بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مقدمه اي بر مجموعه هاي فازي مردد و کاربرد آنها در مسائل تصميم گيري
چکيده: با توجه به دانش نسبي بشر، وجود ابهام و عدم قطعيت در مسائل واقعي در جهان طبيعي امري اجتناب ناپذير ميباشد. محققان براي درنظر گرفتن اين عدم قطعيت بايد از ابزارهاي مختلفي استفاده کنند. براي مثال ، زاده با معرفي مجموعه هاي فازي توانست افق جديدي براي رويارويي با ابهام و عدم قطعيت در مفاهيم و مسائل واقعي را نشان دهد. عمده تعميم هاي مجموعه هاي فازي عبارتند از مجموعه هاي فازي نوع -٢، مجموعه هاي فازي بازه اي مقدار و مجموعه هاي فازي شهودي آتاناسوف ، که ميتوان با اين ابزارها نوعي از عدم قطعيت در مسائل واقعي را با در نظرگرفتن مقادير عضويت و عدم عضويت مدل کرد. در حاليکه در بعضي از مسائل تعيين دقيق مقدار عضويت کار دشواريست و با شک و ترديد همراه است . در سال ٢٠٠٩ تورا مجموعه هاي فازي مردد را معرفي کرد که به مدل کردن اينگونه مسائل ميپردازد. در اين مقاله مفاهيم ، عملگرها و اهميت بکارگيري مجموعه هاي فازي مردد در مسائل تصميم گيري که نقش ويژه اي در مهندسي صنايع و مديريت دارد ،معرفي خواهند شد.
کلمات کليدي: مجموعه هاي فازي ، مجموعه هاي فازي شهودي، مجموعه هاي فازي مردد، مسائل تصميم گيري.
١ مقدمه
نظريه مجموعه هاي فازي در سال ١٩۶۵ م (١٣۴۴ ه .ش [١٢] توسط پروفسور لطفي عسگر زاده دانشمند ايرانيتبار عرضه شد. اين نظريه از زمان ارائه ي آن تاکنون ، گسترش زيادي يافته و کاربردهاي گوناگوني در زمينه هاي مختلف ازجمله تحقيق در عمليات ، علوم مديريت ، سيستمهاي هوش مصنوعي، نظريه کنترل ، آمار و... پيداکرده است . نظريه مجموعه هاي فازي نظريه اي براي اقدام در شرايط عدم اطمينان است .
اين نظريه قادر است بسياري از مفاهيم و متغيرها و سيستم هايي را که نادقيق و مبهم هستند، همان گونه که در عالم واقع نيز اکثر اوقات چنين است ، صورت بندي رياضي ببخشد و زمينه را براي استدلال ، استنتاج ، کنترل و تصميم گيري در شرايط عدم اطمينان فراهم آورد.
بر اساس همين نيازها به مرور بسط هاي متعددي از مجموعه هاي فازي تعريف شده اند: مثلا́ مجموعه هاي فازي نوع ‐٢ توسط دوبياس و پراد در ١٩٨٠ [٣] و مجموعه هاي فازي شهودي (IFS) توسط آتاناسوف در ١٩٨۶ .
تعريف ١. در مجموعه هاي کلاسيک تابع عضويت μA همه اعضاي مجموعه مرجع E را به مجموعه {٠,١}مينگارد:
در مجموعه هاي فازي هر عضو به بازه بسته [٠,١] با تابع عضويت :
نگاشته مي شود [۵].
تعريف ٢. مجموعه (کلاسيک )E را در نظر بگيريد و فرض کنيد يک مجموعه مشخص باشد.
مجموعه فازي شهودي *A به صورت زير تعريف ميشود .
توابع به ترتيب نشان دهنده درجه عضويت و درجه عدم عضويت عنصر به مجموعه A مي باشند و براي هر داريم :
به وضوح هر مجموعه فازي معمولي را ميتوانيم به صورت يک مجموعه فازي شهودي بنويسيم :
اگر درجه عدم قطعيت (عدم اطمينان ) عضويت عنصر به مجموعه A را نشان ميدهد. يعني مجموعه هاي فازي شهودي تا حدي ترديد در تخصيص مقدار درجه عضويت هر عنصر در مجموعه مرجع را پوشش ميدهند.
يک توسيع از مجموعه هاي فازي شهودي که در واقع توسيعي از خود مجموعه هاي فازي نيز مي باشد، ايده مجموعه فازي مردد است که توسط تورا در سال ٢٠٠٩ در مقاله [٧] معرفي شد. با اين مجموعه ها مي توان براي تعيين عضويت مجموعه اي از مقادير عضويت مثلا در نظر گرفت . از اين رو مجموعه هاي فازي مردد با قابليت مدل کردن اطلاعات نادقيق بصورت نامحدود مي توانند بطور گسترده و کارا در مسائل تصميم گيري بکار برده شوند. بطور کلي در مسائل تصميم گيري، تعدادي گزينه (alternative) وجود دارد و هدف اين است که اين گزينه ها با در نظر گرفتن معيار هاي (criteria) مختلف مورد ارزيابي قرار گيرند و در نهايت بهترين گزينه براي هدف مورد نظر انتخاب و به کار برده شود. از اين رو جنبه ارزيابي اين گزينه ها و اطلاعاتي که در مورد آنها جمع آوري مي شود حائز اهميت است . اصولا با توجه به هدف از بکارگيري گزينه هاي موجود، تعدادي معيار تعيين مي گردد و از تعدادي فرد خبره خواسته مي شود که در مورد هر گزينه ، نظر خود را راجع به معيار هاي تعيين شده بيان کند. هر فرد خبره براي تعيين اينکه يک گزينه ، معيار مورد نظررا چقدر ارضاء ميکند (satisfy) مي تواند به جاي يک مقدار عضويت ( مجموعه فازي) و يا تعيين مقدارعضويت و عدم عضويت (مجموعه فازي شهودي )، مجموعه اي از مقادير عضويت (مجموعه فازي مردد) را بيان دارد که اين نشأت گرفته از اعمال شک و ترديد فرد خبره در جمع آوري اطلاعات ميباشد و اين منجر به انتخاب واقعي مناسبترين گزينه مي شود.
در اين مقاله ، هدف ما معرفي مجموعه هاي فازي مردد به مهندسين صنايع و مديران مي باشد که بتوانند با اين ابزار، شک و ترديد موجود در نظرات خود را که امري کاملا غير قابل انکار هست را بصورت رياضي مدل کنند و قابل اعتمادترين تصميم را اتخاذ نمايند. با توجه به هدف اين مقاله در بخش ٢ مجمو عه هاي فازي مردد و تعدادي از عملگر هاي مهم آن معرفي شده است . بخش
٣ به عملگرهاي مورد استفاده در مسائل تصميم گيري مي پردازد. بخش ۴ مثالي از بکارگيري مفاهيم معرفي شده در حل يک مسئله تصميم گيري چند معياره ارائه مي دهد. و در نهايت ، بخش ۵ نتايج و اهميت بکارگيري مجموعه هاي فازي مردد را بيان مي کند.
٢ مجموعه هاي فازي مردد
در بسياري از مسائل کاربردي تعيين مقدار دقيق درجه عضويت امکان پذير نبوده و با شک و ترديد در انتخاب چند مقدار عددي مواجه هستيم . مسائل تصميم گيري چند معياره از بهترين مثالها در اين زمينه مي باشد. يک راه حل اين است که برآيندي از همه مقادير ممکن را به عنوان مقدار درجه عضويت در نظر بگيريم . هرچند اين روش در تئوري کارگشاست و براي بسياري از مسائل عملي نيز مفيد است اما اين راهکار در برخي از مسائل عملي باعث مشکلاتي نظير از دست دادن اطلاعات مي شود. پس ، در اين موارد بهتر است از همه مقادير ممکن استفاده کنيم . بدين منظور، تورا و ناروکاوا [٧] در ٢٠٠٩ مفهوم مجموعه هاي فازي مردد (HFS) را معرفي کردند. اين مجموعه ها به ما اين امکان را مي دهند که درجه عضويت هر عنصر به صورت مجموعه اي از چندين مقدار ممکن بين ٠ و ١ باشد. يعني اين توسيع از مجموعه هاي فازي ترديد و عدم قطعيت انسان را ملموس تر و قابل درکتر به تصوير مي کشد. يک HFS به صورت تابعي تعريف مي شود که هر عضو دامنه را به يک مجموعه از مقادير درجه عضويت محتمل ، مي نگارد.
فرض کنيد X يک مجموعه مرجع باشد. يک HFS روي X به صورت تابع h است که زيرمجموعه اي از مقادير در[٠,١]را مي دهد:
همچنين ، يک HFS ميتواند به صورت يک مجموعه از مجموعه هاي فازي در نظر گرفته شود [٨]. پس از آن خيا و خو [٩] تعريف اوليه HFS را با نوشتن به صورت رياضي کامل کردند:
همانطور که گفته شد يک زيرمجموعه از [٠,١] است که نشان دهنده مقادير عضويت ممکن مي باشد. آنها به منظور سهولت بيشتر، را يک عنصر فازي مردد HFE از را مجموعه همه عناصر فازي مردد E ناميدند. نکته اي که بايد توجه شود اين است که تعداد اعضاي درون HFE هاي متفاوت مي تواند مختلف باشد.
براي سه عنصر فازي مردد داده شده تورا[٨] و نيز خيا و خو [٩] عملگرهاي زير را تعريف کرده اند:
در مسائل تصميم گيري از مهمترين موارد پيش رو مقايسه گزينه هاي موجود است . به علاوه در مسائل تصميم گيري چند معياره بايد بتوانيم بين معيارهاي مختلف نيز مقايسه داشته باشيم . از آنجا که مجموعه هاي فازي مردد مي تواند ابزار مناسبي در تشخيص و مقايسه گزينه هاي مورد نظر باشد، لذا در ادامه ابتدا چند عملگر جمع بندي معرفي مي شوند و سپس روشي براي مقايسه گزينه ها در بخش بعدي آورده مي شود. در انتها نيز يک مثال کاربردي ارائه خواهد شد.
٣ عملͽرهاي مورد نياز براي حل مسائل تصميم گيري چند معياره
همانگونه که براي مجموعه هاي فازي و فازي شهودي عملگرهاي بسياري تعريف شده اند، براي مجموعه هاي فازي مردد نيز عملگرهاي متنوعي تعريف شده اند که در واقع توسيعي از همان عملگرهاي فازي مي باشند. از مهمترين و پرکاربردترين عملگرهاي تعريف شده براي مجموعه هاي فازي و توسيع هاي آن ، عملگرهاي جمع بندي (aggragation operators) مي باشند. عملگرهاي جمع بندي نظرات فرد خبره را که براي يک گزينه تحت معيارهاي مختلفي بيان کرده است ، جمع بندي مي نمايد نظرات افراد خبره را در مورد يک گزينه جمع بندي نمود و سپس براي انتخاب بهترين گزينه از توابع امتياز استفاده مي شود.
تعريف ٣. فرض کنيد مجموعه اي از HFE ها و بردار وزنهاي متناظرشان که و نيز باشد.
