بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مدل دقیق المان محدود واحد دیسک بین مهره ای ناحیه کمری
چکیده
در این تحقیق سعی بر آنست که مدلی دقیق و قابل کاربرد کلینیکی از واحد دیسک - مهره-دیسک ارائه شود. مراحل ایجاد مدل از تصویر CT یا MRI منحصر به شخص مورد نظر صورت میگیرد. با پردازش تصویر ابتدا مرز نواحی مختلف بدست می آیند. سپس مرزها به صورت فایل تصویری برداری برای ایجاد المانهای دو بعدی در هر تصویر برش آماده می گردند. بعد از انجام المان بندی دو بعدی، برشهای مختلف به صورت یک جسم سه بعدی با مش بندی اولیه تبدیل می شوند. با کمک یک مدل ریاضی که دیسک بین مهره ای را به صورت یک تایر نیوماتیکی در نظر می گیرد، تخمین اولیه ای از مقدار تنش در فیبرها بدست می آید. به دلیل ساختار میکرواستراکچری آنولوس، مدل معادل ماده ای برای تعریف صحیح مدل کامپوزیتی آئولوس بسط داده می شود. برای انجام دقیق استخراج تنش، تصحیحاتی در معادلات آنالیز تنش صورت می گیرد که باعث افزایش درجه آزادی گره ها می شود. اضافه شدن درجه آزادی چرخشی ایجاب می کند که عمل ریزسازی مش برای رسیدن به کرنش یکنواخت در یک المان صورت بگیرد. برای جلوگیری از تکرار زیاد ریزسازی، از تخمین اولیه مدل ریاضی استفاده می شود. در انتها نتایج با مدل قابل اعتماد دیگری مقایسه شده است.
مقدمه
ناحیه آنولوس دیسک بین مهره ای از یک سری نوارهای تمرکز یافته لایه ای تشکیل شده است که هر یک شامل فیبرهای محکم کلاژنی است که در یک ماتریس مواد زمینه فرو رفته اند[۱] فیبرهای کلاژنی نسبت به جهت محیطی دیسک، مایل هستند و مقدار این زاویه انحراف از یک لایه به لایه مجاور به طور متناوب با عقدار متوسط ۳۰ درجه تغییر می کند [ ۲] {۳}. از آنجاییکه ماده زمینه نسبتاً نرم است، هنگامیکه دیسک تحت کرنش کششی است، فیبرها نقش اساسی را بازی می کنند. بنا بر این آنولوس یک ماده غیر همگون با خواص وابسته به جهت می باشد[۴]. اکثر مدلهای المان محدود قبلی دیسک بین مهره ای، آئولوس را به عنوان یک ماده هموژن با خواص ایزوتروپیک [۵] یا ارتوتروپیک{۶}{۷}[۸] در نظر گرفته اند. در تمامی مدلهای مذکور اگرچه ماده به صورت فیبری تقویت شده در نظر گرفته شده است ولی هیچ گونه تمایزی بین ماده زمینه و فیبرها وجود ندارد. مدلی از دیسک که در آن آئولوس به صورت یک ماده کامپوزیت از فیبرهای کلاژنی فرو رفته در ماتریس زمینه، ارائه شده است [۹]. ولی در این مدل ماده و فیبرهای هر لایه به صورت المانهای مجزا در نظر گرفته شده اند، که باعث افزایش غیر قابل تصور هزینه های تحلیل و محدودیتهایی در تعریف هندسه دیسک می گردد. در مدلهای فوق همگی ممکن است صرفنظر از اینکه آنولوس چگونه مدل شده باشد، با انتخاب مناسب خواص ماده ای نتایج مشابهی را با شرایط آزمایشی از نظر کرنش ایجاد کنند. اما به هیچ عنوان تضمینی برای چنین توافقی در مورد تنشها وجود ندارد. یعنی در جابجایی ثابت مدلهای فوق تنشهای متفاوتی زا ارائه می دهند [۴]. مدل ذکر شده اخیر به گونه ای بسط داده شده است که تطابق تنش نیز در آن لحاظ شده باشد [۱۰] یعنی در جابجایی یکسان و شرایط مرزی یکسان مورد آزمایشی و مدل المان محدود، تنشهای یکسان استخراج شود. در این مدل به سبب نوع تحلیل، دیسک به صورت یک استوانه مجوف مدل شده است و از شکل واقعی دیسک بین مهره ای نمی توان استفاده کرد. همچنین به خاطر نوع تعریف خواص ماده ای مؤثر جایگزین آنولوس در تخمین ترمهای برشی خطاهایی موجود است. در این تحقیق سعی بر آنست که این منابع خطا در مدل از بین برده شده و با ایجاد روشهایی، مدل قابل کاربرد کلینیکی گردد. یکی از مواردی که در تحلیل دیسک بین مهره ای برای کاربردهای کلینیکی بسیار مهم است، اختصاصی بردن مدل و سهولت در بازسازی هندسی و دقیق مدل است.
پردازش تصویر
در این بخش هدف اصلی آنست که با شناسایی بخشهای مختلف یک تصویر، با نهایت دقت ممکن گرافیک تصویری به گرافیک برداری تبدیل گردد. اولین مرحله بهبود تصویر از لحاظ وضوح و بالا بردن SNR است. سپس توسط عملگرهای پردازشی ناحیه ای مناسب، لبه های بخشهای موجود در تصویر بهبود می یابند. برای بدست آوردن کانتورها از روشهای بخش بندی تصویر استفاده می شود. یک تصویر به صورت آرایه دو بعدی از پیکسلها در نظر گرفته می شرد، و مقدار هر پیکسل شماره رنگ آن می باشد. در صورتی که از سیستم RGB استفاده شود آنگاه:
که در آن P مقدار پیکسلی و GR و B به ترتیب بیانگر پایه رنگهای قرمز، سبز و آبی است. ثابت می شود که معکوس معادله فوق در دامنه اعداد صحیح دارای جوابهای یگانه است.
برای بهبود تصاویر از فیلترها و عملگرهای متداول استفاده می شود. برای تقسیم تصویر به اجزای آن می توان از خاصیت تمایز رنگ و گرادیان آن استفاده کرد و بدین ترتیب یک تصویر شبه رنگی ایجاد نمود[۱۱. یک روش استفاده از خاصیت فرکانسی رنگها است.
شکل ۱- فرآیند پردازش شبه رنگی در حوزه فرکانسی
در شکل ۱ BBPFBHPF و BLPF به ترتیب فیلترهای بالا گذر، میان گذر با ترورتث می باشند[۱۲].
روش دیگر استفاده از نمودارهای تبدیل است. این روش پردازش با حافظه صفر است و سرعت آن به مراتب بالاتر از روش فرکانسی است. برای کاربردهای متفاوت نیاز به مقادیر ثابت متفاوتی در این منحنی هسا می باشد؛ ولی از آنجا که از یک سری منحنی می توان برای تمامی دیسکهای بین مهره ای استفاده کرد، لذا در کاربرد فعلی بسیار مناسبتر به نظر می رسد.
که در آن p7 مقدار پیکسلی در مختصات (m,n) است. تصویر حاصل اگر چه به طور کامل و دقیق بخش بندی نشده است، ولی گروههای هم گرادیان را مجزا کرده است بعد از این مرحله یک عملگر یافتن لبه مثل پرویت یا سوبل را می توان اعمال کرد. در صورتیکه از دو یا چند عملگر استفاده شود، می توان ارتباط حاصل هریک با دیگری را از طریق اعمال آستانه برقرار کرد[۱۳] در این مرحله تا حدود زیادی شکل نواحی مشخص شده است، اما از آنجا که در تصاویر مقطع دیسک گرادیانها ملایم هستند، کانتور کامل وجود ندارد. تصویر فعلی به زیر مجموعه های ۳×۳ تبدیل می شود. از بین پیکسلهای مرکزی آنهایی که در شرایط بیان شده در معادله ۴ صدق کنند، هسته نامیده می شوند.
که در آن N8مجموعه هشت همسایه پیکسل در مکان (i,J)، لایه l و اندیس لبه صفر است و C تابعی است که زوج مرتب مختصات P را می دهد. شرط همسایگی N8 به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن ماتریس ۳×۳ به مرکز (x,y) است. بعد از بدست آمدن نقاط کنترلی هر لایه، مختصات تصویر از طریق ماتریس تبدیل به مختصات کلی تبدیل می شود. سپس در هر لایه، از نقاط کنترلی یک B-Spline عبور داده می شود.
ایجاد مدل هندسی
الگوریتمهای زیادی برای تولید اتوماتیک مش وجود دارد. این روشها را می توان به دو گروه تقسیم کرد: گروه اول آن دسته از مولدهای مش هستند که المان به المان ایجاد مش میکنند تا کل ناحیه مورد نظر پوشانده شود و گروه دوم، ابتدا گره های درونی را ایجاد کرده و سپس بین آنها را با وصل کردن به المان تبدیل می کند. اهداف عمده در مولد مش به قرار زیر می باشند:
۱) اجتناب از زاویه های نامناسب
۲) سرعت عمل
۳) سادگی طرح
۴) راحتی استفاده [۱۴]
از آنجاییکه درجاتی از کنترل در روش اول موجود است، هدف اول به راحتی حاصل می گردد. بعد از ایجاد مش فرآیندهای تعویض لبه و تسطیح مش که همگی روشهای تکراری هستند به کار گرفته می شوند و بدیهی است که سرعت عمل برنامه کاهش قابل ملاحظه ای پیدا می کند. برای اجتناب از چنین موردی از ساختارهای اطلاعاتی که در بر گیرنده اطلاعات همسایگی گره ها و المانها می باشند، استفاده می شود. سه لیست همسایگی در نظر گرفته می شود: گره - گره، گره - المان و المان - گره؛ که هر یک به ترتیب در معادلات ۷۶ و ۸ بیان شده اند.
که در آنها تعداد کل گره های همسایه گره Ni و نشانگر ساختار اطلاعاتی است. ناحیه R مساحت محصور شده توسط است که در بحث کنونی یک چند ضلعی است. ناحیه ای که مش بندی نشده است و کوژ نیز می باشد، ناحیه فعال نامیده می شود و یکی از گره های روی مرز این ناحیه، گره فعال نامیده می شود. با کمک یک عملگر انتقالی مانند میتوان ناحیه فعال را توسط یک گره فعال مشخص کرد.
لبه جهت دار (E(PO به عنوان خط راستی بین دو نقطه از P به Q تعریف می شود. لیست همسایگی گره - گره چنان ایجاد می شود که برای گره های مرزی R داشته باشیم:
که در آن N گره مرزی است و در رابطه زیسر صادق می کند:
در فرآیند ایجاد مش بسته به زاویه درونی محاسبه شده در محل گره فعال ممکن است یک المان (بستن) یا دو المان (دو تا شدن) انجام گیرد. در هر صورت لیستهای همسایگی به گونه ای تغییر می کنند که مساحت المان یا المانهای ایجاد شده از ناحیه فعال کار و گره مرزی بعدی فعال می گردد. عمل ایجاد مش تا زمانی صورت می گیرد که همسایه مکان چهارم نشانگر گره فعال، خود آن باشد.
در هر مرحله از ایجاد المان، عمل تسطیح مش صورت می گیرد؛ به این ترتیب که هر گره به مرکز سطح چند ضلعی تشکیل شده از گره های همسایه خود منتقل می گردد. با این عمل تکرارهای نهایی برای انجام تسطیح مش و شماره گذاری مجدد گره ها و المانها لازم نیست. روشهای مؤثری برای تبدیل به زیر ناحیه و مش بندی نواحی متصله تکراری توسعه داده شده است [۱۵]
برای تبدیل لایه های دو بعدی مش بندی شده به جسم سه بعدی از روش برشهای هم فاصله استفاده شده است{۱۵ {و [۱۶]
مدل ماده
بر اساس تحقیقات مستشر شده قسمت آنولوس دیسک بین مهره ای به عنوان یک ماده کامپوزیت متشکل از ماتریس پایه که توسط فیبرهای کلاژنی تقویت شده است، مدل می شود. فیبرهای کلاژنی ۱۶٪ از حجم آنولوس را اشغال می کنند. ماتریس به صورت یک ماده ایزوتروپیک هموژن با مدول الاستیسیته MPa4 و نسبت پوآسن ۴۵/ در نظر گرفته می شود. لایه های فیبری به صورت غشاهای محیطی با خاصیت مواد وابسته به جهت بیان می گردند .
برای مدلسازی المان محدود چنین ماده ای از دو طریق می توان اقدام نمود. روش اول ایجاد مش بندی برای هر لایه به صورت مستقل و تخصیص خواص ماده ای برای هر لایه به صورت جدا است. این روش با المانهای بسیار زیاد و زمان تحلیل زیادی همراه است. روش دوم استفاده از خواص مؤثر جایگرین برای المانهاست. مطابق چنین روشی هر المان از چندین لایه و بلوک ماده تشکیل شده است. خواص یک المان از خواص بلوکهای ماده ای موجود آن با اعمال یکسری فرضیات تعیین می شود. اکثر مدلهای ارائه شده به دلیل ساختارشان نمی توانند در مورد اجسام با هندسه پیچیده به کار روند. مدل بیان شده توسط Rizz0 [۱۷] با فرض ضخامت محدود در جهت عرضی ایجاد شده است و بدیهی است برای تحلیل ساختارهای ضخیم و یا تحت برش عرضی و خواس کوپلینگ برشی مناسب مدل گسترش داده شده توسط Li و Sun [۱۸] یکنواخت در صفحات موازی لمینیت و توزیع تنش یکنواخت در جهت عرضی صفحات را فرض قرار داده است . خواص صفحه ای منتج از این مدل صحیح و دقیق اند، اما خواص برشی به خصوص ساختارهای با تعییر شکل بزرگ برشی به قدر کافی قابل اعتماد نیستند[۱۹]
رفتار ساختمانی تعمیم یافته الاستیک بلوک ماده، نسبت به مختصات اصلی به شکل زیر است:
که در آن تانسور تنش، تانسور کرنش و تانسور سختی ماده نسبت به دستگاه مختصات اصلی است. انرژی کل کرنش بلوک ماده، B را میتوان در مختصات محلی که با یک تطابق همنوا با مختصات اصلی در ارتباط است، به صورت زیر نوشت:
U مؤلفه جابجایی گوشه یا نقاط گره ایست و N تابع چند جمله ایست. برای مؤلفه های نیروی توزیع شده توسط بلوک ماده در نقطه گوشه ای a می توان نوشت:
با جمع روی کل بلوکهای ماده که در نقاط کناری مشترکند، می توان عبارتی را برای نیروی خالص خارجی وارد بر آن نقطه بدست آورد.
روشی مشابه را می توان برای کل المان اعمال کرد و بدین ترتیب نیروهای معادل بر گره را بدست آورد.
که در آن تعداد گره ها و T تعداد کل نقاط گوشه ای می باشد. بنابر این جابجایی نقاط گوشه ای را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
ضرایب از طریق اعمال قیدهسای نیرو بر نقاط گوشه ای بدست می آیند. نقاط گوشه ای داخل المان دارای نیروی اعمالی صفر، نقاط گوشه ای روی سطح المان دارای نیروی مماسی صفر و نقاط گره ای دارای نیروهای خارجی می باشند. بعد از یکسری
