بخشی از پاورپوینت
--- پاورپوینت شامل تصاویر میباشد ----
اسلاید 1 :
ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن
مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد، آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد،
که بانماد نشانمی دهیم. مثلا معادله یک مجهولی درجه اول و معادله یک مجهولی درجه دوم و
معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر
اسلاید 2 :
معادله دو مجهولی که بانماد
نشان می دهیم
مثلا
معادله دو مجهولی درجه اول
معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر
درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد:
الف) آیا
جواب معادله
می باشد؟
آیا جفت
جواب معادله
می باشد؟
ب) جواب معادله راپیدا کنید؟
اسلاید 3 :
جواب دادن به سوال الف) ساده می باشد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم:
1) مرحله شناخت
2) مرحله حل(روش حل)
اسلاید 4 :
حال اگر درمعادله
متغیر
رابعنوان متغیر
مستقل و
را بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه
تابعی از
می باشد و می توان درمورد مشتق تابع
صحبت کرد یعنی :
اسلاید 5 :
تعریف:
معادله ای که شامل ترکیباتی از
(متغیر مستقل) و
(متغیر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد
نشان می دهیم
درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد:
الف) آیا تابع
جواب معادله دیفرانسیل می باشد؟
ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟
اسلاید 6 :
جواب دادن به سوال الف) ساده است (با جایگذاری) مثلا آیا تابع
جواب معادله
میباشد؟
جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل به سراغ سوال ب) می رویم.
تعریف: بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم.
اسلاید 7 :
معادله دیفرانسیل جدا شدنی
مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد. بنابراین ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه اول درجه اول می باشد
که مرتبه اول درجه اول
بصورت کلی
می باشد
اسلاید 8 :
تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت
را معادله جدا شدنی نامیم (مرحله شناخت). هر معادله مرتبه اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی (جدایی پذیر)نامیم. هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی
تبدیل کرد.
اسلاید 9 :
حل معادله دیفرانسیل جداشدنی: با انتگرالگیری از معادله جداشدنی
می توان جواب آنرا محاسبه کرد.
تذکر: هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی معادله دیفرانسیل می باشد. جوابی را جواب عمومی نامیم هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد.
اسلاید 10 :
معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به جدا شدنی نمود.
مثال: معادله
به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم:
که جدا شدنی است پس با انتگرالگیری داریم :
جواب معادله است.
