بخشی از مقاله
چکیده
هدف ما در این مقاله تجزیه در یویشنهای پیوسته جبر توابع هموار روی منیفلدهای هموار با مقادیر در جبرهای خاصمانند H جبرها با بعد دلخواه که لزوماً متناهی نیست، می باشد. تمام نتایج تعمیم قضایا در حالت جبرهای متناهی است.برای این منظور دو مفهوم جدید در یویشنهای نقطه ای و دیفرانسیلی را تعریف کرده ایم و در نهایت هر در یویشن پیوسته روی جبر توابع از منیفلدها به H جبرهارا به صورت جمع مستقیم یک در یویشن نقطه ای و یک در یویشندیفرانسیلی در آورده ایم.
واژه های کلیدی: جبر توابع هموار روی منیفلدها با مقادیر در یک جبر، در یویشن، در یویشن نقطه ای ،در یویشن دیفرانسیلی
١مقدمه
یافتن در یویشنهای جبرهای مختلف یک مساله اساسی در شاخه های جبرو آنالیز و هندسه می باشد.در این متن قصد داریم در یویشنهای پیوسته جبر توابع روی منیفلدها با مقادیر در برخی جبرها را به دست بیاور یم. کلیه تعاریف و تذکراتی که در مقدمه آمده اند،استانداردند و در کتب ویا مقالات چاپ شده یافت می شوند.
تعریف ١ . ١. ا گر A یک جبر باشد، نگاشت خطی D : A ! A را یک در یویشن روی A می نامند هرگاه برای هر a; b 2 A داشته باشیم
مثال ١. ٢. در هر جبر شرکت پذیر A برای هر عنصر a 2 A نگاشت _a : A ! A که به صورت _a - b - = ab ba تعریف می شود یک در یویشن روی A است.به در یویشنهای به این شکل در یویشنهای درونی Aگوییم.
تعریف ١. ٣. ا گر A یک جبر توپولوژیک - جبری که دارای توپولوژی نیز هست - باشدمجموعه در یویشنهای پیوسته A را با Der - A - نشان میدهیم که یک فضای برداری و بعلاوه یک جبر لی است.
تعریف ١. ۴. در یک جبر A مرکز آن را که با Z - A - نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می شود و یک زیر جبر A است.
ملاحظه ١. ۵. در یک منیفلد M جبر توابع هموار روی یک منیفلد هموار M با مقادیر حقیقی را با C1 - M - نشان می دهند که جبری جابجایی و یکه دار است و در یویشنهای آن مجموعه میدانهای برداری روی M است که همان مجموعه برشهای کلاف T M است. جبر توابع هموار روی M با مقادیر در جبر A را با C 1 - M; A - نشان می دهیم. ا گر A جبر شرکت پذیر و یکه دار باشد، C1 - M; A - نیز با عمل ضرب نقطه ای شرکت پذیر و یکه دار است. جبر C1 - M - با نگاشت زیربه طور طبیعی در C1 - M; A - قرار می گیرد.
تعریف ١. ۶. یکH_ جبر ، عبارت است از یک جبر باناخ که بعلاوه فضای هیلبرت نیز می باشدو عمل تعریف شده روی جبر نسبت به ضرب داخلی < :; : > دارای خاصیت زیر باشد:
٢ نتایج اصلی
در این بخش جبر H یک H_ جبر است.
تعریف ٢ . ١. برای هر تابع هموار q : M ! Der - H - نگاشت خطی Dq : C1 - M; H - ! C1 - M; H - با ضابطه Dq - f - - x - = q - x - - f - x - - 8x 2 M یک در یویشن پیوسته روی C1 - M; H - است.اینگونه در یویشنها را در یویشنهای نقطه ای می نامیم.
ملاحظه ٢. ٢. ا گر fe g 2I یک پایه متعامد یکه از H باشد، با تعریف توابع ثابت fe : M ! H با ضابطه fe - m - = e 8m 2 M می توانیم هر f 2 C1 - M; H - را به صورت f = f fe بنویسیم.
تعریف ٢ . ٣. برای هر میدان برداری X 2 X - M - مشتق لی توابع در C 1 - M; H - را با LX نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم. ا گر f = f fe اثر LX روی f را به صورت زیرتعریف می کنیم:
LX - f - = X - f - feمحاسبه مستقیم نشان می دهد، LX یک در یویشن C1 - M; H - است.ا گر h : M ! Z - H - تابع همواری باشد و D یک در یویشن جبر C1 - M; H - باشد ، آنگاه h:D نیز یک در یویشن این جبر است به خصوص برای هر میدان برداری X 2 X - M - اپراتور h:LX نیز از در یویشنهای جبر C1 - M; H - است.با استفاده از این نکته یک تناظر یک به یک بین برشهای کلاف برداری T M - M Z - H - - و در یویشنهای C 1 - M; H - به صورت زیر برقرار می کنیم.چون برشهای نمونه ای کلاف T M - M Z - H - - به صورت X h هستند که X 2 X و h : M ! Z - H - تابعی هموار است، می توانیم در یویشن ایجاد شده توسط این برش را با LX h نشان دهیم که به صورت زیر عمل می کند.
