مقاله در مورد مقدمه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی

word قابل ویرایش
36 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

مقدمه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی

یک معادله دیفرانسیل معمولی هست رابطه‌ای بین یک تابع و مشتقل های آن و متغیرهای مستقل که به آنها بستگی دارند، فرم کلی از یک معادله دیفرانسیل معمولی عبارتست از (۶٫۱) وقتی که تا مشتق مرتبه m ام تابع y موجود باشد، همچنین y و مشتقاتش تابعی از متغیر مستقل t خواهند بود، مرتبه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از مرتبه بزرگترین مشتق موجود در آن، و درجه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از درجه مشتق از مرتبه بالا که با دیگر مشتقات رابطه دارد.

اگر بین تابع متغیر y(t) با خودش و یا هر یک از مشتقاتش نتوان رابطه‌ی دقیق را بدست آورد. معادله به یک معادله خطی تبدیل می شود، فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی از مرتبه m عبارتست از (۶٫۲) که هر کدام از ها توابع شناخته شده ای هستند:
اگر معادله دیفرانسیل غیر خطی (۶٫۱) از مرتبه m را بتوان به فرم (۶٫۳) درآورد آن گاه معادله

(۶٫۳) نامیده می‌شود یک تابع اولیه از معادله دیفرانسیل (۶٫۱) . به این فرم که بالاترین مرتبه مشتق عبارتست از رابطه‌ای بین مشتقات از مرتبه پایین‌تر و متغیرهای مستقل.
«مسائل مقدار اولیه»
یک راه حل عمومی برای یک معادل دیفرانسیل عادی مانند (۶٫۱) هست یک رابطه‌ای بین y و t و m مقادیر دلخواه ثابت، که معادله را مورد قبول قرار می‌دهند در حالی که محتوی مشتقات نمی شود. این راه حل شاید یک رابطه ضمنی به فرم (۶٫۴) یا یک تابع صریح برحسب t به فرم (۶٫۵) باشد.
این m مقادیر دلخواه ثابت می تواند تعیین شود بوسیله شرایط m گانه به فرم (۶٫۶)
در ابتدا نامیده می شود شرایط اولیه؛ نقطه نامیده می شود نقطه اولیه. معادله دیفرانسیل (۶٫۱) به همراه شرایط اولیه موجود در (۶٫۶) نامیده می شود یک مسأله مقدار اولیه.
اگر این m شرایط تعیین شده باشند بوسیله بیشتر از یک نقطه که تعیین کرده‌اند m مقادیر ثابت دلخواه در راه حل عمومی (۶٫۴) در این صورت نامیده می شود شرایط مرزی (کرانی)، معادله دیفرانسیل (۶٫۱) به همراه شرایط مرزی شناخته شده است به عنوان یک مسأله مقدار مرزی.
یک معادله دیفرانسیل (۶٫۳) با شرایط اولیه (۶٫۶) شاید نوشته شود به عنوان یک سیستم معادل (هم ارز) از یک معادله دیفرانسیل مقادیر اولیه به فرم زیر:

که در نشانه گذاری (نمادسازی) برداری شده اند.

که و
بنابراین، روش های حل مسأله مقدار اولیه ابتدایی (۶٫۸) و شاید کاربرد داشته باشد در حل مسائل مقدار اولیه (۶٫ و مسأله مقدار اولیه (۶٫۳) .

مثال (۶٫۱) : تبدیل کنید مسأله مقدار اولیه مرتبه دوم زیر را به مسائل مقدار اولیه مرتبه او

ل (؟)
؛
حل. قرار می دهیم:

بنابراین: و . و
و
و
و و
و و
مثال (۶٫۲) تبدیل کنید سیستم زیر را از دو معادله مرتبه ۳ به یک سیستم با شش معادله مرتبه ۱ .
؛
؛
حل. جانشین های زیر را پدید می آوریم:

قضیه وجود و یگانگی:
وجود و یگانگی جواب مسأله مقدار اولیه (۶٫۸) بوسیله قضیه‌ی زیر تضمین می شود:
قضیه (۶٫۱) : تابع f(t,u) تحت شرایط زیر را در نظر می گیریم:
(i) f(t,u) یک تابع حقیقی است؛
(ii) برای هر و ؛ تابع f(t,u) پیوسته و تعریف شده است؛
(iii) برای هر و هر : به طوری که L ثابت لیپ شینز نامیده می شود.
در این صورت برای هر ، مسأله مقدار اولیه (۶٫۸) جواب منحصر به فرد برای را دارد.
سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول با ضرایب

 

ثابت
یک سیستم خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت به فرم زیر را در نظر می‌گیریم.
(۶٫۱۸)
به طوری که ؛ یک ماتریس مربعی ثابت بوده و b(t) یک بردار m بعدی می باشد، راه حل کلی (۶٫۱۸) می تواند به فرم زیر نوشته شود:
(۶٫۱۹)
به طوری که ماتریس A با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متناظر با آنها می باشد. تابع یک جواب خصوصی معادله (۶٫۱۸) می باشد.
معادله ماتریسی (۶٫۱۸) می تواند با به کار بردن تبدیلات مشابه ناهمبسته شود.
اگر ماتریس متناظر بردارهای ویژه باشد، قرار دهید سپس:
(۶٫۲۰)
با ضرب ماتریس معکوس بدست می آوریم:

(۶٫۲۱)
به طوری که و هست یک ماتریس قطری با عناصر روی قطر .
معادله (۶٫۲۱) یک سیستم نزولی برای جواب های بدست می‌دهد.
جواب (۶٫۲۱) به فرم زیر است:

قضیه (۶٫۲) (پایستگی). جواب دستگاه (۶٫۱۸) با b(t)=0 به صورت ثابت خوانده می شود. هر گاه اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه ماتریس A دارای بخش حقیقی منفی باشند.
مثال (۶٫۳) . جواب سیستم معادلات زیر را پیدا کنید به طوری که و .
حل. جواب این دستگاه معادلات می تواند بوسیله پیدا کردن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس A بدست آید:
معادله مشخصه A عبارتست از:

لذا مقادیر ویژه عبارتست از .
برای ، داریم:
بردار ویژه متناظر عبارتست از .
برای ، داریم:
بردار ویژه متناظر عبارتست از
از اینرو جواب سیستم عبارتست از:

پس از ترکیب، می توان جواب را به فرم زیر نوشت:

روش های عددی: (Numerical Methods)
پیش از مبادرت به حل یک مسأله مقدار اولیه می خواهیم بدانیم آیا جوابی وجود دارد و اگر چنین است، جواب منحصر به فرد است، به علاوه مایلیم بدانیم آیا تغییرات کوچکی در صورت مسأله موجب تغییرات کوچکی در جواب می شوند، برای بحث در این مسائل به چند تعریف و نتایجی از نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی نیاز داریم.
تعریف (۱) : گوییم تابع f (t,y) با متغیر y بر مجموعه در شرط لیپ بیشتر صدق می کند در صورتیکه یک ثابت مانند با این خاصیت موجود باشد که هر وقت آن گاه:

ثابت یک ثابت لیپ بیشتر برای t گوییم.
تعریف (۲) : گوییم مجموعه محدب است اگر هر وقت و متعلق به D باشند، نقطه نیز به ازای هر ، متعلق به D باشد.
قضیه (۱) : فرض کنیم f(t,y) بر یک مجموعه محدب تعریف شده باشد، اگر ثابتی چون موجود باشد که به ازای هر ، آن گاه f نسبت به متغیر y بر D در شرط لیپ شیتز با ثابت L صدق می کند.
قضیه (۲) : فرض کنیم و f(t,y) بر D پیوسته باشد. هرگاه f نسبت به متغیر y بر D در شرط لیپ شیتز صدق کند آن گاه مسئله مقدار اولیه ؛ ؛ دارای جواب منحصر به فرد y(t) ، به ازای ، است.
تعریف (۳) : گوییم مسأله مقدار اولیه ؛ ؛ یک مسأله خوش وضع است اگر:
الف: یک جواب منحصر به فرد، مثلاً y(t) ، برای این مسأله موجود باشد؛
ب: عددی مانند با این خاصیت باشد که جواب منحصر به فرد z(t) برای مسأله
؛ ؛
هرگاه و به ازای هر ، موجود باشد.
ج: ثابتی مانند k>0 با این خاصیت باشد که:

 

قضیه (۳) : فرض کنیم ، مسأله مقدار اولیه ؛ ؛
خوض وضع است اگر f پیوسته و نسبت به متغیر y بر مجموعه D در شرط لیپ شینز صدق کند.
روش اویلر (Euler Method)
هدف این روش تعیین تقریبی برای مسأله مقدار اولیه خوش وضع
(۱) ؛ ؛
است، در عمل یک تقریب پیوسته به جواب y(t) بدست نمی

آید؛ در عوض، تقریب هایی به y در نقاط متعدد بازه [a,b] ، به نام نقاط شبکه ای، پدید می‌آیند. وقتی جواب تقریبی در این نقاط بدست آمد، جواب تقریبی در سایر نقاط بازه با استفاده از درون یابی حاصل می شود.
توزیع نقاط شبکه ای در طول بازه [a,b] به طور یکسان خواهد بود، این شرط با انتخاب عدد صحیح مثبت N و نقاط ، که در آن ؛ و .
برای رسیدن به روش اویلر، از قضیه تیلور استفاده می کنیم؛
فرض کنیم y(t) ، یعنی جواب منحصر به فرد معادله (۱) ، دو مشتق پیوسته بر [a,b] داشته باشد به طوری که به ازای هر ، می توان را به فرم
(۲)
به ازای نقطه ای مانند ، نوشت:
با استفاده از نماد ، نتیجه می شود که عدد ، ، وجود دارد به طوری که:
(۳)
و چون y(t) در معادله دیفرانسیل (۱) صدق می کند داریم:

با دوباره نویسی این معادله، به ازای هر داریم:

وقتی h به قدر کافی کوچک باشد، بنابر پیوستگی ، جمله
نیز کوچک بوده و
(۵)
در روش اویلر از این فرض با تعریف
(۶)
و فرض ، به ازای هر استفاده می شود.
مثال (۱) : با استفاده از روش اویلر با h = 0.1 مسأله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

حل. با در نظر گرفتن h=0.1 ، بازه [۰,۱] را به N = 10 زیر بازه تقسیم می‌کنیم به طوری که
داریم:

۱٫۱۳۱۴۴۱ ۰٫۶ ۱٫۰۰۰۰۰۰ ۰
۱۷۸۲۹۷ ۰٫۷ ۱٫۰۰۰۰۰۰ ۰٫۱
۱٫۲۳۰۴۶۷ ۰٫۸ ۱٫۰۱۰۰۰۰ ۰٫۲
۱٫۲۸۷۴۲۰ ۰٫۹ ۱٫۰۲۹۰۰۰ ۰٫۳
۱٫۳۴۸۶۷۸ ۱٫۰ ۱٫۵۶۱۰۰ ۰٫۴
۱٫۹۰۴۹۰ ۰٫۵

قضیه : فرض کنیم y(t) جواب منحصر به فرد مسئله مقدار اولیه

خوش وضع (۱) بوده و تقریب های تولید شده به وسیله روش اویلر باشد، هر گاه f بر در شرط لیپ شیتز با ثابت L صدق کرده و ثابت M با این خاصیت که به ازای هر و موجود باشد، آن گاه به ازای هر
(۷)
مثال (۲) : کران خطای حاصل از روش اویلر در حل تقریبی مسأله مفروض در مثال (۱) را محاسبه کنید.
حل. و داریم لذا بنابر قضیه ۳ f در شرط لیپ بیشتر با L=1 صدق می کند، از طرفی جواب دقیق معادله دیفرانسیل مذکور در مثال (۱) عبارتست از ؛ داریم:
و و با استفاده از معادله (۷) داریم:
، و .
روش های تیلور از مرتبه‌ی بالاتر
چون روش اویلر با استفاده از قضیه تیلور با n=2 برای تقریب جواب این معادله دیفرانسیل بدست می آید، اولین سعی ما تعمیم این روش به مقادیر بزرگتر n می باشد.
فرض کنیم y(t) یک جواب از مسأله مقدار اولیه
بوده و دارای (n+1) مشتق پیوسته باشد و جواب y(t) را برحسب چند جمله ای تیلور درجه n ام آن حول بسط داده، بدست می آوریم که به ازای که
(۸)
با مشتق گیری متوالی از y(t) داریم:

بهمین ترتیب

و در حالت کلی داریم

با جایگذاری نتایج فوق در معاددله (۸) داریم به ازای که،
(۹)

روش تفاضلی متناظر با معادله (۹) با صرف نظر کردن از جمله باقی مانده شامل بدست می آید و روش تیلور مرتبه n نامیده می شود.
(۱۰)
به طوری که
لذا نتیجه می گیریم که با تعریف فوق روش اویلر همان روش تیلور مرتبه اول است.
مثال (۳): با استفاده از روش های تیلور مرتبه های دو و چهار مسأله مقدار اولیه زیر را تقریب بزنید؟

حل: باید سه مشتق اول را بدست آوریم:

لذا داریم:

بنابراین روش های تیلور مرتبه دو و چهار به ترتیب عبارتست از:

با در نظر گرفتن h = 0.1 و داریم:

روش های رونگ – کوتا. (Runge-Kutta Methods)
قضیه (۵) : فرض کنیم f(t,y) و همه مشتق های جزئی آن از مرتبه تا بیشتر از (n+1) بر پیوسته باشد. همچنین و به ازای هر ، نقطه ای مانند وجود دارد با خاصیت
به طوریکه:

چند جمله ای تیلور درجه n دو متغیره برای تابع f حول نقطه و خطای برش وابسته به نامیده می شود.
اولین وسیله حصول به روش رونگ – کوتا تعیین مقادیر با اینشی موضعی روش تیلور مرتبه دو، تقریب کند.
چون

نتیجه می شود که:
(۱۱)
با بسط به چند جمله ای تیلور خود از درجه یک حول (t,y) داریم:
(۱۲)

(۱۳)
از مقایسه معادلات (۱۱) و (۱۲) داریم:

لذا داریم:
از معادله (۱۳) داریم:

اگر تمام مشتق های جزئی مرتبه دوم f کراندار باشند،
برابر یعنی مرتبه خطای برشی موضعی روش تیلور مرتبه دو، خواهد بود.
روش تفاضلی حاصل از جایگذاری در روش تیلور مرتبه دو روش خاص از رونگ – کوتا است، که به روش نقطه میانی موسوم است و به صورت زیر ارائه می شود.
روش نقطه میانی:
(۱۴)
چون فقط سه پارامتر در حضور داشته و همگی در رسیدن به مورد نیاز بودند، انتظار لزوم برقراری شکل پیچیده تری در برقراری شرایط لازم برای هر روش تیلور درجه بالاتر را باید داشت. در واقع، مناسب ترین شکل، با چهار پارامتر برای تقریب

عبارتست از:
(۱۵)
و حتی با عبارت فوق، امکان رسیدن به جمله کم است، در نتیجه بهترین روشی که می توان با استفاده از معادله (۱۵) بدست آورد روش هایی باکران خطای است اگرچه (۱۵) دارای چهار پارامتر است ولی انعطافی در انتخاب آنها وجود دارد به طوری که تعدادی از روش‌های حاصل می شوند، یکی از مهمترین این روش ها عبارتست از روش پیراسته‌ی اویلر، که متناظر با انتخاب و بوده و دارای شکل معادله تفاضلی زیر است:
(۱۶)
معمول ترین روش رونگ – کوتا در عمل از مرتبه‌ی چهار و دارای شکل تفاضلی زیر است:
به ازای هر i ،

این روش دارای خطای برشی موضعی است مشروط بر اینکه جواب y(t) دارای پنج مشتق پیوسته باشد.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 36 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد