بخشی از مقاله
چکیده
فرآیند تالیف کتابهای درسی جدید ریاضی به علت نیاز به آشنایی و آموزش معلمان با این کتابها و زمان نامناسب آموزش ضمن خدمت معلمان، نیازمند سرعت بخشی بیشتر است. یک راهکار عملی برای رسیدن به این هدف، استفاده مولفین محترم از متون کتابهای فعلی حسابان و دیفرانسیل است. با استفاده از کتابهایی که در سالهای اخیر به چاپ رسیده و وقت و هزینه فراوانی صرف آموزش دورهها و نقد و بررسی آنها شده است، با تغییرات مناسب و اضافه کردن مسائل کاربردی میتوان جهت غنا بخشی، رفع چالشها و هماهنگی با ریاضی پایههای پایینتر با صرف وقت کمتری به تالیف کتب ریاضی جدید یازدهم و دوازدهم رشته ریاضی پرداخت.
مقاله حاضر شامل طرح چالشهایی از کتب مذکور در مورد مطالب مربوط به مشتقگیری ضمنی، تعریف همسایگی یک نقطه در مبحث حد توابع و پیشنهادهایی برای رفع این چالشها و به روز شدن مطالب مذکور و پیشنهادهایی برای ترتیب توالی مطالب مربوط به مشتقگیری ضمنی است. در این مطالعه به چالشهای مربوط به مشتقگیری از توابع رادیکالی که در کتاب ریاضی دهم رشته تجربی و ریاضی تنها برای پایههای مثبت تعریف شده و راه برون رفت از این چالش ها نیز پرداخته شده است. همچنین به طور مختصر به چالش به وجود آمده از دو تعریف متفاوت از پیوستگی در کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال اشاره میگردد.
واژههای کلیدی: مشتق گیری ضمنی، همسایگی، مشتق توابع رادیکالی، پیوستگی
مقدمه
استفاده از متون و محتوای کتب حسابان و دیفرانسیل و نقد و بررسی آنها که در چند سال اخیر صورت گرفته است یک ضرورت و راهکار عملی برای سرعت بخشی به تالیف کتب ریاضی یازدهم و دوازدهم رشته ریاضی است. در مطالعه حاضر که مشتمل بر چهار بخش است به مواردی از این کتاب اشاره میشود که کمتر از آن سخن گفته شده است.در بخش اول محتوای مبحث مشتق گیری ضمنی مورد نقد و بررسی قرار میگیرد. مقدمه ورود به حساب دیفرانسیل و انتگرال تابعها هستند که در کتاب حسابان به آنها پرداخته شده است. شناسایی تابعهای حقیقی یک متغیره مبحث مهمی در این کتاب است و در این زمینه سوالات و تستهای متنوعی طراحی گردیده است.
چنین توابعی از جهت آن که موضوع مباحث حد، مشتق، کاربرد مشتق در مسائل بهینه سازی و انتگرال میباشند، از اهمیت بسیاری برخوردار هستند. در میان مباحث مرتبط با این تابعها، در کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال در مبحث مشتق گیری ضمنی روابطی مطرح شده اند که هیچ کدام تابع نیستند. این درس سوالات و ابهامات بسیاری را در ذهن دانشآموزان ایجاد میکند. چطور از روابطی که تابع نیستند مشتق میگیریم؟ برخی از این گونه روابط مانند دایره را نمیتوان حتی در قسمتی از دامنه اشان تابع در نظر گرفت.آیا همان طور که در کتاب دیفرانسیل ذکر شده میتوانیم همواره در معادله داده شده y را به طور ضمنی تابع مشتق پذیری از فرض کنیم و در هر نقطه دلخواه مشتق بگیریم؟ چرا بحث مشتق گیری ضمنی که نتیجه قاعده زنجیره ای است و تنها اختصاص به این گونه رابطهها ندارد در این مبحث مطرح شده است؟ چگونه و با چه مجوزی میتوان از این رابطهها مشتق گرفت ؟
هر مفهوم ریاضی از یک تعریف یا مدل ساده آغاز شده و در برخورد با و چالشها و مسائل متفاوت به تدریج کامل میشود. در بخش دوم نشان خواهیم داد که مدل فعلی حد در کتابهای درسی در حل تعدادی از مسائل ناتوان است. اولین شرط برای بررسی وجود حد در یک نقطه مانند a این است که تابع در همسایگی a تعریف شده باشد. وجود این شرط چه ضرورتی دارد، ما را با چه چالشی روبرو خواهد کرد و راه برون رفت از این چالش چیست؟در بخش سوم روش محاسبه مشتق توابع رادیکالی با تبدیل آنها به توانهای گویا مورد نقد و بررسی قرار خواهد گرفت در این بخش لزوم تعمیم تعریف توانهای گویا به پایههای منفی که در کتاب ریاضی دهم رشتُه ریاضی و تجربی تنها برای پایههای مثبت تعریف شده است مطرح خواهد شد.در بخش پایانی دو تعریف متفاوت پیوستگی در کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال به طور اجمال مورد نقد و بررسی قرار میگیرد.
-1 بخش اول
- 1-1 قاعده زنجیره ای و مشتق تابعهای ضمنی
معادله تابع حقیقی f - x y در صفحه xy ، معادله ای است که به طور صریح رابطه y را بر حسب متغیرش x بیانمیکند - اپوستل ، . - 1369 این معادله را میتوان به شکل ضمنی ً F - x,y - y f - x - F - x , f - x - - نیز بیان کرد.همچنین تابعهایی ضمنی وجود دارند که نمیتوان و یا به سختی میتوان آنها را به طور صریح بر حسب متغیر بیان کرد برای بدست آوردن مشتق توابعی که به صورت ضمنی بیان میشود باید از طرفین تساوی مشتق بگیریم و برای مشتق ترکیبات y ، چون y تابعی از x است، از قاعده زنجیره ای استفاده کنیم : مشتق گیری ضمنی از تابعهای ضمنی مطلبی است که بهتر است به عنوان مثالهای از قاعده زنجیری پس از مشتق تابع مرکب در کتاب حسابان مطرح شود. مشتقگیری ضمنی از تابعهایی که نمیتوان و یا به سختی میتوان y را برحسب x نوشت، ضرورت طرح این مبحث را پس از قاعده زنجیری بخوبی نشان میدهد.
2؛-1 مشتق گیری ضمنی و مشتق تابع وارون
به عنوان مثالی از کاربرد مشتق گیری ضمنی از توابع ضمنی میتوان به بدست آوردن مشتق تابع وارون اشاره کرد. اگردو تابع f و g معکوس یکدیگر باشند ترکیب آنها در زیرمجموعه ای از دامنه g تابع همانی است :
