پاورپوینت آنالیز مودال سیستم های چند درجه آزادی میرا

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

آناليز مودال سيستم هاي چند درجه آزادي ميرا

اسلاید 2 :

تئوري آناليز مودال سيستم چند درجه آزادي ناميرا مي تواند براي تحليل سازه هاي ديناميکي با ميرايي ناچيز مورد استفاده قرار گيرد. حضور ميرايي کل تئوري ارائه شده در فصل 5 را تغيير نمي دهد. با اين وجود، براي تعميم تئوري آناليز مودال به حالت سيستم چند درجه آزادي ميرا، عمليات رياضي بيشتري مورد نياز است.
دو مدل اصلي ميرايي که در آناليز مودال بکار مي روند مدل هاي ميرايي ويسکوز و سازه اي مي باشند. اين مدل ها مشابه مدل هايي است که در مورد سيستم هاي يک درجه آزادي بکار مي روند با اين تفاوت که در اين حالت بر روي سيستم هاي چند درجه آزادي پياده مي شوند. مشابه خواص جرم و سختي، توزيع ميرايي و مقدار آن هر دو حائز اهميت مي باشد.

اسلاید 3 :

معادلات وابسته يک سيستم چند درجه آزادي ناميرا را مي توان به کمک خواص تعامد از يکديگر جدا نمود. در نتيجه، تحليل هر يک از مودها بطور جداگانه به راحتي امکان پذير مي شود. اما با حضور ميرايي، در حالت کلي جدا کردن معادلات حرکت مشکل و يا غيرممکن مي باشد. بنابراين سيستم هاي چند درجه آزادي ميرا به پردازش رياضي بيشتري نياز دارند.

اسلاید 4 :

ميرايي تناسبي کاربردهاي قابل ملاحظه اي در تحليل اجزاي محدود در مواقعي که تاثير ميرايي مهم بوده و نياز به حصول نتايج بامعني مي باشد، دارد. در تئوري آناليز مودال، اهميت ميرايي تناسبي هنگامي روشن مي شود که يک سيستم با ميرايي تناسبي داراي شکل مودهايي مشابه سيستم ناميراي متناظر با آن است.

اسلاید 5 :

همانطور که بيان شد، با استفاده از ماتريس شکل مود مي توان ماتريس هاي جرم و سختي را قطري نمود. با اين حال، ماتريس ميرايي را نمي توان قطري کرد و در نتيجه معادلات حرکت بصورت وابسته باقي خواهند ماند. تنها توزيع ميرايي که به کمک آن، ماتريس ميرايي را مي توان مانند ماتريس هاي جرم و سختي قطري نمود، ميرايي تناسبي نام دارد.
مدل ميرايي تناسبي سهم زيادي در گسترش اوليه آناليز مودال داشته است. با در نظر گرفتن ميرايي تناسبي، مي توان يک سازه را بدون نياز به عمليات رياضي پيچيده، با استفاده از تئوري سيستم چند درجه آزادي ناميرا تحليل نمود

اسلاید 6 :

در صورتي که ميرايي يک سيستم n درجه آزادي غيرتناسبي باشد
مدل ميرايي ويسکوز غيرتناسبي

اسلاید 7 :

معادله قبل يک مساله مقدار ويژه معمولي بوده و حل آن شامل 2Nمقدار ويژه مختلط (بصورت جفت هاي مزدوج مختلط) و 2Nبردار ويژه (بصورت جفت هاي مزدوج مختلط) متناظر با مقادير ويژه، مي باشد. اين بردارها و مقادير ويژه، در رابطه زير صدق مي کنند:

اسلاید 8 :

اين جواب ها بيانگر وجود مودهاي طبيعي ميراشونده مي باشد. با اين وجود، اين مودها با مودهاي طبيعي ناميرا، که در آن ها اختلاف فاز تمام المان هاي بردار ويژه 0 يا 180 درجه مي باشد،متفاوت مي باشند.
براي سيستمي با ميرايي غيرتناسبي، بين بخش هاي مختلف سيستم اختلاف فاز وجود دارد که اين امر باعث ايجاد مودهاي مختلط مي شود. اين اختلاف فاز مؤيد اين واقعيت است که در مودهاي ناميرا، تمام نقاط سازه بطور همزمان از موقعيت هاي تعادل عبور مي کنند در حالي که براي مودهاي مختلط اين موضوع صدق نمي کند.
بنابراين، مودهاي ناميرا داراي نقاط و يا خطوط گره اي مشخص مي باشند در حالي که مودهاي مختلط خطوط گره اي ثابتي ندارند.

اسلاید 9 :

معادله حرکت يک سيستم چند درجه آزادي با ميرايي سازه اي غيرتناسبي

حل معادله شامل ماتريس قطري مقدار ويژه و ماتريس بردار ويژه مي باشد. رابطه مقدار ويژه با فرکانس طبيعي و ضريب اتلاف ميرايي سيستم بصورت زير مي باشد

اسلاید 11 :

. مشابه حالت ناميرا، که قبلا بررسي شد، ماتريس رسپتانس يک سيستم چند درجه آزادي با ميرايي سازه اي را مي توان با توجه به داده هاي مودال سيستم بصورت زير بدست آورد:

اين رابطه ظاهراً مشابه آنچه براي سيستم ناميرا بدست آمده بود، مي باشد. با اين وجود، صورت کسرهاي سمت راست رابطه، که مؤلفه هاي ماتريس شکل مود مي باشند، مقاديري مختلط مي باشند. فرکانس هاي طبيعي که در مخرج کسرها ظاهر شده اند، نيز اعدادي مختلط مي باشند.
توابع پاسخ فرکانسي يک سيستم چند درجه آزادي ميرا

اسلاید 12 :

مشابه سيستم يک درجه آزادي، FRF يک سيستم چند درجه آزادي را نيز مي توان به منظور شناسايي مشخصات آن به روش هاي مختلف گرافيکي نمايش داد. FRF يک سيستم ناميرا از برخي نمايش هاي گرافيکي مفيد محروم مي باشد، بعنوان مثال به دليل صفر بودن قسمت موهومي نمي توان نمودار نايکوئيست را رسم کرد. FRF سيستم هاي چند درجه آزادي ميرا داراي اين نقص نمي باشند و در نتيجه تنوع بيشتري در روش هاي نمايش داده هاي آن وجود دارد.
نمايش و مشخصات FRF يک سيستم چند درجه آزادي ميرا

اسلاید 13 :

مثال زیر را در نظر می گیریم:
نمايش و مشخصات FRF يک سيستم چند درجه آزادي ميرا

اسلاید 14 :

مثال- (1) نمودار دامنه-فاز و نمودار لگاريتمي
موبیلیتی در مقیاس خطی
رسپتانس در مقیاس لگاریتمی

اسلاید 15 :

نمودارهاي حقيقي و موهومي شامل نمودار قسمت حقيقي FRF و قسمت موهومي FRF بر حسب فرکانس مي باشند. براي يک سيستم چند درجه آزادي با ميرايي سازه اي، قسمت هاي حقيقي و موهومي توسط عبارات تحليلي زير بدست مي آيند:
نمودارهاي حقيقي و موهومي
قسمت حقيقي FRF رسپتانس سيستم چهار درجه آزادي
قسمت موهومي FRF رسپتانس سيستم چهار درجه آزادي

اسلاید 16 :

مزيت اصلي استفاده از نمودار نايکوئيست در سيستم يک درجه آزادي، خاصيت دايره اي بودن آن در صفحه مختلط مي باشد. اين موضوع در مورد سيستم چند درجه آزادي ميرا نيز برقرار است.
خاصيت دايره اي، مانند سيستم يک درجه آزادي، دقيق نمي باشد زيرا در اين حالت مودهاي ارتعاشي بر روي هم تاثير مي گذارند. با اين حال، در نزديکي يک مود ارتعاشي، مي توان فرض کرد که FRF تنها تحت تاثير اين مود قرار دارد.
بنابراين نمودار نايکوئيست همچنان يکي از مفيدترين نمايش هاي گرافيکي FRF در سيستم هاي چند درجه آزادي ميرا مي باشد. شکل بعدی نمودار نايکوئيست يکي از FRF هاي سيستم چهار درجه آزادي را نشان مي دهد. در عمل به دليل کم بودن گام هاي داده برداري فرکانسي، اين نمودار بصورت دايره هاي کامل نخواهد بود.
نمودار نايکوئيست

اسلاید 17 :

تاثير محلي زياد مودها بر FRF و دايره اي بودن تقريبي نمودار نايکوئيست براي FRF يک سيستم چند درجه آزادي، بيانگر آن است که تئوري يک درجه آزادي در اين سيستم ها نيز قابل استفاده مي باشد. اين امر، افق گسترده اي را در تعميم روش هاي يک درجه آزادي براي سيستم هاي چند درجه آزادي ترسيم مي نمايد.
نمودار نايکوئيست

اسلاید 18 :

شايد مهمترين نتيجه مدل ميرايي غير تناسبي در آناليز مودال، ايجاد مودهاي ارتعاشي مختلط باشد. مفهوم شکل مود در مورد سيستم هاي ناميرا و مفهوم فيزيکي آن به خوبي قابل تفسير مي باشد. در صورتي که شکل مود سازه مختلط باشد، نقاط روي سازه ديگر همفاز و يا در فاز متقابل نخواهند بود.
از نظر رياضي مي توان عوامل ايجاد مودهاي مختلط را شناسايي نمود. اگر يک سازه ديناميکي بصورت يک سيستم چند درجه آزادي با ماتريس هاي جرم، سختي و ميرايي مدل شود، شکل مودهاي آن که در واقع بردارهاي ويژه سيستم مي باشند، در صورتي مختلط خواهند بود که : (الف) يک يا تعداد بيشتري از ماتريس ها متقارن نباشند، يا (ب) ماتريس ميرايي به کمک شکل مودهاي ناميرا قابل قطري شدن نباشد.

اسلاید 19 :

در حالت اول، ماتريس هاي جرم و سختي معمولاً متقارن مي باشند. در صورت وجود نيروهاي ژيروسکوپي ناشي از دوران، يک ماتريس ميرايي پادمتقارن پديدار مي گردد. در اين حالت حتي اگر هيچ ماتريس ميرايي ويسکوز و يا سازه اي وجود نداشته باشد، مساله مقدار ويژه منجر به شکل مودهايي مختلط خواهد شد.
در حالت دوم، اگر ميرايي غيرتناسبي باشد بردارهاي ويژه سيستم، مختلط خواهند بود. اگر معادلات در فضاي حالت نوشته شوند، مشاهده خواهد شد بردارهاي ويژه بدست آمده که مي توانند دو ماتريس سيستم را قطري نمايند، نمي توانند ماتريس ميرايي را قطري نمايند

اسلاید 20 :

بر خلاف مودهاي حقيقي، المان هاي شکل مود داراي زواياي فاز مختلفي بين 0 تا 180 درجه مي باشند.
اين بدان معناست که نقاط واقع بر سازه، با وجود آنکه با فرکانس يکساني ارتعاش مي نمايند، بطور همزمان از موقعيت تعادل عبور نخواهند کرد. در نتيجه، نقاط گره اي سازه ثابت نخواهند بود. اين نقاط با فرکانسي که توسط ميزان مختلط بودن شکل مود تعيين مي شود، حرکت مي کنند.

مشکل واقعي مودهاي مختلط در آناليز مودال بررسي و شبيه سازي آنها نمي باشد، بلکه مشکل در شناسايي آنها به کمک مفاهيم و تئوري استخراج داده هاي مودال است.
در چنين حالتي معمولاً پاسخ هاي صحيح براي مقايسه وجود ندارند. در نتيجه ممکن است از يک سري اطلاعات FRF نتايج و تفسيرهاي مختلفي حاصل شود.