دانلود تحقیق در مورد تخمین مدل و استنتاج آماری - بررسی ایستایی ( ساکن بودن ) سری های زمانی

بخشی از مقاله

قبل از تخمين مدل، به بررسي ايستايي مي پردازيم. مي توان چنين تلقي نمود كه هر سري زماني توسط يك فرآيند تصادفي توليد شده است. داده هاي مربوط به اين سري زماني در واقع يك مصداق از فرآيند تصادفي زير ساختي است. وجه تمايز بين (فرآيند تصادفي) و يك (مصداق) از آن، همانند تمايز بين جامعه و نمونه در داده هاي مقطعي است. درست همانطوري كه اطلاعات مربوط به نمونه را براي استنباطي در مورد جامعه آماري مورد استفاده قرار مي دهيم، در تحليل سريهاي زماني از مصداق براي استنباطي در مورد فرآيند تصادفي زير ساختي استفاده مي كنيم. نوعي از فرآيندهاي تصادفي كه مورد توجه بسيار زياد تحليل گران سريهاي زماني قرار گرفته است فرآيندهاي تصادفي ايستا مي باشد.
براي تاكيد بيشتر تعريف ايستايي، فرض كنيد Yt يك سري زماني تصادفي با ويژگيهاي زير است:

(1)  ميانگين:
(2)  واريانس :
(3)  كوواريانس :
(4)    ضريب همبستگي :

كه در آن ميانگين  ، واريانس   كوواريانس   (كوواريانس بين دو مقدار Y كه K دوره با يكديگر فاصله دارند، يعني كوواريانس بين Yt و Yt-k) و ضريب همبستگي   مقادير ثابتي هستند كه به زمان t بستگي ندارند.

اكنون تصور كنيد مقاطع زماني را عوض كنيم به اين ترتيب كه Y از Yt به Yt-k تغيير يابد. حال اگر ميانگين، واريانس، كوواريانس و ضريب همبستگي Y تغييري نكرد، مي توان گفت كه متغير سري زماني ايستا است. بنابراين بطور خلاصه مي توان چنين گفت كه يك سري زماني وقتي ساكن است كه ميانگين، واريانس، كوواريانس و در نتيجه ضريب همبستگي آن در طول زمان ثابت باقي بماند و مهم نباشد كه در چه مقطعي از زمان اين شاخص ها را محاسبه مي كنيم. اين شرايط تضمين مي كند كه رفتار يك سري زماني، در هر مقطع متفاوتي از زمان، همانند مي باشد .

آزمون ساكن بودن از طريق نمودار همبستگي و ريشه واحد
يك آزمون ساده براي ساكن بودن براساس تابع خود همبستگي (ACF) مي باشد. (ACF) در وقفه k با   نشان داده مي شود و بصورت زير تعريف مي گردد.
 
از آنجاييكه كوواريانس و واريانس، هر دو با واحدهاي يكساني اندازه گيري مي‌شوند،   يك عدد بدون واحد يا خالص است.   به مانند ديگر ضرايب همبستگي، بين (1-) و (1+) قرار دارد. اگر   را در مقابل K (وقفه ها) رسم نماييم، نمودار بدست آمده، نمودار همبستگي جامعه ناميده مي شود. از آنجايي كه عملاً تنها يك تحقق واقعي (يعني يك نمونه) از يك فرآيند تصادفي را داريم، بنابراين تنها مي‌توانيم تابع خود همبستگي نمونه،   را بدست آوريم. براي محاسبه اين تابع مي‌بايست ابتدا كوواريانس نمونه در وقفه K و سپس واريانس نمونه را محاسبه نماييم.
 
كه همانند نسبت كوواريانس نمونه به واريانس نمونه است. نمودار   در مقابل K نمودار همبستگي نمونه ناميده مي شود. در عمل وقتي   مربوط به جامعه را ندايم و تنها   را براساس مصداق خاصي از فرآيند تصادفي در اختيار داريم بايد به آزمون فرضيه متوسل شويم تا بفهميم كه   صفر است يا خير. بارتلت (1949)  نشان داده است كه اگر يك سري زماني كاملاً تصادفي يعني نوفه سفيد باشد، ضرايب خود همبستگي نمونه تقريباً داراي توزيع نرمال با ميانگين صفر و واريانس   مي باشد كه در آن n حجم نمونه است. براين اساس مي توان يك فاصله اطمينان، در سطح 95 درصد ساخت. بدين ترتيب اگر   تخميني در اين فاصله قرار گيرد، فرضيه( =0) را نمي توان رد كرد. اما اگر   تخميني خارج از اين فاصله اعتماد قرار گيرد مي توان صفر بودن   را رد كرد.

آزمون ديگري نيز بصورت گسترده براي بررسي ايستايي سريهاي زماني بكار مي‌رود كه به آزمون ريشه واحد معروف است. براي فهم اين آزمون مدل زير را در نظر بگيريد :
Yt = Yt-1+Ut
Ut جمله خطاي تصادفي است كه فرض مي شود بوسيله يك فرآيند تصادفي مستقل (White Noise) بوجود آمده است. (يعني داراي ميانگين صفر، واريانس ثابت   و غير همبسته مي باشد).

خواننده مي تواند تشخيص دهد كه معادله فوق، يك معادلخ خود رگرسيون مرتبه اول يا AR(1) مي باشد. در اين معادله مقدار Y در زمان t بر روي مقدار آن در زمان (t-1) رگرس شده است. حال اگر ضريب Yt-1 برابر يك شود مواجه با مساله ريشه واحد مي شويم. يعني اين امر بيانگر وضعيت غير ايستايي سري زماني Yt مي باشد. بنابراين اگر رگرسيون زير را اجرا كنيم:
و تشخيص دهيم كه   است، گفته مي شود متغير Yt داراي يك ريشه واحد است. در اقتصاد سنجي سريهاي زماني، سري زماني كه داراي يك ريشه واحد باشد، نمونه‌اي از يك سري زماني غير ايستا است.

معادله فوق غالباً به شكل ديگري نيز نشان داده مي شود:
 
كه در آن  ،   اپراتور تفاضل مرتبه اول مي باشد. توجه كنيد كه   است. اما اكنون فرضيه صفر ما عبارت است از   كه اگر   برابر با صفر باشد مي توانيم معادله فوق را بصورت زير بنويسيم:
 
اين معادله بيانگر آن است كه تفاضل اول سري زماني Yt ساكن مي باشد. زيرا بنا به فرض Ut يك جمله اختلال سفيد (اختلال خالص) مي باشد.
اگر از يك سري زماني يك مرتبه تفاضل گرفته شود (تفاضل مرتبه اول) و اين سري تفاضل گرفته شده ساكن باشد، آنگاه سري زماني اصلي (انباشته از مرتبه اول ) مي باشد و به صورت I(1) نشان داده مي شود.

به طور كلي اگر از يك سري زماني d مرتبه تفاضل گرفته شود، انباشته از مرتبه d يا I(d) مي باشد. پس هرگاه يك سري زماني انباشته از مرتبه يك يا بالاتر باشد سري زماني غير ايستا خواهد بود. بطور متعارف اگر d=0 باشد، در نتيجه فرآيند I(0) نشان دهنده يك فرآيند ساكن مي باشد. به همين علت نيز يك فرآيند ساكن بصورت I(0) مورد استفاده قرار مي گيرد.
براي وجود ريشه واحد تحت فرضيه   از آمار   يا (tau)  استفاده مي‌كنيم، مقادير بحراني اين آماره به روش شبيه سازي مونت كارلو توسط ديكي و فولر بصورت جداول آماري محاسبه شده است. (متاسفانه آماره t ارائه شده حتي در نمونه‌هاي بزرگ از توزيع t استيودنت پيروي نمي كند و در نتيجه نمي توان از كميت بحراني t براي انجام آزمون استفاده كرد.)
در ادبيات اقتصادسنجي آزمون   يا (tau)، به آزمون ديكي- فولر (DF) مشهور مي‌باشد. بايد توجه داشت كه اگر فرضيه صفر   رد شود، سري زماني ساكن بوده و مي توان از تابع آزمون t استيودنت استفاده نمود.

اگر قدر مطلق آماره محاسباتي (tau)، بزرگتر از قدر مطلق مقادير بحراني (DF) يا مك كينان باشد، آنگاه فرضيه مبتني بر ساكن بودن سري زماني را رد نمي كنيم از طرف ديگر اگر مقدار قدر مطلق محاسباتي كمتر از مقدار بحراني باشد، سري زماني غير ايستا خواهد بود.

به دلايل عملي و نظري، آزمون ديكي- فولر براي رگرسيون هايي بكار گرفته مي‌شود كه به فرم زير باشند:
معادله بدون عرض از مبدا و بدون روند.                      
معادله با عرض از مبدا.                    
معادله با عرض از مبدا و باروند.                
اگر جمله خطاي Ut خود همبسته باشد، (معادله با عرض از مبدا و با روند) را مي‌توان بصورت زير تعديل نمود:
 
اينكه چه تعداد جملات تفاضلي با وقفه مي بايست در مدل لحاظ شود وابسته به اين است كه تا چه تعداد ورود اين جملات، سبب استقلال سريالي جمله خطا مي‌گردد.
هنگاميكه از آزمون (DF) براي مدل فوق استفاده مي شود، از آن به عنوان آزمون ديكي- فولر تعميم يافته (ADF) ياد مي شود. تابع آزمون (ADF) داراي توزيعي مجانبي همانند تابع آزمون (DF) بوده و از مقادير بحراني يكساني، براي آنها مي توان استفاده كرد.

تغييرات ساختاري و آزمون ريشه واحد پرون
وجود ريشه واحد و ناپايايي كه در اغلب متغيرهاي سري زماني اقتصد كلان ملاحظه مي شود ممكن است ناشي از عدم توجه به شكست عمده ساختاري در روند اين متغيرها مي باشد. اگر سريهاي زماني، در طول زمان دچار تغييرات ساختاري و شكست شوند، آزمونهاي استاندارد ريشه واحد نظير آزمون ديكي- فولر مناسب ترين آزمون براي قبول يا رد فرضيه ريشه واحد نبوده و نمي توانند آن فرضيه را رد كنند.

پرون به منظور نشان دادن اثرات تغييرات ساختاري بر روي سريهاي زماني و بررسي وجود فرضيه ريشه واحد، متغيرهاي مجازي را به الگوي ADF اضافه كرد. سه مدل پيشنهادي پرون، به صورت زير است:
 
كه در آن DU و DTB و DT متغيرهاي مجازي هستند. Yt متغير مورد آزمون و TB سال شكستگي در روند زماني متغير مورد نظر است. Dut براي t >TB برابر يك و براي بقيه سالها صفر است، DTB براي t=TB+1 برابر با يك و براي بقيه سالها صفر است و DT براي سالهاي بزرگتر از سال شكست ساختاري به صورت t-TB(t >TB) تعريف مي شود و براي بقيه سالها صفر است، به عبارت ديگر (براي t>TB) DT=t است. فرض صفر در الگوهاي فوق مانند آزمون ديكي- فولر تعميم يافته همچنان   خواهد بود. يادآوري مي شود كه در الگوهاي فوق، تنها امكان يك شكست ساختاري وجود دارد.

رگرسيون ساختگي
در رگرسيونهاي مبتني بر متغيرهاي سري زماني (رگرس يك متغير سري زماني بر سري زماني ديگر) محققان غالباً R2 بالايي را مشاهده مي كنند، هرچند كه رابطه معني‌داري بين متغيرها وجود نداشته باشد. اين وضعيت نشان دهنده رگرسيون ساختگي (كاذب) است.

اين مشكل ناشي از آن است كه هر دو متغير سري زماني (متغير وابسته و متغير توضيحي) تمايل شديدي نسبت به زمان (حركتهاي نزولي و صعودي) از خود نشان مي‌دهند و لذا R2 بالايي كه مشاهده مي شود، نه به واسطه ارتباط حقيقي بين متغيرها بلكه بواسطه وجود متغير زمان مي باشد.

نتايج چنين رگرسيونهايي اغلب عالي به نظر مي رسند، R2 بالا و نسبتهاي t معني دار بالا (بصورت قابل توجه) براي متغيرهاي توضيحي، در اين بين تنها اشكال پايين بودن آماره d (دوربين- واتسون ) است.

گرنجر و نيوبلد  يك روش تجربي براي شناسايي رگرسيون ساختگي پيشنهاد كردند. (R2 خيلي بالا و D.W خيلي پايين بطوريكه R2>D.W باشد)
بنابراين هنگاميكه يك سري زماني غير ساكن را بر روي يك سري زماني غير ساكن ديگر رگرس كرده باشيم، ديگر آماره هاي F,t روش هاي آزمون معتبري نمي باشند. از طرفي تفاضل گيري مرتبه اول (يا مرتبه هاي بالاتر) رابطه بلند مدت بين دو سري زماني را از بين مي برد، زيرا اغلب تئوريهاي اقتصادي رابطه بلند مدت بين متغيرها را به شكل سطح  و نه به صورت تفاضلي ارائه مي كنند.
در قسمت بعد خواهيم ديد، كه اگر چند سري زماني بر روي هم، هم انباشته باشند، نتايج رگرسيوني آنها ساختگي نخواهد بود و استفاده از آزمونهاي F,t صحيح و معتبر مي‌باشد.
همانطور كه گرنجر مي گويد: “براي اجتناب از وضعيتهاي رگرسيون ساختگي، آزمون هم انباشتگي را بايد بعنوان يك پيش آزمون  بكار گرفت.
هم انباشتگي (هم جمعي)
معادله زير را در نظر بگيريد:
A)  
اگر Ut يا اجزاء پسماند را در طرف چپ معادله قرار دهيم، خواهيم داشت:
 
حال اگر Ut يا اجزاء پسماند يك معادله رگرسيون، انباشته از مرتبه I(0) يا ايستا باشد، در اين صورت مي گوييم متغيرهاي توضيحي و وابسته، هم انباشته (هم جمع) مي‌باشند. به عبارت ديگر دو متغير روي طول موج يكساني قرار دارند. بطور عيني مي‌توان مشاهده كرد، زمانيكه Ut در معادله فوق انباشته از مرتبه صفر I(0) مي باشد، متغيرهاي توضيحي و وابسته روند زدايي مي شوند.
بطور كلي اگر Y بصورت I(d) و X نيز بصورت I(d) باشد، دو سري مي توانند هم انباشته باشند. به عبارتي در اين حالت رگرسيون ساختگي نبوده و هيچ گونه اطلاعات بلند مدتي را از دست نمي دهيم. اين موضوع برخلاف نتيجه حاصل از كاربرد تفاضلهاي مرتبه اول كه اطلاعات بلند مدت را از دست مي دادند، مي باشد.
بطور خلاصه در صورتيكه تشخيص دهيم باقيمانده هاي حاصل از معادله فوق بصورت I(0) يا ساكن مي باشد، متدولوژي سنتي رگرسيون (شامل آزمونهاي F,t) براي داده هاي سري زماني قابل استفاده مي باشد.
در ادبيات تئوري هم انباشتگي، رگرسيوني نظير (A) را «رگرسيون هم انباشتگي» و پارامتر (B) «پارامتر هم انباشتگي» ناميده مي شود.