بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
ارتعاش آزاد سازه هاي بلند با استفاده از تیر تیموشنکو
چکیده
با افزایش روز افزون ساخت سازه هاي بلند مرتبه و زلزله خیزي کشور, توجه به مطالعات لرزه اي اینگونه سازه ها ضروري به نظر می رسد. مدلسازي سازه هاي ساختمان, به علت درجات آزادي زیاد وقت گیر و پر هزینه است. بـراي تعیـین ابعـاد و نیروهـاي اولیـه طراحی بهتر است, روشهاي تقریبی مناسبی ارائه گردد. در این مقاله سعی شده روشی ساده جهت تحلیـل ارتعاشـی سـاختمانهاي بلنـد ارائه گردد. در روش فوق ساختمان بلند به یک تیر با مقطع متغیر مدل سازي شده است. معادله دیفرانسیل ارتعاش تیر تیموشنکو با سطح مقطع متغیر به یک معادله دیفرانسیل قابل حل استاندارد تبدیل گردیده است. معادله فوق با توجه به تغییرات ممان اینرسی, سطح مقطع و جرم در طول ارائه شده است. معادله دیفرانسیل اصلی ارتعاش که شامل اثرات خمش و برش می باشـد ( تیـر تیموشـنکو بـدون اثـر اینرسی چرخشی ) از حل هم زمان دو معادله دیفرانسیل که از تعادل دینامیکی چرخشی و انتقالی یک جزء تیـر بـا سـطح مقطـع متغیـر حاصل شده, به دست آمده است. جواب معادله دیفرانسیل اصلی ارتعاش با انتخاب توابع مناسب نمایی یا توانی براي تغییرات سـختی و جرم حاصل گردیده است. روش ارائه شده, مد شکلها و فرکانسهاي طبیعی را به سبب در نظر گرفتن اثر توام خمـش و بـرش بـا دقـت بیشتري ارایه می دهد. در نتیجه فرکانسهاي ارتعاشی و مد شکل سازه هاي بلند با استفاده از حل ارائه شده براي تیر تیموشنکو بـا مقطـع متغییر قابل محاسبه می باشد.
کلید واژه ها: ارتعاش آزاد, سازه هاي بلند, تیر تیموشنکو, مد شکل, فرکانس ارتعاشی
مقدمه
تحلیل دینامیکی سازه هاي بلند به دلیل انعطاف پذیري بیشتر و در نتیجه افزایش دامنه ارتعاشی از اهمیت زیادي برخوردار است. بنابراین محاسبه پارامترهاي دینامیکی سازه هاي بلند جهت طراحی اولیه بسیار ضروري به نظر مـی رسد. ارتعاش آزاد سازه هاي بلند را می توان به ارتعاش تیر کنسولی با سطح مقطع متغییر مـدل کـرد. در مرجـع [1]
روشی براي تحلیل ارتعاشی تیر با سختی متغیر و جرم ثابت ارائه شده است. در روش فوق فقط تغییر شکلهاي برشـی براي ساختمانهاي قابی شکل در نظر گرفته شده است.
بطور کلی بدست آوردن جوابهاي دقیق براي معادلات دیفرانسیل ارتعـاش آزاد تیرهـاي بـا جـرم و سـختی گسـترده متغییر غیر ممکن و یا حداقل بسیار دشوار است. اما می توان با انتخاب توابعی مناسب براي توزیـع جــرم و سخــتی گسترده در طول تیر معـادلات فـوق را حـل و جوابهاي قابل قبولی ارائه نمود. در مراجـع ,[5-2 ] توابع مناسبی براي پخش جرم و سختی در طول تیر معرفی شده است. در این مراجع, فرض شده کـه تغییـر شـکل هـاي خمشـی, تغییـر شکل غالب در سازه هاي بلند می باشد. در حالیکه نتایج حاصل از مراجع 1]،2،,[8-6 نشان داده اند که تغییـر شـکل برشیمعمولاً تغییر شکل غالب در سازه هاي قابی و بنـایی اسـت. در اکثـر مطالعـات انجـام شـده تغییـر شـکل هـاي خمشی و برشی را در ساختمانهاي بلند بطور جداگانه در نظر گرفته اند.
در این مقاله, اثرات برش و خمش در ارتعاش ساختمانهاي بلند بطور همزمان با مدل کـردن ارتعـاش سـازه بـا توجـه تئوري تیر تیموشنکو با سطح مقطع متغیر ,[9] مدلسازي شده است. در روش ارائه شده, توابعی مناسب (توابع نمایی یا توانی) براي تعریف تغییرات ممان اینرسی, سطح مقطع و جرم در طول تیر, انتخاب شده است و جهت سازه هـاي قابی, سازه هاي مجهز به دیوار برشی و یا سیستمهاي ترکیبی قابل بکار گیري است.
-2 معادلات دیفرانسیل تعادل دینامیکی تیر
در تئوري تیر تیموشنکو تغییر شکل هاي برشی و همچنین اینرسی چرخشـی لحـاظ شـده اسـت. در مرجـع ,[9]
نشان داده شده است که اثرات اینرسی چرخشی ناچیز و قابل اغماض می باشد. المانی از تیر غیر منشوري شـکل(-1الف) در شکل -1)ب) نشان داده شده است. کل شـیب منحنـی تغییـر شـکل تیـر بـه دو بخـش مجـزا, دوران ناشـی ازتغییر شکلهاي خمشی ( (ψ و دوران ناشی از تغییر شکلهاي برشی ( (β تیر بستگی دارد (شکل -1ج).
به این ترتیب دوران تیر در یک نقطه دلخواه از رابطه زیر قابل محاسبه خواهد بود:
رابطه ممان خمشی و نیروي برشی به صورت زیر بیان می گردد:[9]
که در رابطه اخیر A(x) سطح مقطع, I (x) ممان اینرسی, E مدول الا ستیسیته و G مدول برشی می باشند. با نوشتن معادله تعادل ممان, رابطه زیر حاصل می گردد:
با جایگذاري معادلات,23 در معادله :(4)
معادله تعادل دینامیکی در جهت y نیز بصورت زیر بیان می شود:
در رابطه فوق جرم واحد طول و , شتاب نقطه اي به موقعیت x را نشان می دهد. با جایگذاري معادلـه (3) در معادله :(6)
براي حـل معـادله دیفرانسیل ارتعاش آزاد تیر تیمو شنکو با سطح مقطع متغیر ابتدا متغیر ψ بین معــادلات (5) و (6) حذف می گردد. در صورتیکه معادلات 5) و (6 با استفاده از اپراتورها نوشته شود.
که درآن اپراتورهاي می باشند. با ساده سازي معادلات (8) داریم:
با حـذف ψ از دسته معـادلات (9) و ساده سـازي, معـادله دیفرانسیل پـارامتري به صـورت زیر حـاصل می شود:
پس از ساده سازي معادله (10) داریم:
جهت حل معادله فوق رابطه در معادله (11) جانشین می شود:
بطوریکه v(x) تابع مد شکل و ω فرکانس ارتعاش طبیعی می باشند. معادله ,(12) معادله دیفرانسـیل اصـلی ارتعـاش آزاد تیر تیمو شنکو با سطح مقطع متغیر می باشد که حالت خاص این معادله تیـر تیمـو شـنکو بـا سـطح مقطـع ثابـت است:[9]
