بخشی از مقاله
چکیده
یکی از اجزا اصلی در سازه ها، ورق مرکب نازك با سطوح القایی یا محرك هاي اتصالی می باشد. تئوري هاي مختلفی در زمینه پیش بینی خمش ورق هاي لایه اي با لایه هاي محرك ارائه شده است. در این مقاله ابتدا روابط حاکم بر خمش ورق مرکب با لایه هاي پیزو الکتریک ارائه می گردد، سپس روش توسعه یافته کانتروویچ ذکر گردیده و در ادامه امکان کاربرد این روش براي بدست آوردن جواب نیمه تحلیلی فرم بسته براي مسائل الاستیسیته دو بعدي در دستگاه مختصات قطبی بررسی می شود.
خمش ورق قطاعی با محرك هاي پیزو الکتریک نازك، با لبه هاي گیردار تحت بارگذاري یکنواخت و ناشی از نیروي القایی مورد بررسی قرار می گیرد. با استفاده از روش توسعه یافته کانتروویچ، به همراه تکنیک باقی مانده وزنی معادله دیفرانسیل مرتبه چهار حاکم به دو معادله دیفرانسیل معمولی بر اساس ترم هاي r,θ تبدیل می شود. این معادلات می توانند با استفاده از روش گالرکین و یا روش حداقل انرژي پتانسیل کل نیز بدست آیند. سپس این معادلات دیفرانسیل معمولی بدست آمده به صورت تکراري در حالت تحلیلی حل می شوند.
مقدمه
یکی از اجزا اصلی در سازه ها، ورق مرکب نازك با سطوح القایی یا محرك هاي اتصالی می باشد. تئوري هاي مختلفی در زمینه پیش بینی خمش ورق هاي لایه اي با لایه هاي محرك ارائه شده است. این مدل ها شامل تئوري کلاسیک ورق و تئوري هاي بالا مثل تئوري مرتبه اول و تئوري مرتبه بالا می شوند. در تمام این تئوري ها فرض بر این است که محرك ها و زیر لایه ها به صورت یکپارچه هستند و تغییر شکل یکسانی را خواهند داشت. بترا[1] و همکارانش یک حل دقیق براي خمش استوانه اي یک ورق لایه اي مستطیلی با تکیه گاه هاي ساده همراه با انبساط و لایه هاي پیزو الکتریک برشی و یک مدل ریاضیاتی براي ورق هاي پیزو الکتریک ارائه کردند.
روبالدو [2] و همکارانش یک مدل المان محدود براي ورق با لایه هاي پیزو ارائه کردند. مایکل و ردي [3] نیز یک حل تقریبی بر اساس روش انرژي براي این ورق ها ارائه کردند. در حقیقت تمامی این مدل هاي ارائه شده براي ورق هاي شامل لایه هاي پیزو الکتریک فقط به ما کمک کند تا یک آگاهی و درك کلی از رفتار کلی ساختارهاي هوشمند داشته باشیم. در عمل برخی از محرك ها با مواد هوشمند، مثل ماده پیزو الکتریک سرامیک PZT-5H که به عنوان یکی از مواد معروف هوشمند کاربرد زیادي در سازه هاي هوایی دارد، فقط به صورت یک وصله1 به کار می روند.
به خاطر بسیاري از مشکلات مخصوصا محاسبات ریاضیاتی امکان بدست آوردن یک حل دقیق براي ورق ها با تکه هاي پیزوالکتریک نیست. بنابراین ضروري است که از یکی از حل هاي تقریبی در دسترس مثل روش انرژي براي تحلیل رفتار این ورق استفاده شود. زانگ و سان [4] یک حالت از ورق هاي ساندویچی با دو لبه گیردار و دو لبه آزاد را بر اساس روش ریلی ریتز ارائه کردند. چی و همکارانش [5] یک فرمول تئوري با استفاده از اصل تغییر همیلتون همراه با فرمولبندي المان محدود براي مدل کردن ساختارهاي مرکب هوشمند ارائه کردند. در ادامه پژوهش هاي انجام شده در این مقاله ابتدا روابط حاکم بر ورق مرکب با لایه هاي پیزو الکتریک ارائه می گردد، سپس به معرفی روش کانتروویچ توسعه یافته پرداخته و در پایان معادلات حاکم بر ورق قطاعی مرکب با لایه هاي پیزو الکتریک به روش عددي کانترویچ توسعه یافته حل می گردند.
روابط حاکم بر ورق مرکب با لایه هاي پیزو الکتریک
شکل - 1 - یک ورق لایه اي مستطیلی را در مختصات کارتزین نمایش می دهد.[6] این سازه شامل لایه هاي الاستیک همراه با صفحات متقارن منطبق با سیستم مختصات می باشد. مواد پیزو الکتریک کششی بر روي سطح سازه مقید شده است و در راستاي صفحه سازه محکم شده است. به کار بردن میدان الکتریکی در راستاي ضخامت باعث می شود که سطح سازه تحریک شده و منجر به کاهش و یا افزایش بعد صفحه شود و براي محرك هاي جاگذاري شده انحراف عرضی ایجاد کند. به کار بردن میدان الکتریکی در راستاي ضخامت مواد پیزو الکتریک برشی باعث القا و ایجاد کرنش هاي برشی و تولید تغییر شکل عرضی در ورق میزبان می شود.
که در آن σij مولفه هاي تانسور کوچی2 و εij مولفه هاي تانسور کرنش می باشد. E j میدان الکتریکی و Qij ثوابت الاستسیته و eij ثوابت پیزو الکتریک می باشند. روابط کلی فوق زمانیکه از مواد کششی ارتوتروپیک استفاده می کنیم به صورت زیر نمایش داده می شوند. با استفاده محرك پیزو الکتریک با ضخامت کم فقط می توان میدان الکتریکی در راستاي E3 ,3 را اعمال کرد. با استفاده از محرك هاي پیزو الکتریک کششی، با توجه به معادلات ساختاري ارائه شده مولفه هاي غیر صفر تانسور پیزو الکتریک عبارتند از e15 ، e33 ، e24 ، e31 و . e32 محرك هاي PZT سرامیکی ایزوتروپیک عرضی می باشند - - e31 e32 و - - . e15 e35 با توجه به اینکه در اینجا ورق هاي نازك مورد بررسی می باشد فرض σz 0براي تمام لایه هاي سازه، پیزوالکتریک و الاستیک استفاده می شود بنابراین خواهیم داشت:
روش توسعه یافته کانترویچ 3
این روش براي اولین بار در سال 1968 توسط آرنولد کر براي حل نیمه تحلیلی مسایل 2 بعدي مکانیک جامدات ارائه شد. ایشان با استفاده از روش معروف کانترویچ، حل نیمه تحلیلی براي پیچش میله منشوري با مقطع مستطیلی را بدست آوردند. در این روش معادلات حاکم که از نوع معادلات دیفرانسیل مشتق جزیی هستند و معمولا فاقد جواب تحلیلی و حتی نیمه تحلیلی هستند به دو دسته معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می شوند. در بیشتر مسائل موجود معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده داراي جواب تحلیلی هستند بنابراین می توان جواب نیمه تحلیلی براي معادلات حاکم بدست آورد. از آن پس این روش به طور گسترده اي براي حل مسایل مکانیک جامدات از جمله مسایل مقدار ویژه، کمانش، ارتعاشات آزاد ورق هاي نازك مستطیلی، خمش ورق هاي ایزوتروپیک و ارتوتروپیک ضخیم مستطیلی مورد استفاده قرار گرفته است. در سال هاي اخیر بیشتر مقالاتی که در زمینه EKM
منتشر شده اند در زمینه ارتعاش ورق هاي مستطیلی با ضخامت متغیر و خمش ورق هاي هدفمند4 می باشد. مهم ترین مشکل این روش محدودیت آن در حل مسایل با شرایط مرزي غیر صفر است. در صورت رفع این مشکل این روش قابل استفاده در حل مسائل انتقال حرارت نیز خواهد بود. البته در طی تحقیقات انجام شده روشی براي حل مسایل مکانیک جامدات با شرایط مرزي غیر صفر ارایه شده است که بر روي چند مساله ساده اعمال و پاسخ مناسبی دریافت شده است. در روش EKM جابجایی صفحه به صورت زیر در نظر گرفته می شود.
با جایگذاري معادله - 5 - در معادلات حرکت صفحه و اعمال روش گالرکین و استفاده از لم اساسی حساب تغییرات، m معادله دیفرانسیل معمولی براي تعیین m تابع مجهول fn - x - بدست می آید. این معادلات دیفرانسیل همراه با شرایط مرزي مربوطه حل می شوند. سپس توابع fn - x - بدست آمده دوباره در معادله - 5 - جایگذاري می شوند و با مقادیر بدست آمده براي تابع f - x - مراحل بالا براي تابع g - y - تکرار می شود و تا زمانیکه جواب ها به یک میزان دقت مطلوب برسند، این مراحل تکرار می شوند.[7] در این روش حل نهایی بدست آمده مستقل از تابع ابتدایی فرض شده می باشد. علاوه بر این نیازي نیست تا تابع اولیه شرایط مرزي و اولیه را ارضا کند. فرایند تکرار، حل مساله را وادار خواهد کرد تا شرایط مرزي را ارضا کند.
حل تکراري با استفاده از روش EKM
با توجه به روش کانتروویچ جابجایی ورق باید به صورت توابع چند متغیره جدا از هم که تابعی از r,θ می باشند در نظر گرفته شود. به همین دلیل یک عبارت تک متغیره براي خمش ورق به صورت زیر در نظر گرفته شد. با استفاده از تابع اولیه در نظر گرفته شده براي j 0 ، - g j - θ به عنوان حدس اولیه با انتگرال گیري نسبت به θ، معادله 12 تبدیل به یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه چهار می شود. که در این معادلات - F - r,θ بار اعمالی خارجی می باشد و - p - r,θ ممان القایی پیزوالکتریک است که از معادلات ساختاري پیزوالکتریک بدست می آیند.[6] با اعمال فرض تنش صفحه اي F - r ,θ - به صورت زیر محاسبه می شود: که در این معادله E3 عبارت است از میدان الکتریکی ، Qij عبارتند از ثوابت الاستیسیته و eij ثوابت پیزوالکتریک می باشند.
باید دقت شود که شرایط مرزي ارائه شده در روابط 7 براي لبه هاي گیردار بر اساس توابع جدا شده خمش به صورت زیر خواهند بود. با حل معادله 13 و با در نظر گرفتن شرایط مرزي اولین تخمین براي تابع fi - r - ,i 1 بدست می آید. به طور مشابه بعد از بدست آوردن تابع - f i - r حال می توان این فرایند را با معرفی تابع بدست آمده به معاله 9 ادامه داد که این منجر به بدست آوردن شکل دیگري براي δwمی شود و معادله گالرکین به صورت زیر خواهد بود.
