جداسازی متغییرها در منابع [12-13] ارایه شده است. در این مطالعه از روشهای جداسازی متغییرها و اصل برهم نهی، به منظور حل مساله انتقال حرارت رسانشی گذرای ناهمگن در استوانه توو خالی که سطوح داخلی و خارجی آن بطور همزمان تحت شرط مرزی مخلوط و ناهمگن میباشند، استفاده شده است.
تاکنون تحقیقات گسترده ای در مورد انتقال حرارت رسانشی از یک استوانه توو خالی تحت شرایط مرزی مختلف گزارش شده است. هولمن [14] میدان دمای گذرا را در یک سیلندر توو پر طویل، یک کره توو پر و یک صفحه نامتناهی با شرایط مرزی همگن به دست آورده است. حل دقیق تحلیلی مساله انتقال حرارت رسانشی در یک استوانه توو خالی با استفاده از تئوری دوهامل، توسط فاضلی و همکاران [15] ارایه شده است. ژائو و لی [16]، تغییرات دمایی وابسته به خواص حرارتی و ترموالاستیکی در جهت شعاعی را یرای استوانه بررسی کردهاند. عاطفی و همکاران [17] یک حل تحلیلی از میدان دمایی دو بعدی در استوانه توو خالی تحت یک شرط مرزی تناوبی زمانی در یکی از مرزها، با استفاده از سری فوریه ارایه کردهاند.
تعداد زیادی از حلهای تحلیلی مساله انتقال حرارت رسانشی در هندسههای گوناگون در غالب یک کتاب توسط اوزیسیک [18] گردآوری شده است. اخیرا وانگ و لیو [19] با استفاده از روش جداسازی متغیرها یک حل تحلیلی دوبعدی برای مساله انتقال حرارت رسانشی در استوانههای کامپوزیتی توو در توو ارایه کردهاند. با این حال تاکنون از حل تحلیلی مساله انتقال حرارت گذرا و ناهمگن در مختصات استوانهای، شامل دو شرط مرزی مخلوط و ناهمگن از نوع سوم که بصورت همزمان در مرزهای داخلی و خارجی استوانه توو خالی اعمال میشود به همراه شرط اولیه بصورت یک تابع کلی، گزارشی ارایه نشده است.
در این مطالعه ابتدا با استفاده از دو روش جداسازی متغییرها و اصل برهم نهی مساله انتقال حرارت رسانشی بدون در نظر گرفتن جمله چشمه حرارتی حل شده است. سپس با این حل، یک سری جدید بر حسب توابع بسل حاصل شده است. با بسط جمله چشمه حرارتی بر حسب این سری، حل تحلیلی مساله اصلی به دست امده است. به دلیل عدم وجود حل تحلیلی مشابه، حل عددی مساله نیز با استفاده از روش تفاضلات متناهی ضمنی ارایه شده است. در نهایت حلهای تحلیلی و عددی در غالب یک مثال عددی با یکدیگر مقایسه شدهاند. نتایج مقایسه بیانگر انطباق تقریبی خوبی بین این دو حل میباشد.
