بخشی از مقاله
خلاصه
یکی از مهمترین مباحث در طراحی اعضای سازهای، تعیین مقادیر بار کمانشی میباشد. در این مقاله از روش اختلاف محدود مرکزی با دقت مرتبه دو برای تحلیل پایداری تیر تیموشنکو با سطح مقطع ثابت استفاده شده و تأثیر تعداد المانهای به کار رفته در روش عددی مذکور بر مقدار بار کمانشی مدهای اول تا سوم بررسی شده است. بدین منظور، معادلات پایداری حاکم بر تیر تیموشنکو که در حضور پارامترهای سختی خمشی و برشی سطح مقطع به یکدیگر وابسته هستند، با استفاده از شرایط مرزی حاکم بر تغییر شکل عمودی، از یکدیگر مستقل گشته و در نهایت یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو که تنها وابسته به پارامتر تغییر شکل دورانی عضو است، حاصل میشود. در ادامه، معادله حاصل شده براساس فرضیات حاکم بر روش تفاوت مرکزی حل میگردد. در نهایت نتایج بهدست آمده از روش عددی ارائه شده با مقادیر حاصل شده از نرم افزار المان محدود Abaqus مقایسه میشود.
1. مقدمه
تحلیل و بررسی پایداری و تعیین نیروی کمانش ستونهای فولادی، سابقه طولانی در تحقیقات مهندسی سازه دارد. اعضای سازهای را میتوان تحت شرایط مختلف و برای کاربردهای متفاوت به صورت مقطع ثابت طراحی نمود که این اعضا را منشوری مینامند. شبیهسازی دقیق بار کمانشی تیرها و ستون ها در طراحی سازه و بررسی پایداری تیرهای تیموشنکو با مقطع ثابت از جمله اهدافی هستند که در این تحقیق به دنبال آنها میباشیم. تئوری تیر تیموشنکو برای تحلیل استاتیکی و دینامیکی اعضای الاستیک مانند برج ها، آنتنها، تیرهای با ضخامت زیاد و... که در آن اثر اینرسی دورانی و تغییرشکل برشی در نظر گرفته میشود، مورد استفاده قرار میگیرند. در تیرهای تیموشنکو بر خلاف تیر اویلر- برنولی، از تغییرشکل برشی و اینرسی دورانی صرف نظر نمیشود. تئوری تیرهای تیموشنکو در نرم افزار المان محدود آباکوس که اثر تغییرشکل برشی در آن نظر گرفته میشود، تئوری مناسبی است. از اواسط قرن 18 میلادی، تعداد زیادی از دانشمندان و محققان در سراسر دنیا مطالعات خود را معطوف به بررسی پایداری و تعیین نیروی کمانشی اعضای سازهای نظیر تیرها و ستونها کردند.کارمن و بیوت [1] حل بسته معادلات کمانش را ارائه کردند. تیموشنکو و گره [2] نیز، معادلات دیفرانسیل کمانشی اعضای با مقطع منشوری به همراه حل آن را ارائه نمودند. فریش فی [3]، حل روش تحلیلی چگونگی تعیین نیروی کمانش بحرانی یک المان منشوری که تحت اثر نیروی محوری یکنواخت و شرایط مرزی متفاوت را بهدست آورد. سکور و نیکل [4] با استفاده از اصل تغییرات نوشته شده بر حسب جابهجایی عرضی و زاویه دوران بر اساس روش اجزای محدود، دو تیر تیموشنکو را با نام های TIM7 و TIM4 که اولی شامل 7 و بعدی 4 درجه آزادی را معرفی نموند. یوکویاما [5] برای بررسی ارتعاش های طبیعی و بارهای کمانشی بحرانی تیر متکی بر بستر الاستیک، تیر تیموشنکو را به المانهای دو گرهای با دو درجه آزادی در هر گره تقسیم و از نظریه وینکلر برای بستر الاستیک استفاده کرد. لانگ و همکارانش 6]و[7 ماتریس سختی دینامیکی را برای تیر تیموشنکو غیرمنشوری تحت اثر بار محوری وارده با حل دقیق دو معادله کوپل حاکم بر حرکت برای توابع شکل از روش سری های توانی بدست آوردند. اسماعیل زاده و اوحدی [8] در مورد ارتعاش آزاد و تحلیل پایداری تیر های تیموشنکو غیر منشوری در حضور بارهای محوری و مماسی وارده با تبدیل دو معادله دیفرانسیل کوپل حاکم به یک معادله دیفرانسیل مرتبه چهارم با ضرایب متغیر کار کردند. ویکوسکی و گلوبیوسکی [9] با بهره گرفتن از روش اجزای محدود، به تحلیل پایداری تیرهای تیموشنکو پرداختند.
در این پژوهش، بار کمانش بحرانی برای تیر تیموشنکو با مقطع ثابت با استفاده از روش اختلاف محدود مرکزی بهدست میآید. مراحل کار به این صورت میباشدکه ابتدا معادلات دیفرانسیل پایداری حاکم بر ستون تحت بار محوری در حضور پارامترهای سختی خمشی و برشی سطح مقطع که به هم وابسته هستند، با استفاده از شرایط مرزی حاکم بر تغییر شکل عمودی، از یکدیگر مستقل گشته و در نهایت یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو که تنها وابسته به پارامتر تغییر شکل دورانی عضو است، حاصل میشود. سپس با استفاده از توابع معرفی شده برای هریک از مشتقات مراتب مختلف بر مبنای روش اختلاف محدود مرکزی، معادله پایداری استخراج شده به همراه شرایط مرزی به یک دستگاه معادله گسسته تبدیل میشوند. در پایان، با استفاده از روش حل مقادیر ویژه مقدار بار کمانش بحرانی ستون تعیین میگردد. در این تحقیق، دو نوع ستون با شرایط تکیهگاهی دو سر مفصل و یک سر گیردار- یک سر آزاد در نظر گرفته شده و برای هرکدام به صورت جداگانه در متلب برنامه نویسی انجام شده است. نتایج به دست آمده از روش عددی معرفی شده با نتایج حاصل از روش های موجود دیگر مقایسه گردیدهاند. انطباق نتایج با مقدار دقیق و خطای بسیار ناچیز، بیانگر این نکته است که روش اختلاف محدود مرکزی از قدرت بالایی در حل مسائل مربوط به پایداری تیر تیموشنکو با مقطع ثابت برخوردار می باشد.
2. دستگاه معادله دیفرانسیل حاکم بر پایداری تیر تیموشنکو منشوری
یک تیر تیموشنکو منشوری ساخته شده از مصالح همگن و ایزوتروپیک به طول L که تحت بار متمرکز فشاری P در انتهای خود قرار دارد، مطابق شکل 1 مد نظر است. دستگاه معادله دیفرانسیل حاکم بر تیر تیموشنکو ارتجاعی براساس میدان جابهجایی حاکم بر آن شامل تغییر مکان عرضی - w - و دوران سطح مقطع - - به صورت ذیل تعریف شده است : [10] که در آن، I و A به ترتیب ممان اینرسی و مساحت نیمرخ تیر هستند. E و G معرف ضریب ارتجاعی یانگ و برش میباشند. همچنین k بیانگر ضریب اصلاح برش است. شرایط مررزی حاکم بر دستگاه معادله دیفرانسیل فوق به صورت زیر است: معادلات تعادل حاکم تیر تیموشنکو در حضور پارامترهای تغییر شکل عرضی، دوران سطح مقطع و سختی برشی؛ یک دستگاه معادله دیفرانسیل وابسته را تشکیل دادهاند. در ادامه، با استفاده از عبارت حاکم بر شرایط مرزی - 4 - میتوان معادله پایداری حاکم بر تغییر شکل عمودی تیر را به صورت زیر اصلاح نمود: در ادامه، معادله دیفرانسیل بهدست آمده به منظور محاسبه بار بحرانی با استفاده از روش تقریبی تفاوت محدود حل میگردد.
3. روش عددی اختلاف محدود
روش اختلاف محدود، یکی از روشهای عددی مناسب برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل می باشد که در مسائل مقدار مرزی و در حیطه مسائل علوم مهندسی که حل دقیق معادلات غیرخطی و ناهمگن بسیار دشوار است؛ کاربرد دارد. اساس این روش، جایگزینی معادلات دیفرانسیل جزیی و عباراتی که معرف شرایط مرزی هستند با معادلات اختلاف محدود میباشد. دراین روش عضو مورد نظر مطابق شکل 2 به بخش هایی تقسیم شده و هر بخش، یک گره را تشکیل میدهد. با این تکنیک معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار ستون و شرایط مرزی با یک سری معادلات تفاضل محدود جایگزین می شوند. از این رو حل مسئله اصلی و محاسبه بار کمانش بحرانی سیستم، به حل همزمان دستگاههای معادلات جبری حاصل از بسط تیلور کاهش مییابد.
