مقاله حل معادلات سیالی پلاسمای نسبیتی یک بعدی با استفاده از روش هدوگراف

بخشی از مقاله

چکیده

معادلات غیر خطی سیالی براي یک پلاسماي تمام نسبیتی یک بعدي با استفاده از روش هدوگراف بررسی می شود. با استفاده از این تبدیلات معادلات غیر خطی اولیه به معادلات خطی تبدیل می شود.براي این معادلات خطی خمهاي مشخصه به دست می آیند.همچنین مختصات جدید موضعی بر مبناي این خمها معرفی و صریحا محاسبه می شوند.یک جواب عمومی به صورت صوري بر مبناي این مختصات موضعی مشخصه اي پیشنهاد می شود.خمهاي مشخصه در صفحه فیزیکی و صفحه هدوگراف با هم مقایسه می شوند.

مقدمه

براي بررسی پلاسما و به خصوص پلاسماي نسبیتی مدل سیالی مدل بسیار متداولی است. معادلات پلاسماي نسبیتی بسیار پیچیده و به شدت غیرخطی هستند ولی براي حل دقیق این معادلات روش هاي مختلفی وجود دارد که بعضی از این روش ها عبارتنداز: .1 جواب هاي ریمان یا امواج ساده .2 روش چند موجی. 3 روش هدوگراف. روشی که در این مقاله به کار برده شده است روش هدوگراف است که براي معادلات با دو متغیر مستقل به کاربرده می شود در این روش دترمینان ژاکوبی دو متغیر موجود نبایدصفر شود که این به معناي استقلال تابعی این دو متغیر فیزیکی است. این درست برخلاف فرض اعمال شده در جواب هاي امواج ریمانی است.

روش هدوگراف مبتنی بر نگاشتی از صفحهمختصات فضا-زمانی به صفحه کمیت هاي فیزیکی بوده که تحتآن معادلات غیر خطی سیال به معادلات خطی تبدیل می شوندبا. یافتن جواب هاي متنوع و مستقل براي این معادلات خطی می توان با استفاده از اصل بر هم نهی جواب هاي باز هم جدیدتري به دست آورد. جالب است توجه کنیم که این جواب ها در صفحه هدوگراف - صفحه کمیت هاي فیزیکی - خطی هستند و می توان آنها را به طور ساده با هم جمع کرد. اما در تبدیل وارون به صفحه مختصات فضا-زمانی کاملا غیرخطی می شوند و منجر به ترکیب غیرخطی هر یک از دو جواب اولیه می گردند.عیب این روش آناست که اولا شرایط مرزي را نمی توان به سادگی اعمال نمود و ثانیا نمی توان براي بیشتر از دو متغیر آن را ازبه کار برد.

استفاه روش هدوگراف در معادلات سیالی و پلاسما در دو حالت صورت می گیرد در حالت اول جریانها، پتانسیلی دو بعدي وپایا در نظرگرفته می شود که به صفحه سرعت هاي سیال نگاشته می شوند2]و.[1 در حالت دوم یک سیال یک بعدي ولی وابسته به زماندر نظر گرفته می شود به این ترتیب مختصات فضا-زمانی - x,t - ودو متغیر فیزیکی سیال می توانند چگالی و سرعت سیال باشند.حالت اول براي سیال و پلاسماي تمام نسبیتی قبلا انجامشده است .[3] اما به نظر می رسد که حالت دوم دست کم براي یک سیال و پلاسماي تمام نسبیتی تا کنون اعمال نشده است که این کار، موضوع این مقاله می باشد .[4]
معادلات کلی حرکت چنین پلاسمایی به صورت زیر است:
به این دلیل که در پلاسماهاي موجود در طبیعت و آزمایشگاه دمابالاست در این مقاله هم تقریب دماي بالا - فرانسبیتی - به دلیل اعتبار فیزیکی و ساده تر شدن معادلات به کار برده شدهیعنیاست.
kBT ff m0 c2  که k B  ثابت بولتزمن و m0c 2  انرژي سکون ذرات پلاسما می باشد.تبدیل هدوگراف در تقریب دماي فرا نسبیتیدر این ما w , κ0 ,a2 , p به صورت زیر نوشته می شوند.فرض اساسی این است که ρ%,κ دو متغیر مستقل هستند بنابراین ژاکوبی - j  ∂x ,t  مخالف صفر است و تک تک جملات معادلات - 1 - به صورت زیر تبدیل می شوند.با در نظر گرفتن تقریب دماي بالا و جاي گذاري روابط - 3 - و - 4 - در معادلاتو - 2 -   - 1 - معادله زیر به دست می آید.که درایه هاي ماتریس مرتبه دوم A داراي فرم زیر است:    

 این یک دستگاه معادله خطی است که متداول ترین راه حل آناستفاده از خم هاي مشخصه می باشد. در اینجا این خم ها ارایه می شوند. از آنجا که A یک ماتریس هرمیتی - متقارن - نیست، براي هر ویژه مقدار λi لزوما بردارهاي ویژه راست rri و چپ l i آن یکی نیستند اما مقدارهاي ویژه λi براي هر بردار ویژه راست و چپ یکسان است .طبق قضیه ساده اي در جبر خطی، هر
بردار ویژه چپ بر بردار ویژه راست متناظر با مقدار ویژه دیگرعمود است یعنی:خم هاي مشخصه طبق تعریف خم هایی هستند که از انتگرال گیري    dκ    λ i  به دست می آیند.در این جا چون ماتریس A از مرتبه دوم است، به طور کلی دو مقدار ویژه λ1  و λ2  پدید می آیند که براي هر یک از آنها    یک خم مشخصه به دست می آید.    

این خم ها را به ترتیب با C1  و C2  نشان می دهند.اکنون با این تعریف از خم هاي مشخصه، معادله - - 5 را از چپ درهر یکچپاز دو بردار .ویژه lr1  و l2 ضرب داخلی می کنیم: که در آن شاخص پایین Ci نشانگر این است که مشتق گیري در راستاي خم مشخصه Ci صورت می گیرد. معادله فوق نشان میدهد که بردار ویژه راست rri  موازي با مشتق U در راستاي خممشخصه Cj  که - i ≠ j - است.با توجه به این روابط می توان معادلات را حل کرد ولی قبل از حل آن باید مشخصه ها را پیدا نمود که مشخصه ها با انتگرال گیري از روابط زیر که ویژه مقادیر ماتریس A هستند به دست می
آیند .[ 5]

براي انتگرال گیري از معادلات - 8 - و - 9 - در ص فحه - - ρ~,κباید از یک نقطه داده شده شروع کرد و دو خم مشخصه را بدستآورد. این نقطه شروع را با - ~ - نشان می دهیم. به این ترتیب
دو خم مشخصه به دست آمده را C10 و C20 مطابق شکل - 1 - می نامیم. بنابراین معادله خم هاي C10   و C20 به صورت زیر به دست می آیند.براي بدست آوردن جواب بهتر است به جاي ρ~,κ  - از مختصات مشخصه اي استفاده شود که به صورت زیر تعریف می شوندازنقطه دلخواه o با مختصات ρ, κ  مسیر مشخصه هاي C1 وC2  را رسم کرده و محل تقاطع آنها را با C20 و C10 به ترتیبρ2 وρ1  می نامیم.  نمودار مربوطه با استفاده از نرم افزار مطلب رسم شده است.