بخشی از مقاله
چکیده :
در این مقاله مسائلی مورد توجه قرارگرفته شده که حضور اُپراتور . a x با ضریب نا متجانس a x سبب چند مقیاسی شدن مسئله شده است. تحلیل روش حل این دسته از مسائل با استفاده از رویه المانهای محدود و روش چند مقیاسی المانهای محدود بررسی شده و همچنین با استفاده تئوری همگون سازی کلاسیک اصلاحاتی در روش المانهای محدود انجام شده است. ارزیابی روش ها بر اساس همگرائی به جواب و همچنین توانائی روش در پیش بینی رفتار ریز مقیاس صورت گرفته..
مقدمه:
مسائلی که در مهندسی وعلوم با آن برخورد میکنیمذاتاً چند مقیاسی هستند بعبارت دیگر رویدادهائی در حد درک بصری ما ، از رفتارهای جمعی پدیده های ریز مقیاس حاصل میشوند. از سوی دیگر قوانین ریاضی که برای تفسیر پدیده های مختلف توسعه داده شده اند قادر به توضیح رفتار سیستم تنها در محدودهای از مقیاس زمان و مکان میباشند
قوانین ریاضی عموما بر اساس استدلالهائی است که به خوبی می تواند پیچیدگی مسئله را کاهش ده ند بدون اینکه نتایج در مقیاس مورد نظر خطای قابل توجه ای پیدا کند. اما دسته ای از مسائل در مهندسی و علوم وجود دارند که نمیتوان آنهارا به سادگی محدود به یک مقیاس کرد . بعنوان مثال جریان سیال در یک حوزه متخلخل زیر زمینی را در نظر بگرید تفسیر دینامیکی حرکت در مقیاس های بزرگ جغرافیائی با در نظر گرفتن مقیاس ریز تخلخل پیچیدگی را در مسئله ایجاد میکند که ناشی از تفاوت در مقیاس است. مثالی دیگر تاثیر یک فاز پخش شده در مقیاس میکرو را در خواص ماکرو یک ماده کامپوزیت می توان در نظر گرفت.
نگرش فلسفی به پیچیدگی ریاضی در تحلیل یک مسئله چند مقیاسی بعضی از محققین را به فکر توسعه روشهائی انداخت که در آن اساساً تعریفی از مقیاس الزامی نیست. دو روش ریاضیات فرکتال - Fractal - و اجزاء خودکار - - Cellular Automata براین اساس توسعه داده شده اند
در ریاضیات فرکتال تمام مقیاس ها از تکرار یک الگوی هندسی بوجود میآید که الزاماً ابعاد این الگوهای هندسی اعداد صحیح نمی باشند در تکنیک اجزاء خودکار سعی شده با الگو برداری مستقیم از یک رویداد بدون استفاده از روشهای مرسوم ریاضی رفتار سیستم مدل شود برای این منظور با استفاده از یک شبکه بندی گسسته از وضعیت های ممکن اشغال شده یا نشده توسط ذرات سازنده پیکره رویداد، مجموعه کاملی از وضعیت یا حالت یک سیستم تعریف می شود سپس تبدیل یک پیکر بندی یا وضعیت مشخص از سیستم به وضعیت دیگر توسط روابط یا قوانینی منطقی فرمول بندی میشود]َ[هر. دو این روشها اساساً ریاضی گریز " Equation " Free هستند
. ایده دیگری در ارتباط با همین موضوع وجود دارد که هر چند مانند دو روش یاد شده کاملاً ریاضی گریزنمیباشد اما عموماً در فعایتهای علمی انجام شده آنها را نیز در رده روشهای ریاضی گریز دسته بندی کرده اند.در این ائده مدلی که رفتار سیستم را در مقیاس ریز توضیح میدهد با استفاده از روشهای محاسباتی به مقیاسهای بالاتر تعمیم داده میشود ]ُ.[ تکنیکهای محاسباتی جفت کردن مقیاسها متنوع هستند در میان این روشها ، تکنیکهای محاسباتی چند شبکه ای مرسوم ترند.
متاسفانه هنوز روش جامع و کاملی در محاسبات چند شبکه ای وجود ندارد که بتواند تمام مسائل چند مقیاسی را حل کند . بنابر این انتخاب روش وابسته به نوع مسئله و انتظار ما از جواب است. مسلم است که دلیل اصلی برای توسعه روشهای محاسباتی چند شبکه ای کاهش حجم محاسبات است. شکل پیکر بندی چند شبکه ای و ائده اساسی در کاهش حجم محاسبات روشهای محاسباتی چند شبکه ای را از یکدیگر متمایز میکند .
حجم محاسبات لازم برای جفت کردن دو مقیاس با اختلاف در بعد زمان و مکان مقیاسها بطور فزاینده افزایش پیدا میکند بطوریکه تکنولوژی سخت افزاری موجود نمیتواند پاسخگو این حجم از محاسبات باشد. در سالهای اخیر سعی شده یک روش محاسباتی توسعه داده شودکه بطور موثر بتواند حجم محاسبات را کاهش دهد .
این روش محاسباتی رویه محاسباتی چند مقیاسی ناهمگون Heterogeneous Multiscale Method - HMM - نامیده شده. در این روش با استفاده از اطلاعات استخراج شده از ریز مقیاس تفسیری از رفتار درشت مقیاس ارائه میشود
در مرجع این ائده را برای یک مسئله چند مقیاسی Parabolic توسعه داده اند و ما آن را در مرجع ]َ[ بررسی کرده ایم . توسعه این ائده برای مسائل چند مقیاسی Elliptic در مرجع ]ُ[ میتوانید پیدا کنید . روش محاسباتی چند شبکه ای v-cycle بر خلاف روش HMM تفسیری از رفتار ریز مقیاس یک مسئله را ارائه میدهد
اما این روش نمیتواند همانند روش HMM در کاهش حجم محاسبات موثر عمل کند. در سال توسط] Thomas Y. Hou and Xiao_Hui Wuٌٌ[ روشی ارائه شد که در آن رویه المانهای محدود برای مسائل چند مقیاسی توسعه داده شده بود . روش چند مقیاسی المانهای محدود که آنها ارائه داده بودند تلاش داشت تا رفتار ریز مقیاس را در توابع شکلی لحاظ کند. آنها سپس این کار را با استفاده از ائده HMM توسعه دادند
ما در این مقاله حل یک مسئله چند مقیاسی Elliptic با ضریب نامتجانس را مورد توجه قرار دادیم. ابتدا این معادله را به روش استاندا رد المانهای محدود تحلیل کرده سپس با استفاده از تئوری همگون سازی روش را اصلاح کرده ایم. حل این مسئله با روش چند مقیاسی المانهای محدود مطابق با روشی کهThomas Y. Hou and Xiao_ Hui Wu در مقاله خود ارائه داده اند مورد توجه قرار گرفته است . این روش با مقایسه با سایر روشهای یاد شده مورد ارزیابی قرار گرفته است.
تحلیل روش استاندارد المانهای محدود در مسائل چند مقیاسی
همانگونه که میدانیم، روشهای معمول محاسباتی که تنها از یک پیکر بندی شبکه ای استفاده میکنند عبارتند از تفاضل محدود، حجم محدود و المان های محدود. در روش المان های محدود جواب معادله در یک فضای پیوسته Finite dimensional به شکل بدست میآید. j را تابع شکلی میگویند.
این ویژگی خاص در روش المان های محدود دلیلی است برای توجه محققین در توسعه روش برای حل مسائل چند مقیاسی. یک ائده اساسی دخیل کردن رفتار ریز مقیاس است در توابع شکلی و سپس حل عا دی مسئله در مقیاس درشت . در روش مرسوم المان های محدود توابع شکلی توابعی خطی هستند این توابع به نوعی انتخاب شده اند که اولاًاین روش محاسباتی یک روش عمومی برای حل معادلات دیفرانسیل باشد ثانیاً تا حد ممکن فضای Finite dimensionalبه یک فضای اُرتوگنال نزدیک باشد - به منظور کاهش حجم عملیات - . توابع شکلی در روش استاندارد المانهای محدود به نحوی تعریف شده اند
