بخشی از مقاله
چکیده
دنباله های تعمیم یافته یا شبکه1 ها در واقع تعمیم اندیس دنباله های معمولی، از اعداد طبیعی به دنباله هایی با اندیس دلخواه است. در این مقاله پس از تعریف دقیق دنباله های تعمیم یافته برخی از ویژگی های توپولوژیکی این دنباله ها مورد بررسی قرار می گیرد. سپس با بیان برخی از قضایای مربوط به شبکه ها، ارتباط بین همگرایی شبکه ها و فشردگی بیان خواهد شد. در پایان یکی از مهمترین قضایای توپولوژی بنام قضیه تیخونف که بیان می دارد؛ حاصلضرب هر خانواده دلخواه از مجموعه های فشرده، فشرده است،به کمک دنباله های تعمیم یافته ثابت می گردد.
کلمات کلیدی: دنباله های تعمیم یافته ، فشردگی، لم زرن، قضیه تیخونف.
.1 مقدمه
قضیه تیخونف2 یکی از اساسی ترین قضایای توپولوژی است و به این صورت بیان می شود که: حاصلضرب هر خانواده از مجموعه های فشرده، فشرده است. در کتابهای متداول توپولوژی سه اثبات اصلی از این قضیه وجود دارد و همه آنها در کتاب توپولوژی عمومی نوشته کِلی3 موجود است . - Kelley,1975 - اولی اثباتی است که از قضیه زیرپایه الکساندر4 استفاده می شود، دومی اثباتی است که بورباکی5 با استفاده از فیلترها6 انجام داد و سومی اثباتی است که در آن از شبکه های جهانی استفاده می شود. در این اثباتها، اثبات بورباکی از محبوبیت بیشتری برخوردار است و همانطور که بیان شد، دانستن نظریه فیلترها برای این اثبات لازم است.
لازم بذکر است که اثباتی که مانکرز7 در کتاب معروف خود به نام "توپولوژی، نخستین درس" ارائه کرده نیز در واقع ساده شده و مرتب شده اثبات بورباکی است . - Munkers,1975 - اثبات اولیه تیخونف به صورتی که امروز بیان می شود نبوده بلکه تیخونف ثابت کرده که حاصلضرب دلخواه از بازه های فشرده، فشرده است . - Tychonoff,1930 - بعد از تیخونف ریاضیدانان بزرگی این مطلب را مورد بررسی قرار داده و آن را بصورتی که امروز بیان می شود، ثابت کرده اند . - Terilla,2013 - اما به دلیل اهمیت کاری که تیخونف انجام داده ریاضیدانان او را به عنوان بنیانگذار این قضیه می دانند. می دانیم که توپولوژی یک فضای متریک بطور غیر مستقیم توسط دنباله های آن توصیف می شود.
حال اگر فضای مورد بحثمتریک نباشد و با یک فضای توپولوژیک سر و کار داشته باشیم چگونه می توان توپولوژی آن را بررسی کرد و قضایایی که برای فضاهای متریک بیان می شود را برای اینگونه فضاها تعمیم داد؟ یکی از راهکارهایی که برای پاسخ به این سوال توسط کِلی بیان شد، استفاده از نظریه دنباله های تعمیم یافته یا شبکه ها بود . - Kelley,1950 - در این مقاله قصد داریم که با استفاده از نظریه شبکه ها، قضیه تیخونف را اثبات کنیم. این مقاله بصورت زیر تنظیم شده است. در بخش2، تعریف شبکه ها و چند نتیجه مهم درباره این موضوع را بیان کرده ایم. در بخش3، زیرشبکهها، لم زُرن و چند پیش نیاز دیگر برای اثبات قضیه تیخونف ارائه می شود. همچنین چند قضیه و گزاره مورد نیاز نتیجه می شود. بخش4را بطور کامل به اثبات قضیه تیخونف با استفاده از شبکه ها، اختصاص داده ایم.
.2 پیرامون نظریه شبکه ها
توپولوژی فضای متریک M بوسیله دنباله ها در M مشخص می شود. بویژه طبق قضیه هاینه بورل، M فشرده است به شرطی که هر دنباله از نقاط در M دارای زیر دنباله ای همگرا در M باشد. اما باید این مفهوم را برای هر فضای توپولوژیک دلخواه تعمیم دهیم تا به نظریه همگرایی که برای هر فضای توپولوژی دلخواه کافی باشد برسیم. نظریه مدرن دنباله های تعمیم یافته یا همان شبکها که توسط کِلی مطرح شده جوابگوی نیاز فوق است. برای تعریف شبکه ابتدا مجموعه جهت دار را تعریف می کنیم.تعریف: مجموعه جهت دار یک مجموعه مرتب جزئی مانند باشند، آنگاه ای موجود باشد که A و , A غیر تهی باشد و - A , - است، بطوری که اگر ومتعلق به A داده شده. به عبارت دیگر ، رابطه مجموعه A را جهت دار می کند اگر
الف - اگر ،واعضایی از A باشند بطوریکه وآنگاه
ب - اگر A آنگاه.
ج - اگر A آنگاه A موجود باشد بطوریکه
مثال:1 اعداد طبیعی N بوسیله ترتیب معمولی جهت دار است. یک فضای توپولوژیک باشد و X. p فرض کنیدU ,V فرض کنید U V به این معنی باشد که UA p بوسیله عکس شمول جهت دار شده است.A p مجموعه همه همسایگی های نقطه p . V آنگاه .W U V U ,V درتعریف شبکه: یک شبکه در فضای توپولوژی X یک تابع x : A X است که در آن A یک مجموعه جهت دار دلخواه است. به عبارت دیگر شبکه x روی A پایه گذاری شده است.نماد مهم: - - x را با x نشان می دهیم و شبکه x را بصورتA} {x :نشان می دهیم. این نماد شبکه ها را شبیهدنباله ها می سازد. البته دنباله یک شبکه ساده است که مجموعه جهت دار N پایه آن است.
تعریف: شبکهA}{x : به نقطه Xp همگراست به شرطی که برای هر همسایگی داده شده U از p ، Aوجود داشته باشد بطوریکه برای هر، U . x قضیه: فضای توپولوژیX یک فضای هاسدورف8 است اگر و تنها اگر هر شبکه در X همگرا به حداکثر یک نقطه باشد. - Munkres,2000 - پس اگر حد شبکه موجود و X یک فضای هاسدورف باشد این حد یکتا است. بنابراین می توان نشان داد که: زیر مجموعه S از X بسته است اگر و تنها اگر حد هر شبکه همگرا از نقاط S ، درون S باشد. این نشان می دهد که شبکه ها برای توصیف توپولوژی X کافی هستند. نقطه X q نقطه انباشتگی شبکهA}{y است هرگاه برای هر همسایگی داده شده U از q و هر A ،وجود داشته باشد به طوری که . - Moore,Smith,2012 - y مثال: برای دنباله داده شده - x n - n ، فرض کنیدq حد یک زیر دنباله - x n - n است. در اینصورت q یک نقطه انباشتگیدنبالهN }{x n : n است.
.3 زیرشبکه ها و فشردگی
یک مفهوم دقیق تر و ظریفتر در تئوری شبکه ها، زیرشبکه ها است. برای توصیف زیرشبکه ها ابتدا نگاشت آغازین9 را تعریف می کنیم.تعریف: دو مجموعه جهت دار A و B را در نظر بگیرید. نگاشت A: B را نگاشت آغازین می نامیم به شرطی که برایهر A ، Bوجود داشته باشد که برای هر داشته باشیم - - .تعریف:فرض کنیدA} {x : یک شبکه در فضایترکیب B } {x - - : x یک شبکه با پایهX با پایه A باشد. اگر : B A یک نگاشت آغازین باشد، آنگاه B است. این شبکه را یک زیرشبکه از شبکه x می نامند.دو نکته از تعریف زیرشبکه نتیجه می شود:نکته:1 اگر شبکه x در مجموعه X باشد آنگاه هر زیرشبکه آن مانند x نیز در X است.
