بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
پلاسماي کوانتومی مغناطیسی
چکیده
مقدمه: به دلیل اهمیت و کاربرد دینامیک یک گاز الکترون کوانتومی برای سیستمهای فیزیکی مختلف، این موضوع مورد توجه قرار گرفته است. در تقریب هارتری ، هر الکترون بوسیله یک تابع موج تک ذره ای( که از معادله شرودینگر تبعیت می کند) توصیف می شود، و نیروی الکتروستاتیکی که بر آن وارد می شود از معادله پواسون منتج می شود. مدل هارتری می تواند در یک مدل فشرده تر، با استفاده از توابع ویگنر نوشته شود. نمایش ویگنر یک وسیله مفید در بیان مکانیک کوانتومی در یک ساختار فضای فاز است. سیستم ویگنر-پواسون برای دستة وسیعی از مخلوطهای آماری، که در آنها معادله شرودینگر دربرگیرندة یک جزﺀِ غیر خطی است، می تواند به یک سیستم پواسون-شرودینگر ِمؤثر کاهیده شود.
هدف: استفاده از سیستم شرودینگر-پواسونِ مؤثر برای مطالعه یک سیستم گاز الکترونی دو بعدی بوده است. برای این منظور باید یک پتانسیل غیر خطی برای سیستم تعریف کرد. همچنین امواج الکترومغناطیسی، غیر عادی به عنوان یک حالت خاص مورد مطالعه قرار گرفته است.
روش بررسی: در این مقاله با بکار بردن معادله شرودینگر غیر خطی، سیستم را در حضور یک میدان مغناطیسی خارجی در نظر گرفته و رابطه پاشندگی سیستم محاسبه شده است، و نتایج مربوط به حضور و عدم حضور آثار کوانتومی و آثار ناشی از حضور میدان مغناطیسی بررسی شده است.
نتایج: برای گاز الکترونیِ دو بعدیِ با دمای صفر، پتانسیل غیر خطی است و متناسب با ψ 2 است. در حد طول موجهای بلند، نتیجه حاصل از سیستم شرودینگر-پواسونِ مؤثر با سیستم ویگنر-پواسون یکسان بدست آمده است.
نتیجه گیري:
می توان معادله ویگنر در فضای فاز را به یک معادله شرودینگر غیر خطی کاهش داد. از مطالعه انتشار موج در سیستم برای حالت خاص k iˆk ، مشاهده می شود که رابطه پاشندگی بدست آمده بر رابطه پاشندگی امواج غیر عادی منطبق است. در این کار رابطه پاشندگی امواج غیر عادی با تصحیح کوانتومی بدست آمده است.
واژه هاي کلیدي: پلاسمای کوانتومی، گاز الکترونی، مدل هارتری، مدل ویگنر، سیستم پواسون-شرودینگر
مقدمه
دینامیک یک گاز الکترون کوانتومی برای دستة وسیعی از سیستمهای فیزیکی مثل؛ فلزات معمولی، نیمرساناها و حتی کوتوله های سفید، دارای کاربرد است. در تقریب هارتری ، هر الکترون بوسیله یک تابع موج تک ذره ای( که از معادله شرودینگر تبعیت می کند) توصیف می شود، و نیروی الکتروستاتیکی که بر آن وارد می شود از معادله پواسون منتج می شود.(١)
مدل هارتری می تواند در یک مدل فشرده تر، با استفاده از توابع ویگنر نوشته شود. نمایش ویگنر(٢) یک وسیله مفید در بیان مکانیک کوانتومی در یک ساختار فضای فاز است.(٣) در این نمایش یک حالت کوانتومی( خالص یا مخلوط) به وسیله تابع ویگنر توصیف می شود( یعنی با یک تابع از متغیرهای فضای فاز)، و معادله ویگنر تابعی را ایجاد می کند که به معادله ولاسوف( که آنرا از فیزیک پلاسمای کلاسیک می شناسیم) شبیه است. باید دقت کرد که اگر چه توزیع ویگنر بسیاری از استانداردها را رعایت می کند، اما ممکن است که در شرایطی هم منفی شود. مدل خود سازگار حاصل، سیستم ویگنر-پواسون نامیده می شود.(٤-٦) در ادامه یک سیستم شرودینگر-پواسونِ مؤثر را مورد استفاده قرار می دهیم، که در شرایط حدی نتایج فرمولاسیون ویگنر-پواسونِ جنبشی را در دو بعد ایجاد کند.(٧-٩) در این مسأله مدل شرودینگر-پواسونِ مؤثر، یک معادله شرودینگر غیر خطی است، به گونه ای که پتانسیل آن وابسته به مدولاسیون تابع موج است.
نتایج و بحث
مدل نظري
معادله نیرو و معادله پیوستگی در این مدل به صورت زیر است
با تعریف پتانسیل مؤثر به صورت زیر
و با استفاده از تعریف زیر برای فشار کوانتومی
معادله نیرو شکل زیر را به خود می گیرد
اگر تابع موج مؤثر به صورت زیر تعریف شود
که در آن دارای تعریف است، این تابع موج می تواند در معادله زیر صدق کند
معادله (٧)، معادله غیر خطی شرودینگر است، که پتانسیل آن طبق معادله (٣)، به تابع موج وابسته است. بخش حقیقی و موهومی این رابطه، معادله نیرو و معادله پیوستگی را به دست می دهند. سیستم شرودینگر-پواسون، ترکیبی از معادله ٦ و معادله زیر است.
اگر یک پلاسمای الکترونی دو بعدی در نظر بگیریم، می توان از رابطه فشار کلاسیکی سیستم فرمیونی D بعدی برای آن استفاده کرد، که دارای تعریف زیر است.
بنابراین پتانسیل مؤثر برای آن به شکل زیر خواهد بود.(١٠)
بنابراین فشار کلاسیکی در دو بعد به صورت زیر است.
که αپارامتری مستقل ازn است. پتانسیل مؤثر به صورت
بوده که از نوع دفعی است و به تخت شدن چگالی الکترونها تمایل دارد. و در آن از تعریف استفاده کرده ایم.
انتشار موج
اگر سیستم شرودینگر-پواسون مؤثر( معادلات ٧ و ٨) را با استفاده از معادله (١٢) برای پتانسیل مؤثر، خطی کنیم، و در آن از شرط استفاده کنیم، رابطه پاشندگی زیر حاصل خواهد شد.
باید دقت کرد که برای حالت h → 0 ، این رابطه دقیقا همان رابطه پاشندگی بدست آمده از سیستم پواسون-ولاسوف کلاسیکی (در تعادل فرمی دیراک در دمای صفر) است. در معادله (١٣) از تعریف برای سرعت فرمی استفاده شده است.
اگر جهت انتشار را در صفحه x-y به صورت j در نظر بگیریم، با طی مراحل بالا نتیجه زیر را برای رابطه پاشندگی بدست می آوریم
که در آن از تعاریف زیر استفاده شده است
مطالعه رفتار سیستم در حضور میدان مغناطیسی خارجی
مطالعه پلاسمای کوانتومی اخیرا توسط برخی محققین صورت پذیرفته است. (١٤-١١) در ادامه ما با در نظر گرفتن یک میدان مغناطیسی خارجی ثابت(١٥) در جهت مثبت محور -zها، سعی می کنیم تا معادله پاشندگی این سیستم را بدست آوریم. جهت میدان مغناطیسی، به صورت در نظر گرفته می شود. در این صورت شکل خطی شده معادله پیوستگی و معادله حرکت برای الکترونها به شکل زیر است
