بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل تحلیلی تنش در یک استوانه تو خالی ساخته شده از مواد FGM با روش سریهاي توانی
چکیده
در این مقاله یک استوانه الاستیک تحت فشار خارجی و ساخته شده از مواد 1FGM مورد بررسی قرار می گیرد. ضریب پواسون به دلیل تغییرات کوچک ثابت فرض می شود اما مدول الاستیسیته به طور پیوسته در راستای شعاع تغییر می کند. تغییرات مدول الاستیسیته به صورت تابعی توانی یا نمایی از شعاع در نظر گرفته می شود که در این تحقیق تابع توانی درجه n از شعاع لحاظ می گردد. روش حل بر اساس تئوری الاستیسیته دو بعدی می باشد و معادلات دیفرانسیل حاصل با استفاده از سریهای توانی حل می گردد. در انتها نتایج حاصل از توزیع تنش و تابع جابجایی با این روش مورد بررسی قرار می گیرد. این تحلیل می تواند جهت بارگذاریهای گوناگون و شرایط مرزی مختلف مورد استفاده واقع شود. از نتایج بدست آمده در این تحقیق می توان جهت طراحی های گوناگون و مطالعه بر روی استوانه های ساخته شده از اینگونه مواد استفاده نمود.
کلمات کلیدی: مواد FGM، توزیع تنش، الاستیسیته دو بعدی، سری توانی
مقدمه
ایده ساخت مواد FGM اولین بار در سال ۴۸۹۱ توسط گروهی از دانشمندان مواد در ﮊاپن مطرح گردید. این ایده به منظور ساخت مواد مقاوم در برابر حرارت جهت استفاده در هواپیما، سفینه های فضایی و دیگر کاربردهای مهندسی به وجود آمد ]۱و۲.[ این مواد از دیدگاه میکروسکوپی یک کامپوزیت نا همگن هستند و از دیدگاه ماکروسکوپی به صورت پیوسته از سطحی به سطح دیگر تغییر می کند و معمولاﹰ به صورت مخلوطی از یک فلز و سرامیک ساخته می شوند. جدا از کاربرد پوشش های حرارتی می توان از این مواد به عنوان مواد مقاوم در برابر خوردگی و ناحیه محصور بین دو سطح به منظور بهتر شدن توانایی مواد نگهدارنده بین دو جسم غیر مشابه و کاهش تنشهای پسماند در آنها اشاره نمود. از دیگر کاربرد این مواد استفاده از آنها به عنوان لایه های مقاوم سایشی در چرخ دنده ها، بادامک ها و بلبرینگها می باشد]۳.[
این مواد از لحاظ نوع ساخت و دسته بندی به سه شکل زیر می باشند.
۱:P-FGM‐ خصوصیات متغیر در این مواد از قبیل مدول برشی، مدول یانگ، چگالی، ضریب پواسون، ضریب هدایت گرمایی، ضریب پواسون و ... به صورت تابعی توانی از ضخامت تغییر می کند که در زیر به آن اشاره گردیده است.
که ηبه عنوان یکی از خصوصیات متغیر ماده در نظر گرفته شده است و r فاصله از سطح میانی است و در بازه تغییر می کند.
۲:E-FGM‐ به دسته ای از FGM ها اطلاق می گردد که متغیر های ذکر شده به صورت نمایی تغییر می کنند و به شکل زیر است.
η0 و α مقادیر ثابتی هستند که از شرایط مرزی قابل محاسبه هستند.
۳:S-FGM‐ اگر تعدادی از لایه های P-FGM را به طور متوالی قرار دهیم این دسته حاصل می گردد. همه خصوصیات ماده در طول ضخامت از یک لایه به لایه دیگر تغییر می کند که در شکل (۱) نشان داده شده است.
در طول سالهای گذشته فرمولهای تئوری، حلهای تحلیلی و روشهای المان محدود جهت تحلیل و بررسی این گونه مواد ارائه شده است]۴و۵.[ اغلب مطالعات انجام گرفته روی FGM ها در زمینه تحلیل تنشهای حرارتی و تغییر شکل آنها می باشد. تحقیقات انجام گرفته در زمینه سازه های کروی و استوانهای بیشتر توسط روشهای المان محدود و دیگر روشهای حل عددی صورت پذیرفته است]۶.[ حلهای دقیق و مشخص جهت مسائل المان مرزی با ناهمگنی مواد همیشه بسیار مشکل بوده است. به همین دلیل عمدتاﹰ روش حل این مسائل با فرض های ساده شونده ای همراه است]۳.[ به عنوان مثال برای یک مسئله الاستیسیته نیم صفحه ای که توسط کسیر ]۷[ و چاپراست ]۸[ در نظر گرفته شد، مدول برشی به صورت تابع توانی فاصله از مرکز مختصات به شکل زیر در نظر گرفته شد و یا اینکه به دلیل تغییرات ناچیز ضریب پواسون در طول ضخامت آن را ثابت فرض کرده و میانگین دو ماده بکار رفته در ساخت FGM در محاسبات لحاظ می گردد.
یک حل بسته توسط توتانچو و اوزتارک ]۱[ برای مخزنهای کروی و استوانه ای با خصوصیات الاستیک متغیر بدست آمد که از یک قانون توانی ساده در امتداد ضخامت دیواره پیروی می کند که این روش حل منجر به معادلات ساده اولر_کوشی می گردد که حل آن در دسترس می باشد. یک روش حل مشابه توسط هارگون و چان ]۱۱[ ارائه گردید که با یک تابع نمایی با توان مثبت مطرح گردید. حل سه بعدی جهت ورقهای FGM به صورت عددی توسط ردی و چنگ ]۲۱[ با روش ماتریسهای جابجایی مطرح گردید.
در این مقاله سعی شده است که یک روش تحلیلی مناسب جهت سیلندرهای استوانه ای ارائه گردد. به این منظور یک استوانه تحت فشار خارجی و ساخته شده از مواد FGM که از سرامیک به فلز به طور پیوسته تغییر می کند مورد مطالعه قرار گرفته است. روش حل بر پایه تئوری دو بعدی الاستیسیته می باشد و جهت حل معادلات حاکم بر مسئله از سریهای توانی کمک گرفته شده است. در انتهای این مقاله تنشهای شعاعی، تنشهای محوری و جابجایی ها در امتداد ضخامت نشان داده شده است و مورد بررسی قرار گرفته است.
تئوري مسئله
یک پوسته استوانه ای نامحدود در راستای طولی و متقارن محوری، ساخته شده از یک لایه که در حالت کلی می توان آنرا به n لایه نیز تعمیم داد و در سطح خارجی تحت بار گسترده یکنواخت قرار دارد، در این تخقیق مورد بررسی قرار می گیرد. سیستم مجتصات مورد استفاده دستگاه قطبی است که در صفحه میانی قرار داده شده است. در فاصله از صفحه میانی سرامیک و در فاصله همان صفحه بیرونی فلز قرار دارد شکل(۲).
با توجه به توزیع تنش در یک استوانه که قابل محاسبه است ابتدا به بررسی تغییرات مدول الاستیسیته پرداخته و چگونگی تغییرات آن در طول ضخامت در شکل(۳) نشان داده شده است.
و در حالت کلی برای یک ماده S-FGM با n لایه مدول الاستیسیته به صورت زیر قابل محاسبه است.
معادلات حاکم
معادلات تعادل در حالت کلی برای یک مسئله در مختصات استوانه ای به صورت زیر است که از نیروهای حجمی صرفنظر گردیده است:
و از روابط بین کرنش و جابجایی می توان نوشت
رابطه بین تنش و کرنش را می توان به صورت کلی زیر نشان داد
که ماتریس c ماتریس سختی است و با توجه به معادلات (۰۱و۱۱) برای تنشها مقادیر زیر حاصل میگردد.
با توجه به نامحدود بودن پوسته در راستای طولی می توان فرض کرنش صفحه ای را جهت حل مسئله به کار برد و طبق توضیحات ارائه شده در بخشهای قبل به دلیل بارگذاری متقارن، مسئله متقارن محوری است.
بنابراین معادلات متشکله به صورت زیر خواهد بود.
u جابجایی در راستای r می باشد. با جایگذاری معادلات (۴۱و۳۱) در معادلات (۲۱) برای تنشها مقادیر زیر حاصل می گردد.
اگر معادلات (۵۱) را در معادلات تعادل (۹) قرار دهیم معادله حاکم بر مسئله بدست خواهد آمد. با توجه به فرضیات ساده شونده تنها یک معادله حاکم بدست خواهد آمد و توابع جابجایی و توزیع تنش با حل این معادله بدست خواهند آمد.
ضرایب در معادله بالا توابعی از r هستند که درمعادلات (۸۱‐۰۲) آمده است.
شرایط مرزی
با فرض داشتن n لایه برای یک پوسته استوانه ای، با شرایط متقارن، شرایط مرزی می تواند به فرم زیر نوشته شود.
در معادلات بالا h1 و hn به ترتیب ضخامت لایه درونی و بیرونی پوسته میباشد. در تمامی نقاط مشترک لایه ها پیوستگی جابجایی و تنش می بایست ارضا گردد بنابر این در نقاط مشترک لایه ها شرایط مرزی برابر است با
h j و h j1 ضخامت در لایه های j ام و j+1 می باشد.
با بکارگیری یک سری توانی از r و جایگذاری آن در معادلات یک معادله جبری قابل حل حاصل می گردد که با روشهای گوناگون قابل حل میباشد.
با یک و دو بار مشتق گیری از تابع U(r) مقادیر زیر بدست خواهد آمد
و در نهایت معادله حاکم بر مسئله به صورت زیر می باشد.
A(I) ضرایب ثابت هستند .
نمونه محاسبات
اولین فرض استفاده شده در الگوریتم مسئله استفاده از یک استوانه FGM تحت فشار گسترده خارجی به میزان یک مگا پاسکال می باشد. فلز مورد استفاده دارای مدول الاستیسیته دو گیگا پاسکال و سرامیک با مدول الاستیسیته هفت گیگا پاسکال می باشد.
شعاع درونی استوانه برابر با ۰۰۱ میلیمتر و ضخامت آن ۰۱ میلیمتر در نظر گرفته شده است. ضریب پواسون ثابت و مقدار آن ۳./ لحاظ گردیده است. جهت حل معادلات و بدست آوردن ثوابت از شرایط مرزی σr برابر صفر در لایه درونی استوانه و σr برابر ۱ مگا پاسکال در سطح بیرونی استوانه استفاده شده است. به p مقدار ۲ داده شده و به ازای آن یک نمونه از محاسبات به صورت زیر آورده شده و تا درجه پنجم از سریها لحاظ گردیده است.
بنابراین معادله (۷۱) به فرم زیر تبدیل میگردد. (۰۳)
با حل این معادله توسط سری معرفی شده در معادله (۶۲), برای جابجایی تابع زیر حاصل میشود.
در معادله (۱۳) ضرایب c1 و c2 مقادیر ثابتی هستند که با توجه به شرایط مرزی قابل محاسبه است و برابر است با:
