بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله تحلیل ارتعاشات آزاد ورقهای ضخیم مستطیلی از جنس مواد هدفمند پیزوالکتریک، در حالت مدار بسته مورد بررسی قرار گرفته است. معادلات حاکم بر ورق بر پایه تئوری مرتبهی بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی باترا و ویدولی با استفاده از اصل کار مجازی بدست آمده است. معادلات حاصل با فرض تکیهگاه ساده روی هر چهار لبهی ورق به صورت تحلیلی حل شده است. در تئوری مرتبهی بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی، هر دو اثر تغییر شکل برشی و قائم در راستای ضخامت لحاظ گردیده است و پارامترهای جابهجایی و پتانسیل با استفاده از تابع لژاندر در راستای ضخامت بسط داده شدهاند.
از مزایای این تئوری در مقایسه با تئوریهای برشی این است که جابهجایی عرضی ورق در امتداد ضخامت ثابت در نظر گرفته نشده است و برای ورق ضخیم نتایج دقیقی میدهد. برای بیان خواص مکانیکی، الکتریکی و فیزیکی مواد هدفمند در امتداد ضخامت از تابع توانی، استفاده شده است. در پایان پس از بررسی صحت نتایج حاضر، نتایج عددی برای پارامترهای گوناگون مانند توان مادهی هدفمند پیزوالکتریک، نسبت ضخامت به طول مشخصه و اثر پیزوالکتریک بر فرکانسهای طبیعی ورق مورد مطالعه قرار گرفته است. این بررسی نشان میدهد که وقتی از تئوری مرتبهی پنجم استفاده میشود، نتایج برای ورقهای ضخیم مستطیلی هدفمندپیزوالکتریک بسیار نزدیک به نتایج بدست آمده از تئوری الاستیسیته سهبعدی میباشد.
مقدمه
ورقها کاربرد گستردهای در صنایع مختلف از جمله هوافضا، رآکتورها، ساختمانسازی و دیگر صنایع دارند. معمولاً انتخاب تئوری مناسب در تحلیل ورقها، با توجه به نسبت ضخامت به طول ورق صورت میپذیرد. اگر چه تئوریهای برشی ورق در تحلیل ورقهای ضخیم نتایج خوبی میدهند، اما به دلیل در نظر نگرفتن اثر کرنشهای عمودی، هنوز با جوابهای دقیق فاصله دارند. برای رفع این مشکل، تئوری جدیدی به نام تئوری تغییر شکل برشی و عمودی توسط باترا و ویدولی [1] معرفی شده است. این تئوری، کامل کنندهی تئوریهای قبل بوده و هر دو اثر تغییر شکل برشی و عمودی را در راستای ضخامت در نظر میگیرد.
در سیستمهای مکانیکی ارتعاشات ناخواسته باعث ایجاد ترک در قطعات، لق شدن اتصالات، شکست سازهها، نقص عملکرد وسایل الکترونیکی و بسیاری از موارد دیگر میشود. با اندازهگیری مشخصات نوسانی سیستم همچون فرکانسهای طبیعی آن میتوان سرعتهای دور از حالت تشدید را انتخاب کرده و از بسیاری از آثار نامطلوب ارتعاشات جلوگیری نمود. برای رفع این مشکلات، مواد پیزوالکتریک به دنیای صنعت معرفی شدند، در این مواد با اعمال بار مکانیکی جریان الکتریکی در آنها به وجود میآید، همچنین با قرار دادن این مواد در میدان الکتریکی کرنش مکانیکی ایجاد خواهد شد. این خاصیت دو سویه پیزوالکتریکها را موادی ایدهآل برای ساخت سنسورها و عملگرها کرده است.
[2] بنابراین میتوان از ویژگیهای لایههای پیزوالکتریک حسگر و عملگر برای کنترل فعال ارتعاشات سیستمها استفاده کرد. مواد هدفمند کامپوزیتهای ناهمگن متشکل از فلزات و سرامیکها هستند خواص این مواد به صورت تابعی تغییر میکند، مقاومت بسیار خوب سرامیکها در برابر حرارت و سایش، در کنار چقرمگی بالای فلزات این ماده را به مادهای با کارایی دوگانه تبدیل کرده است. سازههای هدفمند با داشتن این خواص هنگامی که با مواد پیزوالکتریک ترکیب میشوند ماده هدفمند با خواص کنترل پذیری را به وجود میآورند که کاربردشان را بیش از پیش مطلوب میسازد، این ماده را، ماده هدفمند پیزوالکتریک مینامند. در واقع مواد هدفمند پیزوالکتریک مواد پیزو الکتریکی هستند که خواص مکانیکی آنها به صورت تابعی تغییر میکند.
[3] مطالعات اولیه در زمینه رفتار استاتیکی و دینامیکی ورقهای تک لایه پیزوالکتریک توسط تیرسن [4] انجام شد. کوپیال [5] به بررسی ارتعاشات آزاد ورق مستطیلی پیزوالکتریک با شرط مرزی تکیهگاه ساده پرداخت. ژانگ و یو [6] به بررسی ارتعاشات ورق مستطیلی هدفمند پیزوالکتریک با شرط مرزی تکیهگاه ساده پرداختند، معادلات حرکت و در نهایت فرکانسهای طبیعی را با استفاده از تئوری الاستیسیته سه بعدی بدست آوردند.
باترا [7] با استفاده از اصل کار مجازی، تئوری مرتبهی بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی را برای ورقهای الاستیک خطی غیر قابل تراکم هدفمند ارائه کرد. ماتسوناگا [8] نوعی از تئوری مرتبهی بالاتر برشی و عمودی را با استفاده از بسط سری تیلور برای آنالیز ارتعاشات و پایداری ورقهای هدفمند با تکیهگاه ساده ارائه کرد. شرعیات و امینی [9] با بررسی اثر بهکارگیری لایههای پیزوالکتریک بر فرکانس طبیعی و شکل مودهای ارتعاشی ورق هدفمند چهار گوش با روش المان محدود نشان دادند، که استفاده از لایه پیزوالکتریک تأثیر اندکی بر مقادیر فرکانس طبیعی داشته و بر شکل مودهای ارتعاشی بیتأثیر است، لذا میتوان از ویژگیهای لایههای پیزوالکتریک حسگر و عملگر برای کنترل فعال ارتعاشات سیستمها استفاده کرد.
یکی از اثرات مهم لایههای پیزوالکتریک موسوم به اثر پیزو در دو حالت مدار بسته و مدار باز توسط وو و همکارانش [10] بررسی شد. در این تحقیق تغییرات میدان پتانسیل الکتریکی در راستای ضخامت به صورت ترکیبی از توابع سهموی و خطی در نظر گرفته شده است، آنها اظهار داشتند که این اثراگرچه برای حالت مدار بسته تقریباً ناچیز است ولی نقش مهمی در حالت مدار باز ایفا میکند. عسکری فرسنگی و سعیدی [11] با ارائهی حل دقیق برای شرط مرزی لوی، ارتعاشات ورقهای مستطیلی هدفمند با لایههای پیزوالکتریک را مورد مطالعه قرار دادند.
با استفاده از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و اصل همیلتون معادلات حاکم را بدست آوردند، و به این نتیجه رسیدند که اثر لایههای پیزوالکتریک بر روی فرکانسهای طبیعی به شدت به شرایط مرزی الکتریکی و مکانیکی وابسته است. بداغی و شاکری [12] ارتعاشات پوسته استوانهای هدفمند پیزوالکتریک را با استفاده از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول مورد بررسی قرار دادند. شیخالاسلامی و سعیدی [13] با استفاده از تئوری مرتبهی بالاتر برشی و عمودی به بررسی ارتعاشات آزاد ورقهای هدفمند همسانگرد با شرط مرزی تکیهگاه ساده پرداختند. در این مقاله با استفاده از تئوری مرتبهی بالاتر تغییر شکل برشی و عمودی ورق، حلی دقیق برای بررسی ارتعاشات آزاد ورقهای ضخیم مستطیلی هدفمند پیزوالکتریک در حالت مدار بسته ارائه شده است. نتایج حاصل از این مطالعه در قالب جدول و اشکال برای پارامترهای مختلف ورق ارائه گردیده است.
