مقاله در مورد مکانیک و ارتباط آن با معادلات دیفرانسیل

بخشی از مقاله

مکانیک و ارتباط آن با معادلات دیفرانسیل

مکانیک شاره ها و معادلات دیفرانسیل
مکانیک شاره‌ها یا مکانیک سیالات یکی از شاخه‌های وسیع در مکانیک محیط‌های پیوسته درا تشکیل می‌دهد. مکانیک سیالات هم با همان اصول مربوط به مکانیک جامدات آغاز می‌شود، ولی آن‌چه که سر‌انجام آن دو را از هم متمایز می‌سازد، این است که سیالات بر خلاف جامدات قادر به تحمل تنش برشی نیست. با دانستن این مسئله معادله‌هایی برای تحلیل حرکت سیالات طرح‌ریزی شده است. این معادلات به احترام ناویه و استوکس دو ریاضی‌دان بریتانیایی و فرانسوی به نام معادلات ناویه-استوکس نامیده می شوند.

معادلات حاکم
معادلات اساسی حاکم بر دینامیک سیالات عبارت‌اند از معادله بقا جرم و بقا مومنتم (یا همان معادلات ناویه-استوکس) می باشند.
حل معادلات مکانیک سیالات
با وجود ابداع معادلات حاکم بر دینامیک سیالات که تاریخچهٔ آن به بیش از ۱۵۰ سال می‌رسد، غیر از چند مورد خاص (همانند جریان بر روی صفحه تخت و جریان درون لوله‌ها در حالت آرام) حل تحلیلی برای این معادلات یافت نشده‌است. به جز چند حالت خاص اساسی مکانیک سیالات، بقیهٔ حل‌ها به صورت تجربی استخراج و استفاده می‌شود.
روش دیگر برای حل معادلات استفاده از روش دینامیک محاسباتی سیالات می‌باشد.
دینامیک محاسباتی سیّالات یا سی‌اِف‌دی ((Computational fluid dynamics (CFD) یکی از بزرگ‌ترین زمینه‌هایی‌ست که مکانیک قدیم را به علوم رایانه و توانمندی‌های نوین محاسباتی آن در نیمهٔ دوّم قرن بیستم و در سدهٔ جدید میلادی وصل می‌کند.

تاریخچه
سرگذشت پیدایش و گسترش دینامیک محاسباتی سیّالات را نمی‌توان جدای از تاریخ اختراع، رواج، و تکامل کامپیوتر‌های ارقامی نقل کرد. تا حدود انتهای جنگ جهانی دوٌم، بیشتر شیوه‌های مربوط به حلّ مسائل دینامیک سیالات از طبیعتی تحلیلی یا تجربی برخوردار بود. همچون تمامی نوآوری‌های برجستهٔ علمی، در این مورد هم اشاره به زمان دقیق آغاز دینامیک محاسباتی سیّالات نامیسر است. در اغلب موارد، نخستین کار بااهمیت در این رشته را به ریچاردسون نسبت می‌دهند، که در سال ۱۹۱۰ (میلادی) محاسبات مربوط به نحوهٔ پخش تنش (stress distribution) در یک سد ساخته‌شده از مصالح بنّایی را به انجام رسانید.

در این کار ریچاردسون از روشی تازه موسوم به رهاسازی (relaxation) برای حلّ معادلهٔ لاپلاس استفاده نمود. او در این شیوهٔ حلّ عددی، داده‌های فراهم‌آمده از مرحلهٔ پیشین تکرار (iteration) را برای تازه‌سازی تمامی مقادیر مجهول در گام جدید به کار می‌گرفت.
توضیحات
در این روش با تبدیل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای حاکم بر سیالات به معادلات جبری امکان حل عددی این معادلات فراهم می‌شود. با تقسیم ناحیه مورد نظر برای تحلیل به المان‌های کوچک‌تر و اعمال شرایط مرزی برای گره‌های مرزی با اعمال تقریب‌هایی یک دستگاه معادلات خطی بدست می‌آید که با حل این دستگاه معادلات جبری، میدان سرعت، فشار و دما در ناحیة مورد نظر بدست می‌آید. با استفاده از نتایج بدست آمده از حل معادلات می‌توان برآیند نیروهای وارد بر سطوح، ضرایب برا و پسا و ضریب انتقال حرارت را محاسبه نمود.
در دینامیک محاسباتی سیّالات از روشها و الگوریتمهای مختلفی جهت رسیدن به جواب بهره میبرند، ولی در تمامی موارد، دامنه مساله را به تعداد زیادی اجزاء کوچک تقسیم می کنند و برای هر یک از این اجزاء مساله را حل میکنند. پس از رسم یک ۱۰۰ ضلعی منتظم مشاهده خواهیم نمود که شکل حاصل مشابه دایره است. با افزایش تعداد اضلاع این شباهت بیشتر خواهد شد. در حقیقت این پدیده در مبحث سی‌اِف‌دی نیز مفهوم خواهد داشت.
روش‌های عددی مورد استفاده در سی‌اِف‌دی
• روش المان‌های محدود
• روش احجام محدود

• روش تفاضلات محدود
• روش‌های طیفی
در میان این روش‌ها روش احجام محدود دارای کاربرد بیشتری به خصوص در مدل سازی جریان های تراکم ناپذیر می باشد. بیشتر نرم افزار های تجاری در زمینه دینامیک محاسباتی سیّالات نیز بر مبنای این روش بسط و توسعه یافته اند.
کاربرد‌ها
اکنون روش دینامیک محاسباتی سیالات جای خود را در میان روش‌های آزمایشگاهی و تحلیلی برای تحلیل مسائل سیالات و انتقال حرارت باز کرده‌است و استفاده از این روش‌ها برای انجام تحلیل‌های مهندسی امری عادی شده‌است.
دینامیک محاسباتی سیالات بصورت گسترده در زمینه‌های مختلف صنعتی مرتبط با سیالات، انتقال حرارت و انتقال مواد به کمک سیال بکار گرفته می‌شود. از جمله این موارد می‌توان به صنایع خودروسازی، صنایع هوافضا، توربوماشین‌ها، صنایع هسته‌ای، صنایع نظامی، صنایع نفت و گاز و انرژی و بسیاری موارد گسترده صنعتی دیگر اشاره نمود که دانش دینامیک محاسباتی سیالات به عنوان گره گشای مسائل صنعتی مرتبط تبدیل شده است.

اطلاعات اولیه
کاربرد مستقیم قوانین حرکت نیوتن برای حرکت سیستم‌های ساده راحت و آسان است. اما در صورتی که تعداد ذرات سیستم بیشتر شود، در این صورت استفاده از قوانین نیوتن کار دشواری خواهد بود. در این حالت از یک روش عمومی ، پیچیده و بسیار دقیق که به همت ریاضیدان فرانسوی ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده است، استفاده می‌شود. به این ترتیب می‌توان معادلات حرکت برای تمام سیستمهای دینامیکی را پیدا کرد. این روش چون نسبت به معادلات نیوتن حالت کلی تری دارد، لذا در مورد حالتهای ساده که با معادلات حرکت نیوتن به راحتی حل می‌شود، نیز قابل اعمال است.
مختصات تعمیم یافته
موقعیت یک ذره در فضا را می‌توان با سه سیستم مختصات مشخص کرد. این سیستمها عبارتند از سیستمهای کارتزین ، کروی و استوانه‌ای ، یا در حقیقت هر سه پارامتر مناسب دیگری که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در یک صفحه یا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه برای مشخص کردن موقغیت ذره نیاز است، در حالیکه اگر ذره روی یک خط مستقیم یا یک منحنی ثابت حرکت کند، ذکر یک مختصه کافی خواهد بود. اما در مورد یک سیستم متشکل از N ذره ، برای تشخیص کامل موقعیت همزمان تمام ذرات به 3N مختصه نیاز خواهیم داشت.
اگر محدودیتهای بر سیستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم برای مشخص کردن پیکربندی کمتر از 3N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سیستم مورد نظر یک جسم صلب باشد، برای مشخص کردن پیکربندی آن فقط به موقعیت مکانی یک نقطه مرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت یابی آن نقطه در فضا احتیاج داریم. بنابراین در حالت کلی برای مشخص کردن پیکربندی یک سیستم خاص ، احتیاج به تعداد حداقل معین n مختصه نیاز است. این مختصات را مختصات تعمیم یافته می‌گویند.

نیروی تعمیم یافته
در سیستم مختصات تعمیم یافته ، به جای نیروهایی که در مکانیک کلاسیک نیوتنی معمول است، مرتبط با هر مختصه نیرویی تعریف می‌شود که به نام نیروی تعمیم یافته معروف است. این کمیت که با استفاده از تعریف کار محاسبه می‌شود، به این صورت است که حاصل ضرب آن در مختصه تعمیم یافته دارای ابعاد کار است. بنابراین اگر مختصه تعمیم یافته دارای بعد فاصله باشد در این صورت این کمیت از جنس نیرو خواهد بود. در صورتیکه مختصه تعمیم یافته از نوع زاویه باشد، در این صورت این کمیت دارای بعد گشتاور خواهد بود. یعنی متناسب با نوع مختصه تصمیم یافته می‌تواند از جنس نیرو و یا گشتاور نیرو باشد.

معادلات لاگرانژ
برای بررسی حرکت یک سیستم در مکانیک لاگرانژی انرژی جبنشی و انرژی پتانسیل سیستم را تعیین می‌کنند. این کار به این صورت می‌گیرد که در مکانیک لاگرانژین در مورد هر سیستم دو کمیت جدید به نام‌های لاگرانژین و هامیلتونین تعریف می‌شود. لاگرانژین برابر تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی است. در صورتی که هامیلتون برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. در واقع می‌توان گفت که کار اصلی تعیین و محا

سبه صحیح انرژی جنبشی و پتانسیل است.
سپس این مقادیر در معادله‌ای که به معادله لاگرانژ حرکت معروف است قرار داده می‌شود. معادله لاگرانژ ، معادله‌ای است که بر حسب مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به مختصات تعمیم یافته و نیز مشتق زمانی مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به سرعتهای تعمیم یافته نوشته شده است. به عبارت دیگر اگر تابع لاگرانژی را با L نشان دهیم و مختصات تعمیم یافته را با qk و سرعت‌های تعمیم یافته را با qk (که نقطه بیانگر مشتق زمانی مختصه تعمیم یافته qk است) نشان دهیم، معادلات لاگرانژ به صورت زیر خواهد بود:
در صورتی که نیروهای موجود در سیستم همگی پایستار نباشند، به عنوان مثال یک نیروی غیر پایستار مانند اصطکاک وجود داشته باشد در این صورت در طرف دوم معادلات لاگرانژ عبارت Qk که بیانگر نیروی تعمیم یافته غیر پایستار است، نیز اضافه می‌شود.

معادلات لاگرانژ برای تمام مختصات یکسان هستند. این معادلات ، روش یک نواختی برای بدست آوردن معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در انواع سیستم‌های ارائه خواهند داد.
اصل تغییرات هامیلتون
روش دیگر برای استنتاج معادلات لاگرانژ اصل تغییرات هامیلتونی است. در این حالت همانگونه که قبلا نیز اشاره شد در مورد هر سیستم کمیتی به نام تابع هامیلتونی تعریف می‌شود که برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. این اصل در سال 1834 توسط ریاضیدان اپرلندی ویلیام .ر. هامیلتون ارائه شد.
در این روش فرض می‌شود که یک تابع پتانسیل وجود دارد، یعنی سیستم تحت بررسی یک سیستم پایاست. ولی اگر تعدادی از نیروها نیز غیر پایستار باشد مانند مورد معادلات لاگرانژ می‌توان سهم این نیرو ها را نیز بطور جداگانه منظور کرد. یعنی در این حالت تابع هامیلتون برابر با مجموع انرژی جنبشی و کار انجام شده توسط تمام نیروها اعم

از نیروهای پایستار و غیر پایستار است.
معادلات هامیلتون
معدلات هامیلتون از 2n معادله دیفرانسیل درجه اول تشکیل شده است. این معادلات بر حسب اندازه حرکت تعمیم یافته و مشتقات آن نوشته می‌شود. اندازه حرکت تعمیم یافته به صورت مشتقات تابع لاگرانژی نسبیت به سرعت تعمیم یافته تعریف می‌شود. بنابراین این معادلات زیر خواهند بود.

در عبارت فوق qk بیانگر سرعت تعمیم یافته است و علامت نقطه در بالای Pk (اندازه حرکت تعمیم یافته) بیانگر مشتق زمانی است. اگر معادلات هامیلتون را با معادلات لاگرانژی مقیسه کنیم ملاحظه می‌شود که تعداد اولین معادلات زیاد است. یعنی اگر سیستم V با N مختصه یافته مشخص شود، در این صورت معادلات هامیلتون شامل 2n معادله دیفرانسیل درجه اول هستند، در صورتیکه معادلات لاگرانژ از n معادله درجه دوم تشکیل شده است. بنابراین کار کردن با معادلات هامیلتون راحتتر است. معمولا در مکانیک کوانتومی‌ و مکانیک کاری از معادلات هامیلتون استفاده می‌شود.

تعریف
دایره ، سهمی ، بیضی و هذلولی هستند که معادله‌شان حالت‌های خاصی از معادله درجه دوم زیر است:

بطور مثال دایره:

-

از معادله درجه دوم فوق بدست آورد. در واقع خط راست هم حالت خاصی از معادله درجه دوم است هرگاه ولی این شرایط معادله درجه دوم را به یک معادله خطی بجای معادله درجه دوم بدل می‌کنند جملات جملات درجه دوم می‌باشند و در حال حاضر رابطه ذکر شده در تعریف را وقتی که لااقل یکی از این جملات درجه وجود داشته باشند بررسی خواهیم کرد.
تاریخچه
معادلات درجه دوم و اشکال آنها موارد مورد بحث در هندسه تحلیلی سه بعدی هستند. هندسه تحلیلی سه بعدی را ریاضیدانان قرن هفدهم میلادی از قبیل فرما ، دکارت و لاهید ابداع کردند. ولی دستگاه مختصاتی را که ما امروز به کار می‌بریم ، یوهان برنولی در فاصله‌ای به لایب نیتس در 1715 صورتبندی کرد. در قرن هجدهم ، آلکسی کلرو (1713-1765) و لئونهارت اویلر (1707-1783) برجسته ترین ریاضی‌دانانی بودند که هندسه سه‌بعدی را گسترش دادند.

بخصوص کلرو معلوم ساخت که یک رویه را می‌توان با معادله‌ای بر حسب سه مختصش نشان داد و برای توصیف خمی در فضا ، دو تا از این گونه معادله‌ها لازم است. او ایده‌هایش را در کتاب "تحقیق درباره خم‌های با خمیدگی مضاعف" در 1731 مطرح کرد وی در این کتاب معادلات چندین رویه درجه دوم از قبیل کره – استوانه – هذلولیوار و بیضی‌وار را آورد. توجه او در نهایت معطوف به شکل زمین بود که فکر می کرد نوعی بیضیوار باشد. گاسپار موثر هندسه‌دان پیشرو قرن هجدهم زیرا مطالب زیادی درباره هندسه تحلیلی سه بعدی نوشت.
ساختمان
جمله مخلوط را می‌توان با دوران محورها حذف نمود بی آنکه از کلیت مطلب کاسته شود، بنابراین با تبدیل معادله ذکر شده در بخش تعریف به معادله زیر خواهیم داشت:

در این صورت معادله فوق:

1. یک خط راست است هرگاه یا یکی از آنها صفر نباشد.
2. یک دایره است هرگاه ، در حالات خاص ممکن است که به یک نقطه تبدیل شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیاورد.
3. یک سهمی است هرگاه نسبت به یکی از متغیرها خطی و نسبت به دیگری از درجه دوم باشد.
4. یک بیضی است و هرگاه هر دو مثبت و یا هر دو منفی باشند در حالت خاص ممکن است که بیضی تبدیل به یک نقطه شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیارود.
5. یک هذلولی است هرگاه غیر از صفر و مختلف‌العلامات باشند. در حالات خاص ، مثلا ممکن است که مکان به دو خط متقاطع تبدیل شوند.
برای شناختن منحنی ای که معادله‌اش داده شده است:

1. محورها را (در صورت لزوم) دوران دهید تا درجه ناحیه مخلوط حذف شود.
2. محورها را (در صورت لزوم) انتقال دهید تا معادله به شکلی در آید که قابل تشخیص باشد.
گاهی اوقات مفید است که محکی که مشخص می‌کند که آیا یک معادله درجه دوم سهمی یا بیضی یا هذلولی است مستقیما در مورد معادله بکار برده شود بی‌آنکه لازم باشد که آن را بوسیله دوران محورها بصورتی فاقد جمله در آوریم.

با توجه به مطالب بالا اگر محورها را به اندازه زاویه‌ای چون که از رابطه بدست می‌آید دوران دهیم معادله را به شکل معادل زیر تبدیل می‌کند:

که در آن ضرایب جدید هستند که به ضرایب قدیم مربوط‌اند. هر گاه α از رابطه گفته شده انتخاب کنیم در اینصورت حال اگر معادله منحنی مطابق با ضرایب جدیدی اما فاقد جمله باشد آن منحنی:

1. سهمی است هرگاه یا (اما هر دو) صفر باشد و هر دو در معادله وجود داشته باشند.
2. بیضی است (یا در حالات استثنایی ، یک نقطه ، یا تهی است) هرگاه هم‌علامت باشند.
3. هذلولی است (یا در حالات استثنایی یک جفت خط متقاطع است) هرگاه هم‌علامت نباشند.

ولی می‌توان دید که ، برای هر دوران دلخواهی از محورها رابطه زیر بین A ، B ، C و برقرار است:

یعنی مقدار تحت هر دورانی از محورها بدون تغییر باقی می‌ماند. اما وقتی که دوران خاصی را که را صفر کند انجام دهیم طرف راست معادله فوق به شکل ساده تبدیل می‌گردد. حالا می‌توانیم محک لازم را بر حسب مبین معادله یعنی:

مبین

بیان کنیم. می‌توان گفت که منحنی:

1. سهمی (یا در حالات استثنایی یک جفت متوازی ، یا یک خط یا یک مکان تهی) است هرگاه:
2. بیضی است (یا در حالات خاص یک نقطه ، یا تهی) هرگاه:
3. هذلولی است ( یا در حالات خاص یک جفت خط متقاطع است) هرگاه:
• باید توجه کرد که اگر در معادله اصلی هیچ جمله درجه اولی وجود نداشته باشد، در معادله جدید هم وجود نخواهد داشت. این مطلب از این حقیقت ناشی می‌شود که دوران محورها درجه هر جمله از معادله را حفظ می‌کند.
معادله دیفرانسیل و مکانیک

معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم حرکت نیوتن به دست می آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می شوند. در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک کامپیوترهای سریع و پیشرفته استفاده می کنند. همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه سخت افزار و نرم افزار کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست.
معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد.

رده بندی معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند
• نوع (عادی یا جزئی)
• مرتبه (که عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛
• درجه (نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش).
وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند.

کاربردها

یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود.
البته مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر حرکت پرتابه ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند:

در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است:

مثالی از رشته سینتیک شیمیایی واکنش دهنده ای چون Aاست که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبدیل می شود.اگرx، y ،z مقادیرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات دیفرانسیلی که این فرایند را توصیف میکنند عبارتند از:

واکنش دهندهA باآهنگهایی متناسب با مقدار
موجود A ،فراورده هایBو C را تولید میکند

جواب معادله

تابعی چون راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه
در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر و مقادیر ثابتی باشند،آنگاه

جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است:

مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند.
جلسه دوم
مدلسازي به روش تحليلي
مدلسازي سيستم هاي بيو لوژيکي

تعريف سيستمهاي آنالوگ

مراحل مدلسازي تحليلي

مدلسازي سيستمهاي آنالوگ

بررسي عوامل غير خطي در مدلسازي

سيستمهاي فشرده و گسترده

تعريف سيستمهاي آنالوگ
• سيستمهاي آنالوگ يا مشابه، به سيستمهاي ديناميكي گفته ميشود كه از نظر فيزيكي متفاوت بوده ليكن روابط حاكم بر سيستم و نيز ارتباطات اجزاء آن مشابه باشند.
•
• از نظر فيزيك عملكرد ميتوان عضله و ترانزيستور را كه هر دو بنحوي در تقويت سيگنال مشاركت دارند را مقايسه نمود.

مراحل مدلسازي تحليلي:

• تعيين ورودي (ها) – خروجي (ها):

براي مثال در مدلسازي عضله ورودي (ها) ميتواند سيگنالهاي الكتريكي ناشي از نرونهاي حركتي γ يا α و خروجي طول يا نيروي عضله باشد.
• تعيين متغيرهاي اصلي وثانويه:

الف) متغير عبوري(Through Variable )
اين متغيير خود بتنهايي مفهوم فيزيكي داشته ونياز به مرجع مقايسه ندارد مانند جريان الكتريكي كه از يك سيم عبور ميكند يا جريان خوني كه در رگها جاري است.

ب) متغير عرضي ( Cross Variable )
متغييري است كه احتياج به يك مرجع مقايسه نياز دارد و عموما اختلاف آن در دو سرالمان اهميت داشته و اندازه گيري ميشود مانند اختلاف پتانسيل (ولتاژ) در مدارهاي الكتريكي و يا اختلاف فشار خون در قلب يا عروق.
متغير هاي ثانويه
وابسته هستند به پارامترهاي فيزيكي ماده يا المان كه از آنها عموماً بعنوان امپدانس ياد ميشود. كميتهاي فيزيكي هستند كه بصورتهاي مختلف با تغيير وضيعت ( مثلا عبورجريان الكتريكي ، يا تغيير موقعيت يك عضو بدن ، ..) مخالفت مي نمايند.
مانند مقاومت اهمي، سلف، خازن (R,L,C) در مدارهاي الكتريكي؛ و دمپر، فنر و جرم در سيستمهاي مكانيكي ( B,K,M)

نوشتن روابط رياضي و ديناميكي سيستم:

در اين مرحله روابط متغيير هاي اصلي با متغييرهاي ثانويه را براي اجزاء مختلف سيستم مي نويسيم. براي مثال روابط بين ولتاژ و جريان (متغييرهاي اصلي) براي المانها الكتريكي مقاومت،خازن وسلف بقرار زير است:
در ادامه روابط حاكم بر سيستم نوشته ميشود.
حاصل نوشتن روابط رياضي براي اجزاء سيستم ديناميكي و قوانين حاكم برسيستم مجموعه اي است از معادلات ديفرانسيل. علاقه ما معمولا در اين مجموعه به رابطه ورودي – خروجي است. درجه معادلات ديفرانسيل به تعداد المانها مستقل ذخيره كننده انرژي بر ميگردد.
به عنوان مثال براي سيستم درجه دوم مكانيكي ميتوان با استفاده از قانون دوم نيوتن و روابط امپدانسهاي مكانيكي معادله ديفرانسيل سيستم را بصورت زير نوشت:

اگر اجزاء غير خطي در سيستم وجود داشته باشند، سعي ميشود در محدوده قابل قبولي (حول نقطه كار) آنها را خطي كرد. اساساً ميتوان تصور كرد كه تمام قطعات و
المانها يك سيستم غير خطي هستند و تفاوت بين اين المانها در محدوده خطي بودن
آنهاست.
براي خطي سازي معادلات ديناميكي يك سيستم ميتوان از بسط تيلور بصورت زير
استفاده كرد.

• اگر x − xo = Δxكوچك باشد:
اگر تابعي از چند متغير داشته باشيم:
رابطه رياضي غير خطي براي وروديها و خروجي هاي ترانزيستور بصورت زير است:مي خواهيم با استفاده از روش فوق مدار معادل خطي ترانزيستوررا بدست آوريم.

اين تبديل به ما اجازه مي دهد كه معادلات ديناميكي ديفرانسيل را به معادلات جبري تبديل نمائيم كه حل آنها بسيار راحت تر است. عموماً در محاسبه تابع تبديل ( نسبت خروجي به ورودي در حوزه لاپلاس) شرايط اوليه سيستم برابر صفر فرض مي شود. در صورتيكه شرايط اوليه مخالف صفر باشد بايد اين مقادير شرايط اوليه در هنگام انجام تبديل منظور گردد.

براي معادله ديناميكي سيستم مكانيكي تبديل لاپلاس با در نظرگرفتن شرايط اوليه بصورت زير خواهد بود:
براي مدار درجه دوم الكتريكي شكل يك مدل رياضي بنويسيد كه ورودي آن منبع جريان و خروجي آن جريان سلف باشد.

سيستمهاي آنالوگ به سيستمهائي گفته مي شود كه روابط ورفتاري مشابه دارند ليكن از نظر فيزيكي متفاوتند. اين سيستمها داراي طيف بسيار وسيعي ازسيستمهاي الكتريكي، مكانيكي (اعم از حركتي، هيدروليكي، حرارتي،..)، ترافيكي،شيميائي، مغناطيسي، ترموديناميكي تا سيستمهاي اقتصادي، اجتماعي، بيولوژيكي روانپزشكي... را شامل مي شود.
بعنوان مثال اگر يك بلند گو را به عنوان سيستم تركيبي در نظر بگيريم، اين سيستم
از اجراء (زير سيستمهاي) مغناطيسي، الكتريكي، و مكانيكي تشكيل يافته است كه با توجه به ماهيتهاي متفاوت زير سيستمها اگر از روشي مشترك (مانند روشهاي رياضي) براي تلفيق و فهم آنها استفاده نشود، تركيب كلي سيستم كار ساده اي نخواهد بود.

الف) سيستمهاي حركتي- انتقالي

ب) سيستمهاي حركتي- دوراني

ج) سيستمهاي سيالاتي-هيدروليك

د) سيستم حرارتي
متغيرهاي اصلي عبارتند از:
سرعت (عرضي)
نيرو(عبوري)
• متغيير هاي ثانويه (امپدانسهاي مكانيكي) عبارتند از:
دمپر
فنر
جرم

ميتوان درمقايسه شباهتهاي بين سيستمهاي حركتي و الكتريكي از تشابه سرعت-ولتاژ استفاده نمود يا از تشابه سرعت- جريان. در اين دو حالت مدارهاي معادل سيستم مكانيكي كه بدست مي آيد، دوال يكديگر خواهند بود

دمپر: دمپر عنصر مكانيكي است كه نيروي توليدي آن مرتبط است با سرعت.