بخشی از مقاله
چکیده:
فرآیندهای تصادفی، معادلات دیفرانسیل تصادفی و ریاضیات مالی جایگاه مهمی در تبیین رفتار سری های زمانی قیمت سهام دارند. مدل های مبتنی بر معادلات دیفرانسیل تصادفی می توانند رفتار بسیاری از متغیرهای اقتصادی را تبیین کنند به طوری که به عنوان یک مدل تولید کننده فرآیند خلق داده و پیش بینی کننده رفتار آتی متغیرها در تحقیقات تجربی و اقتصادسنجی مورد استفاده قرار گیرند. در این مقاله تغییرات قیمت یک سهام در بازار بورس تهران با هدف مدل سازی، بر اساس مدل تلاطم تصادفی هستون که شکل تغییر یافته معادله بلک - شولز می باشد، بر روی مقوله پیش بینی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. همچنین کارایی روش در مقایسه با روشهای مرسوم مانند روش میانگین متحرک در سری زمانی و روش پیش بینی با حرکت براونی هندسی صورت گرفته شده است.
-1 مقدمه:
هر مو س سه، سازمان تجاری و د ستگاه دولتی به منظور حفظ موجودیت و ک سب موقعیت های م ستقل باید برنامه ریزی منا سبی برای آینده خود داشته باشد. یک برنامه منطقی باید بر پیش بینی حوادثی متکی باشد که در آینده احتمال وقوع دارند و معمولاً بر اساس رویدادهایی صورت می گیرند که در گذشته اتفاق افتاده اند. یکی از مهم ترین روشهای استنباط نتایج برای آینده بر اساس آنچه در گذشته اتفاق افتاده است، تحلیل سری های زمانی در پیش بینی است.
این تحلیل معمولاً به داده هایی مربوط می شود که مستقل نبوده و به طور متوالی به هم وابسته اند. همین وابستگی بین مشاهدات متوالی است که مورد توجه قرار می گیرد و بیشترین کاربرد آن در پیش بینی خواهد بود. داده هایی که از مشاهدات یک پدیده در طول زمان به دست می آیند، بسیار متداول هستند. در کسب و کار، اقتصاد، هواشناسی، کشاورزی و علوم بیولوژیکی فهرست زمینه هایی که در آن سری زمانی مشاهده شده و تجزیه و تحلیل می شوند، بی پایان است. به طور معمول هدف تجزیه و تحلیل سری های زمانی مدل در آوردن مکانیسم تصادفی که منجر به مشاهده سری می شود و مهم تر از آن، پیش بینی مقادیر آینده سری بر مبنای گذشته آن می باشد.[3]
با در نظر گرفتن قیمت سهام به عنوان یک سری زمانی، یکی از مهمترین پرسش هایی که ممکن است برای هر سهام دار یا سرمایه گذار در بورس اوراق بهادار پیش آید، امکان پیش بینی تغییرات قیمت سهام شرکت ها وجود دارد و اساساً چه رویکردی از درجه اطمینانی بالا از این مقوله می توان به کار برد. در پاسخ به این سوال، روشهای مختلفی برای پیش بینی قیمت سهام وجود دارد که می توان آن ها را در چهار گروه مدل های بنیادی، تکنیکی، نظریه آشوب و گام های تصادفی تقسیم نمود.[3] اما با وجود ابزار های مختلف تحلیل سری زمانی، بررسی رفتار سری بر حسب معادلات دیفرانسیل تصادفی و استفاده از حسابان تصادفی رویکرد تازه تری در این شاخه ریاضیات مالی است.[2]
در اوایل دهه 1970 ، فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون گام بزرگی در قیمت گذاری اوراق بهادار برداشتند. نتیجه کار آنها ارائه مدلی بود که تحت عنوان " مدل بلک - شولز" 2 معروف گشت.[1] این مدل نقش اساسی و محوری در نحوه قیمت گذاری و موفقیت مهندسی مالی در دهه های 1980 و 1990 داشته است و بی تردید پایه و اساس شکل گیری بسیاری از مدل های مالی در حال حاضر است. در بازارهای مالی واقعی، فرآیند قیمت دارایی در مقایسه با توزیع لگ نرمال، دارای دم سنگین است و بدین ترتیب با توزیع های مختلفی از قیمت های اختیار خرید یا فروش مواجه خواهیم شد که تفاوت آن ها در دم توزیع است.
همچنین نتایج تجربی، غیر مسطح بودن تلاطم قیمت دارایی های پایه را نشان می دهد؛ در صورتی که در مدل بلک شولز توزیع احتمال قیمت آتی دارایی های پایه - سهام - ، لگ نرمال است و تلاطم قیمت سهام، ثابت در نظر گرفته شده است. مدل هستون3 که از مشهورترین مدل های تلاطم تصادفی است، در آن جمله تلاطم و همچنین مدل دارایی پایه هر کدام شامل یک فرآیند انتشار می باشند تا حد قابل قبولی کمبودهای مدل بلک شولز را برطرف کرده است .[4] محققین این مقاله در صددند برای پیش بینی قیمت سهام، ضمن تعیین ضوابط مشخص از دو روش حرکت براونی هندسی و مدل هستون، به صورت عملی کارایی این دو روش را با روش های مرسوم سری زمانی مقایسه کنند.
دومین طبقه یاگروه، معادلاتی هستند که ورودی آنها، فرایندی تصادفی نامنظم مانند نویز سفید گوسی است. این معادلات به عنوان معادلات دیفرانسیل تصادفی محسوب می شوند و به صورت معادلات با انتگرال های تصادفی ایتو و یا استراتونوویچ بیان می شوند.[6] این گونه معادلات به خاطر وجود جملاتی بر حسب فرایندهای وینر در انتگرال تصادفی مربوطه، دارای حلی مشتق پذیر نیستند و خواننده می تواند برای آشنایی بیشتر به منابع حسابان تصادفی نظیر [8]مراجعه کند.
در بیشتر مدل ها مؤلفه لغزش با استفاده از روشهای عددی برای تطابق با نقطه اولیه به دست می آید؛ ضمن این که در این موارد برای تعداد کمی از مدل ها یک رابطه تحلیلی نیز موجود است. با در نظر گرفتن نوسانات شبه تصادفی در قیمت سهام در بازار بورس، مدل سازی دینامیک قیمت ها با استفاده از معادلات دیفرانسیل تصادفی، قابل توجیه است. در واقع مرتن[7] از پیشروآن است که از این نظریه بهره جست و مدل پیشنهادی او شامل ایده های اساسی بود که حتی در حال حاضر نیز مورد استفاده قرار می گیرد .
