بخشی از مقاله
چکیده
تحلیل محاسباتی یک مسئله با چند مقیاس فیزیکی - multi physics - نیاز به یک فضاي چند شبکه اي - Multi grid - دارد. بکار گرفتن روشهاي معمول محاسبات در چنین فضائی با محدودیت هاي اساسی مواجه است. در سالهاي اخیر تلاشهاي زیادي در توسعه یک روش محاسباتی ناهمگون با هدف ارائه رویه اي عمومیبا قابلیت کاربرد مستقیم در فضاي چند شبکه اي انجام شده است. در این تحقیق Heterogeneous Multiscale Method یا - HMM - که ما آن را رویه محاسباتی نا همگون نامیده ایم را معرفی کرده و در حل مسئلهچند مقیاسی سهموي در فضاي دو بعدي بکار گرفته ایم.
کلمات کلیدي: رویه محاسباتی ناهمگون، مسئله چند مقیاسی سهموي، فضاي چند شبکه اي
مقدمه
قوانین مکانیک کوانتومی، دینامیک مولکولی، تئوري سینتیک و قوانین پیوستگی جرم و انرژي رده- هاي مختلف از مقیاس می باشند. حل هر مسئله فیزیکی، شیمیایی یا مهندسی می تواند با یک یا چند رده از این قوانین درگیر باشد. این رده هاي متفاوت داراي ابعاد فضائی و زمانی مختلفی هستند. رویدادهاي مولکولی که با قوانین دینامیک مولکولی تفسیر میشوند در بعد فضا نانو و بعد زمان پیکو ثانیه اتفاق می افتند، در صورتیکه بسیاري از مسائل معمول در مهندسی با استفاده از قوانین پیوستگی جرم و انرژي در بعد فضاي سانتی متر و بعد زمان ثانیه اتفاق می افتند. در بسیاري از مواقع رفتار سیستم با یک معادله دیفرانسیلی بیان می شود که حل تحلیلی ندارد. در چنین مواردي یکی از روش هاي محاسباتی تفاضل محدود، اجزاء محدود یا حجم محدود می تواند به کار گرفته شود.
یک محدودیت اساسی در استفاده از این روش ها در مسائلی ظاهر میشود که با چند رده از مقیاس - Multiscale - همراه هستند. در اینگونه مسائل براي رسیدن به جواب هاي دقیق می توان گام هاي محاسباتی زمان و یا مکان را بر اساس مقیاس ریزتر انتخاب کرد، اما حل چنین مسئله اي در ابعاد درشت بسیار طولانی و در اکثر موارد نا ممکن است. طی سال هاي اخیر فعالیت هاي زیادي براي توسعه یک روش محاسباتی نا همگون انجام شده که بتواند بطور عمومی در مسائل چند مقیاسی استفاده شود. رویه محاسباتی ناهمگون - HMM - یک روش محاسبات براي حل معادلات چند مقیاسی در محیط هاي ناهمگون است. مقالات 1]و[2 مراجع مناسبی براي معرفی عمومی این روش هستند.
در مرجع Weinan [3] و همکارانش به مجموعه کارها و پیشرفت هاي انجام شده دراین مورد پرداخته اند. در یک نگاه کلی HMM روشی است که با انجام محاسبات عددي در مقاطعی از مقیاس ریز و در ما بین گره هاي شبکه بندي درشت یک عملیات متوسط گیري را در بین گره هاي شبکه بندي درشت تعریف نموده و فضاي نا همگون بین گره ها در مقیاس درشت را همگون میسازد - یا بعبارت دیگر با یک محیط همگون مجازي جایگزین میکند - بدین ترتیب حل محاسباتی در درشت مقیاس با اطلاعات محاسباتی ریز مقیاس اصلاح خواهد شد. ترکیب HMM با عملیات محاسباتی معمول موضوعی است که در بعضی مقالات مورد توجه قرار گرفته است. Assyr Abdulleو. Weinan E این روش را با استفاده از رویه محاسباتی تفاضل محدود توسعه داده اند.[4]تمایل زیادي در بین محققین در استفاده از رویه اجزاء محدود وجود دارد.
مرجع [5] چنین رویه اي را در یک شبکه مثلثی توسعه داده است. در مراجع 6]و[7 از رویه محاسباتی حجم محدود استفاده شده است.کاربرد مسائل چند مقیاسی در حوزه هاي مختلفی از علوم دیده می شود. در مکانیک سیالات رفتار سیال در مقیاس میکرو و یا جریان سیال پیچیده همچنین جریان سیال در محیطهاي متخلخل - - Porous media نمونه اي از مواردي هستند که مدلها با بیش از یک مقیاس مدلسازي درگیر هستند. در مراجع 9]،8و[10 به بررسی و حل چنین مدل هایی پرداخته شده است. در علم مواد و پلیمر تفسیر رفتار و خواص کامپوزیتها موضوعاتی هستند که براي توضیح رفتار آنها نیاز به مدلهاي پیچیده میباشد.[11] در سینتیک، واکنش هایی که در مقیاس هاي زمانی مختلف همزمان اتفاق می افتند عملا یک مسئله چند مقیاسی از زمان هستند. به عبارت دیگر یک فرآیند با دو مقیاس زمانی متفاوت را میتوان بصورت فرآیندي ریز مقیاس زمانی در هر گام حل عددي یک فرآیند درشت مقیاس زمانی تصور کرد.
مرجع [12] به بررسی این دسته خاص از روابط چند مقیاسی می پردازد.مسئله چند مقیاسی سهموي Multi-scale Parabolic Problem - MPP - این مسئله با رابطه زیر مشخص می شود :این معادله دینامیکی در فضاي پیوسته مکان Ω و محدوده زمانی - 0,T معتبر است .تحلیل حل محاسباتی این مسئله نیاز به یک فضاي چند شبکه اي - Multi grid - دارد. شمائی از چنین فضائی در حالت دو بعدي در شکل1 نشان داده شده است. تنها با توجه به فضاي Ω براي حل محاسباتی MPP یک شبکه بندي درشت x به نظرمناسب می رسد. اما بدلیل تابعیت مکانی ضریب A x /ε به شبکه بندي ریز y x / ε شکل گسسته اپراتور ∇xدر این فضا، بی دقت خواهد بود. از سوي دیگر استفاده از شکل گسسته اپراتور ∇y حل محاسباتیرا بطورفزاینده اي طولانی می کند. فضاي گسسته Ω که در شکل - 1 - نشان داده شده است بصورت زیر تعریف می شود:.
