بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله منفیت لگاریتمی یک سیستم کوانتومی باز که از دو نوسانگر هماهنگ مستقل یکسان تشکیل شده در برهم کنش با یک محیط عام بررسی می کنیم. با استفاده از ریاضیات شبه گروه دینامیک کوانتومی، معادله اصلی کوساکوسکی - لیندبلد برای تحول زمانی را حل کرده، ماتریس کواریانس را برای یک حالت گاوسی دلخواه به دست می آوریم. با توجه به رابطه بین منفیت لگاریتمی و ماتریس کواریانس برای حالت های گوسی دو مد، رفتار منفیت لگاریتمی سیستم را در اثر عوامل محیط مانند دما و پارامتر محیط برای دو حالت اولیه سیستم - جداپذیر و درهم تنیده - بررسی می کنیم.
مقدمه:
درهم تنیدگی که به معنای همبستگی بین دو یا چند سیستم است، یکی از ویژگی های مکانیک کوانتومی است که در مکانیک کلاسیک مشابه ندارد. درهم تنیدگی، نخستین بار توسط اینیشتن و همکارانش، پادولسکی و روزن [EPR] به طور جدی مورد بحث قرار گرفت.[1] در سال های اخیر درهم تنیدگی به خاطر پیشرفت های عظیم و عملی که در بنیادهای فیزیک کوانتومی و اطلاعات کوانتومی داشته است، به عنوان مرکز فعالیت در فیزیک کوانتومی درآمده است .[2,3]
از اهداف مهم نظریه اطلاعات کوانتومی، آشکارسازی درهم تنیدگی حالت های مختلف کوانتومی و نیز تشخیص میزان درهم تنیدگی است که درهم تنیدگی در سیستم های متغیر پیوسته در این نظریه اهمیت بسیاری دارد چرا که سیستم های متغیر پیوسته در اثر برهم کنش با محیط، تاثیرپذیری کم تری نسبت به سیستم های متغیر گسسته دارند .[4]در این مقاله یک سیستم متغیر پیوسته را مورد بررسی قرار می دهیم.
معادله حرکت دو نوسانگر هماهنگ مستقل یکسان در برهم کنش با محیط: سیستم کوانتومی باز، متشکل از دو نوسانگر هماهنگ مستقل یکسان در برهم کنش با محیط در نظر می گیریم. با استفاده از معادله اصلی کوساکوسکی-لیندبلد برای یک عملگر برای شبه گروه دینامیک کوانتومی کاملا مثبت، تکامل زمانی برگشت ناپذیر یک سیستم کوانتومی باز را به کمک فرمول زیر بررسی می کنیم.[5,6]
تکامل منفیت لگاریتمی:
راه های متفاوتی برای تعریف و محاسبه مقدار اندازه گیری درهم تنیدگی وجود دارد که یکی از مقیاس های اندازه گیری درهم تنیدگی، منفیت لگاریتمی می باشد و از فرمول مقابل ، به دست می آید[7] که در آن اگر مقدار منفیت لگاریتمی مثبت باشد، حالت سیستم، درهم تنیده و اگر منفی باشد، حالت سیستم، جداپذیر خواهد بود.[7] با توجه به وابستگی ماتریس کواریانس به ماتریس ضرایب پراکندگی می توانیم برای سیستم مورد نظرمان، در دو حالت -1 سیستم در حالت اولیه گاوسی جداپذیر و -2 سیستم در حالت اولیه گاوسی درهم تنیده، با در نظر گرفتن شرایط اولیه برای هر حالت [8] و محاسبه ماتریس کواریانس و به دست آوردن منفیت لگاریتمی، تغییرات منفیت لگاریتمی را برحسب زمان و پارامتر محیط، در شکل های - 1 - و - 2 - مورد بررسی قرار دهیم.
-1سیستم در حالت اولیه گاوسی جداپذیر با شرایط اولیه در نظر می گیریم.[7]
با توجه به نمودار ملاحظه می شود که در اثر برهم کنش سیستم با محیط، منفیت لگاریتمی در پارامتر محیط ثابت، با گذشت زمان افزایش می یابد و در زمان متناهی، هنگامی که مقدار منفیت لگاریتمی صفر شود، حالت سیستم درهم تنیده خواهد شد. در بعضی موارد، درهم تنیدگی موقت تولید شده و دوباره حالت سیستم، جداپذیر می شود. پدیده نابودی و احیای درهم تنیدگی به مراتب تکرار می شود، تا این که در زمان های بسیار طولانی، حالت درهم تنیده تولید شده، درهم تنیده باقی می ماند. منفیت لگاریتمی در زمان ثابت، به ازاء پارامتر محیط کوچک، کم ترین مقدار را دارد و در نتیجه حالت جداپذیر اولیه، جداپذیر باقی می ماند.در حالی که به ازاء پارامتر محیط بزرگ، مقدار منفیت لگاریتمی افزایش یافته و حالت سیستم درهم تنیده می شود. سیستم در حالت اولیه گاوسی با شرایط اولیه درهم تنیده در نظر می گیریم.[7]
منفیت لگاریتمی برحسب زمان و ضریب محیط ، برای حالت گاوسی اولیه درهم تنیده
با توجه به نمودار ملاحظه می شود که در اثر برهم کنش سیستم با محیط، منفیت لگاریتمی در پارامتر محیط ثابت، با گذشت زمان کاهش می یابد تا این که در زمان متناهی، مقدار آن صفر شده و حالت سیستم جداپذیر می شود، پس از آن پدیده های احیاء و نابودی درهم تنیدگی تکرار می شوند، تا این که در زمان های طولانی، حالت سیستم، جداپذیر باقی می ماند. منفیت لگاریتمی در زمان ثابت، به ازاء پارامتر محیط کوچک، منفی بوده و حالت سیستم جداپذیر است و به ازاء پارامتر بزرگ، مقدار منفیت لگاریتمی افزایش می یابد و برای تمام زمان ها، حالت سیستم، درهم تنیده باقی می ماند.
اثر دما بر منفیت لگاریتمی:
دما یکی از عوامل محیطی است که می تواند بر منفیت لگاریتمی سیستم، تاثیرگذار باشد. اثر دما را برای دو مثال فوق بررسی می کنیم. فرض می کنیم که سیستم در دمای ، در تعادل گرمایی باشد. تاثیر دما در یکی از پارامتر های محیط وارد می شود.[8,9] برای دو حالت فرض شده در بخش قبل با در نظر گرفتن تساوی های فوق، ماتریس کواریانس را به دست می آوریم و تغییرات منفیت لگاریتمی را نسبت به زمان و دما با همان شرای اولیه، در شکل های - 3 - و - 4 - بررسی می کنیم.
