بخشی از مقاله
دوگانی در برنامه ریزی خطی عدد فازی با به کار بردن یک تابع Ranking (رتبه بندی) مشخص
خلاصه :
ما تعدادی از ویژگی های دوگانی در مسائل برنامه ریزی خطی عدد فازی را بررسی می کنیم . با به کار بردن تابع Ranking (رتبه بندی) خطی ، دوگانی در مسائل برنامه ریزی خطی فازی را معرفی می کنیم . سپس تعدادی از نتایج دوگانی را ارائه می دهیم .
کلید واژه ها :
برنامه ریزی خطی عدد فازی – دوگانی – توابع Ranking
مقدمه :
ایدۀ تصمیم گیری (فعالیت) در محیط فازی اولین بار توسط Zadeh , Bellman [2] پیشنهاد شد . سپس Tanakaetal [18] کاربرد این مفهوم را در برنامه ریزی ریاضی مطرح کرد . ([19] را ببینید) . مسائل برنامه ریزی خطی فازی با ضرایب فازی به وسیلۀ [14] Negoita پیشنهاد شد و فرمول برنامه ریزی خطی با محدودیت های فازی و یک روش حل توسط Tanaka و [16] Asai داده شده
است . [12] Maleki یک مسئلۀ برنامه ریزی خطی با متقیرهای فازی را معرفی کرد ([7] را ببینید) [5]Feug ,Hu برنامه ریزی فازی با ضرایب محدود فازی را بررسی کردند . Gosimov و Yenilmez [9] در مورد حل مسائل برنامه ریزی خطی فازی با به کار بردن تابع عضویت بحث کردند . ([8] را ببینید) . [11] Maleki یک تابع Ranking (رتبه بندی) مشخص را برای حل مسائل برنامه ریزی خطی فازی به کار برد . او همچنین یک روش جدید با استفاده از تابع Ranking خطی برای حل کردن مسائل برنامه ریزی خطی با ابهام در شرایط را معرفی کرد [13] Mishmast تابع Ranking (رتبه بندی) (لغتی) Lexicographic را برای اعداد فازی معرفی کرد مسائل برنامه ریزی خطی عدد فازی را با به کار بردن تابع Ranking (رتبه بندی) (لغتی) Lexicographic حل کرد . در اینجا ما ابتدا نکات
اساسی مجموعۀ فازی و اعداد فازی را بررسی می کنیم و سپس یک تابع ranking خطی شبیه به تابع Ranking پیشنهاد شده توسط [6] Roubens برای اعداد فازی را ملاحظه می کنیم . سپس دوگان مسائل برنامه ریزی خطی اعداد فازی را معرفی می کنیم . در آخر چندین ویژگی برای مسائل برنامه ریزی خطی فازی و دوگان آن را بررسی و دسته بندی می کنیم .
تعاریف و نکات :
ما نکات اساسی برای تئوری مجموعۀ فازی را که توسط Zadeh , Bellman [2] ارائه شده است را در این مقاله استفاده می کنیم . در زیر ما تعاریف و نکات برگرفته از بخش [3] Bezdek را ارائه می
دهیم .
تعریف 2.1 :
X را به عنوان یک مجموعۀ کلی در نظر می گیریم . مجموعه ی فازی بر روی x نامیده می شود هرگاه که A به صورت زوج مرتب زیر در نظر گرفته شود :
که تابع عضویت از x بر روی است .
ملاحظۀ 2.1 : تابع عضویت مربوط به مرتبۀ عضویت المان ها (اعضای) x در مجموعۀ فازی را مشخص می کند . (در حقیقت ، مرتبه ای که x به وابسته می شود را نشان می دهد . )
تعریف 2.2 : مجموعۀ سطح – برای به صورت مجموعۀ زیر است :
که است . باندهای بالا و پایین برای هر مجموعۀ Level – با اعداد متناهی و نمایش داده می شوند .
تعریف 2.3 : support (حمایت) مجموعۀ فازی ، مجموعه ای از اعضای x است به طوری که مثبت باشد .
تعریف 2.4 : مجموعۀ فازی محدب است اگر :
تعریف 2.5 : مجموعۀ فازی محدب روی R یک عدد فازی است اگر شرایط زیر برقرار باشد :
a ) اگر تابع عضویت تکه ای متناوب باشد .
b ) 3 بازه ی [c ,d] , [b ,c] , [a ,b] وجود داشته باشد به طوری که در بازه ی [a ,b] افزایشی باشد . در بازۀ [b ,c] برابر با 1 باشد و دربازۀ [c ,d] کاهشی باشد و در بقیۀ جاها 0 باشد .
ملاحظۀ 2.2 : در تعریف بالا ، ما بازۀ [b ,c] را مجموعۀ متوسط روی اعضای فازی می نامیم .
تعریف 2.6 : را به عنوان عدد فازی ذوزنقه ای در نظر بگیرید که support برای هستند . مجموعۀ فازی متوسطش است . (شکل 1 را ببینید) .
ملاحظۀ 2.3 : مجموعۀ همۀ اعداد فازی ذوزنقه ای را با در نظر می گیریم . در جایی که باشد میتوانیم یک عدد فازی ذوزنقه ای را به دست آوریم و آن را با نشان دهیم . شکل 2 را ببینید .
ما سپس محاسبه روی اعداد فازی را تعریف می کنیم . و را به عنوان 2 عدد فازی در نظر می گیریم . تعریف می کنیم :
3- تابع Ranking (رتبه بندی)
چندین روش برای حل مسائل برنامه ریزی خطی فازی را می توان در [5] fang و [10] lai , Hwang و [12] Maleki ، [15] shoacheng ، [17] Tanaka , Ichihashi دید . یکی از مناسب ترین این روش ها براساس مفهوم مقایسۀ اعداد فازی با استفاده از تابع Ranking است . [11 و 8] . در حقیقت یک روش موثر برای دسته بندی کران اعضای J(R) ، مشخص کردن تابع Ranking ، R است :
که هر عدد فازی را به یک خط فازی می نگارد در جایی که یک نظم ذاتی وجود داشته باشد .
ما دستورات روی را به این صورت مشخص می کنیم :
که در هستند . همچنین می نویسیم :
قضیۀ زیر الآن ضروری است . پس :
ما توجهمان را به توابع Ranking خطی محدود می کنیم که یک تابع Ranking ، R به صورت زیر است :
برای هر که متعلق به باشد و برای هر
در اینجا ما یک تابع Ranking (رتبه بندی) خطی را که مشابه با تابع Ranking ارائه شده توسط [11] Maleki است را معرفی می کنیم . برای عدد فازی ذوزنقه ای ما تابع Ranking را به صورت زیر به کار می بریم :
که نتیجه می دهد :
پس برای اعداد فازی ذوزنقه ای داریم :
4- مسائل برنامه ریزی خطی عدد فازی :
(محققان) نویسندگانی که توابع Ranking (رتبه بندی) را برای مقایسۀ اعداد فازی به کار می برند معمولاً یک مدل را معرفی می کنند که با مسائل برنامه ریزی خطی عدد فازی معادل می شود و سپس جواب بهینه این مدل را به عنوان جواب بهینۀ مسئلۀ برنامه ریزی خطی فازی به کار می برند . اکنون ما مسئلۀ برنامه ریزی خطی عدد فازی را با مدل متناظر آن مشخص می کنیم .
4.1 : فرمولی کردن مسئله برنامه ریزی خطی عدد فازی :
تعریف 4.1 : یک مسئله برنامه ریزی خطی عدد فازی (FNLPP) به صورت زیر مشخص می شود :
(4.1)
که مساوی و نامساوی با توجه به تابع Ranking ، R معنی می دهند (هستند) .
تعریف 4.2 : برای هر x که مجموعه ای از شرایط FNLPP را ارضا کند یک حل (ممکن) عملی وجود دارد ، Q را به عنوان مجموعۀ نقاط ممکن (عملی) در نظر بگیرید . را یک نقطۀ عملی بهینه برای FNLPP در نظر می گیریم اگر برای همۀ داشته باشیم :
تعریف 4.3 : می گوییم که عدد حقیقی a با عدد فازی مطابق است (با توجه به تابع Ranking (رتبه بندی) R داده شده) اگر باشد . قضیه ای که در ادامه آمده نشان می دهد که هر FNLPP می تواند به یک مسئلۀ برنامه ریزی خطی منجر شود ( [11] Maleki و [12] Maleki را ببینید ).
قضیه ی 4.1 : مسئلۀ برنامه ریزی خطی (LLP) که در ادامه آمده است با FNLPP که در 4.1 آمده است معادل است .
که به ترتیب اعداد حقیقی متناظر با اعداد فازی با توجه به تابع Ranking خطی R هستند .
ملاحظۀ 4.1 : قضیۀ بالا نشان می دهد که مجموعۀ همۀ جواب های ممکن (عملی) برای FNLPP و LPP یکسان هستند . همچنین اگر یک جواب عملی بهینه برای FNLPP باشد پس یک جواب عملی بهینه برای CLP است.
استنباط 4.1 : اگر LLP یک جواب بهینه نداشته باشد FNLPP هم حل (جواب) بهینه ندارد .
برای توضیح قضیۀ 4.1 مثالی را که توسط [11] Maleki به کار برده شده است را در نظر می گیریم .
مثال 4.1 : FNLPP زیر را در نظر می گیریم :
که یک عدد فازی ذوزه نقه ای است .
ما تابع (3و6) Ranking را برای حل مسئلۀ FNNLP بالا به کار می بریم . این مسئله تبدیل می شود به :
مسئله برنامه ریزی خطی بالا را به صورت استاندارد می نویسیم :
که متغیرهای جدید متغیرهای کمکی نامیده می شوند .
جواب بهینه به 3 مقدار دسیمال (دهدهی)
گرد می شود.
4.2 : حل (جواب) عملی (ممکن) اصلی
مسئلۀ FNLPP زیر را در نظر بگیرید : (4.3)
که پارامپرهای مسئله مانند آنچه در (4.1) معرفی شده است هستند .
در نظر بگیرید . فرض کنید rank(A)=m . A را جزء بندی می کنیم به صورت [Bn] که B ، و غیر منفرد است . این مشخص است که rank(B)=m و در حالی که ماتریس فازی در متناظر با B است . را به عنوان حلی برای در نظر بگیرید این واضح است که حل اصلی یک حل برای است در جایی که باشد اگر باشد حل اصلی عملی است و مقدار فازی متناظر برابر است با . حالا متناظر با هر متغیر غیر اصلی و و داریم :
قضیۀ بعدی جواب های بهینه را دسته بندی می کند نتایج به مسائل اصطلاحاً غیر تبهگن مربوط می شود که همۀ متغیرهای اصلی برای هر B پایه ، غیر صفر هستند (وهمچنین مثبت) .
قضیۀ 4.2 : فرض کنید که FNLPP غیر تبهگن است . یک حل عملی اصلی برای (4.5) بهینه است اگر و فقط اگر برای همۀ باشد .
اثبات : بخش (if) (اگر) در [12] نشان داده شده و ثابت شده است و ما در اینجا بخش (only if) فقط اگر را ثابت می کنیم . فرض کنید که یک حل عملی بهینه برای (4.5) است که متناظر با یک حل بهینه B اصلی است . مقدار بهینۀ متناظر هست :
(4.6)
حالا از آنجایی که x عملی است ما داریم و
(4.7)
در اینجا ما می توانیم (4.7) را به صورت زیر بازنویسی کنیم :
(4.8)
با جانشین کردن (4.8) در (4.6) ما به دست می آوریم :
بنابراین : (4.9)
حالا از (4.9) این مشخص می شود که اگر برای هر متغیر غیر اصلی داشتیم ، پس می توانیم را به پایه وارد کنیم و به دست آوریم (زیرا مسئله غیر تبهگن است و در پایه جدید است ) .
این با بهینه شدن متناقض است و بنابراین ما باید داشته باشیم : .
5- دوگانی در برنامه ریزی خطی عدد فازی :
مشابه قضیۀ دوگانی در برنامه ریزی خطی (برای مثال [1] Bazaraa را ببینید) برای هر FNLPP یک مسئلۀ معادل وجود دارد که بعضی ویژگی های اصلی را ارضا می کند . که ما معادل FNLPP را DFNLPP می نامیم .
5.1 : فرمولی کردن مسئلۀ دوگان :
برای هر FNLPP
(5.1)
مسئلۀ برنامه ریزی خطی عدد فازی (DFNLPP) را به صورت زیر تعریف می کنیم :
(5.2)
توجه کنید که دقیقاً یک متغیر دوگان (در حالت ) برای هر شرط FNLPP در حالت وجود دارد و دقیقاً یک شرط دوگان (در حالت ) برای هر متغیر در حالت برای FNLPP وجود دارد .
مثال 5.1 :
مسئلۀ FNLPP داده شده در مثال 4.1 را در نظر بگیرید . دوگان این مسئله به صورت زیر آمده است :
حالا اگر ما تابع Ranking (رتبه بندی) (3.6) را به کار ببریم ما داریم :
که حل بهینه به مقادیر دسیمال (دهدهی)
گرد می شود. به به کار بردن تابع Ranking (3.6) ما می توانیم به دست آوریم : . همچنین از مثال 4.1 ما داریم
ملاحظۀ 5.1 :
این مهم است که توجه کنیم که FNLPP حل های بهینۀ دیگری هم دارد اما مقدار تابع Ranking برای مقدار فازی تابع مورد نظر متناظر با همۀ جواب های بهینه واحد (برابر) است .
5.2 : روابط بین FNLPP و DFNLPP :
ما باید در اینجا روابط بین مسئلۀ برنامه ریزی خطی عدد فازی و دوگان متناظرش بحث کنیم .
قضیۀ 5.1 : دوگان DFNLPP و FNLPP است .
اثبات : قضیۀ 3.1 و تعریف DFNLPP را به کار می بریم .
ملاحظۀ 5.2 :
قضیۀ 5.1 : نشان می دهد که نتایج دوگانی برای هر مسئلۀ اولیه و دوگانی فرض شده به عنوان مسئلۀ اصلی می تواند به کار برده شود .
قضیۀ 5.1 : (ویژگی دوگانی ضعیف)
اگر جواب های ممکن برای FNLPP و DFNLPP باشند (به ترتیب) پس : .
اثبات : را در سمت چپ با ضرب می کنیم و را در سمت راست با ضرب می کنیم . ما داریم :
