بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
برآورد گر بیز یا کلاسیک
چکیده: فرض کنید X دارای توزیع یکنواخت روی بازه باشد، برآوردگرهای پارامتر اغلب بصورت کلاسیک معرفی می شوند. تنوع برآوردگرهای کلاسیک تشخیص بهترین برآوردگر را مشکل میسازد. در این مقاله برآوردگرهای بیزی برای پارامتر را معرفی می کنیم و نشان خواهیم داد که برآوردگرکلاسیک را میتوان با انتخاب توزیع پیشین مناسب از کلاس برآوردگرهای بیزی استخراج نمود. همچنین در دو بخش جداگانه برآوردگرهای نقطه ای و فاصله ای بیزی را برای توزیع یکنواخت پیوسته مورد بررسی قرار خواهیم داد و به مقایسه آنها با برآوردگرهای کلاسیک خواهیم پرداخت و در انتها با یک مثال عددی برتری روش بیزی را نشان خواهیم داد.
واژههای کلیدی: آماره بسنده، توزیع پیشین ناسره، توزیع پسین، توزیع پیشین جفری، توزیع پاراتو، کمیت محوری.
۱. مقدمه
آمار معمولی را در برابر آمار بیز آمار کلاسیک می نامند. در آمار کلاسیک احتمال بطریق فراوانی نسبی تعبیر می شود، اما در آمار بیز احتمال بطریق شخصی تعبیر می شود. در آمار بیز پارامترن بعنوان متغیر تصادفی در نظر گرفته میشود، در حالیکه آماردانان کلاسیک معتقدند پارامتر مجهول را به سختی می توان به چشم یک متغیر تصادفی نگاه کرد، در ضمن تعیین چگالی پیشین برای چنین متغیری به سلیقه و عقیده آماردان بستگی پیدا می کند. آماردانان بیز در دفاع از خود چنین بیان می کنند که بیان اطلاعات و عقیده شخصی بصورت چگالی پیشین و تصحیح این چگالی، با استفاده از داده ها بصورت چگالی پسین، کاری معقول می باشد که از این راه میتوان اطلاعات شخصی و اطلاعات نهفته در دادهها را با هم ترکیب کرد و به واقعیت نزدیک گردید.
بررسی مقایسه ای روشهای بیزی و کلاسیک تا کنون مورد توجه محققین زیادی قرار گرفته است. ( پارسیان (۱۳۸۰)، بهبودیان (۱۳۷۹)، الفسی و راینک (۲۰۰۱)، هاگ وکریگ (۱۹۷۸)، باکس و تیائو (۱۹۷۳) و روسمن و همکاران (۱۹۹۸). در این مقاله توزیع یکنواخت را در نظر گرفته و در دو بخشی (نقطهای و فاصله ای ) برآوردگرهای بیز و کلاسیک را مورد مقایسه قرار میدهیم. در بخش ۲ ابتدا برآوردگرهای کلاسیک نقطه ای پارامتر 9 را معرفی می کنیم آنگاه با انتخاب توزیع پیشین ناسره برآوردگرهای بیزی برای ها را بدست می آوریم و نهایتاً دو روش را مورد مقایسه قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که روش بیزی بهتر است. در بخش ۳، برآوردگرهای فاصله ای و بیزی را معرفی نموده و آنها را مورد مقایسه قرار می دهیم. در بخش ۴، با ارائه یک مثال بصورت عددی نتایج بدست آمده در این مقاله را مورد تحلیل قرار می دهیم.
2-بر اورد نقطه ای
فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد
آنگاه گوئیم X دارای توزیع یکنواخت پیوسته روی فاصله است. توزیع یکنواخت یکی از توزیعهای پایه ای در مباحث آمار میباشد که دارای کاربرد وسیعی در استنباط آماری است. همچنین در مباحث شبیه سازی بعنوان توزیع پایه ای در نظر گرفته می شود. محک برآورد کلاسیک این توزیع، برآوردگرهای گوناگون برای پارامتر تولید می کند.
۲. ۱ روش کلاسیک
فرض کنید متغیر های تصادفی یک نمونه تصادفی از توزیع یکنواخت باشند آنگاه تابع درستنمائی آن بصورت زیر است.
بسادگی می توان از (۱) نشان داد که:
آماره بسنده کامل برای است.
بر آوردگر درستنمائی ماکزیمم (MLE) برای است.
۳- برآوردگر نااریب با کمترین واریانس (UMVUE) برای است.
4-در کلاس برآوردگرهای به شکل میانگین مربع خطا یعنی بازای
مینیمم می شود، پس برآوردگر با مینیمم ریسک (MRE) برای می باشد.
مشاهده می شود که این مثال برای نشان دادن اینکه محک برآورد کلاسیک می تواند منجر به برآوردگرهای متفاوت شود مفید است. برای پاسخ به این سؤال که کدام برآوردگر بهتر است وسوسه می شویم که رهیافت مرغوب و مورد علاقه کلاسیک را رها کنیم و به چارچوب استراتژی تحلیل بیزی که یک برآورد در اختیار میگذارد بپردازیم. نشان خواهیم داد چگونه تحلیل بیزی به کمک خانواده ساده ای از توریعهای پیشین ناسره بین برآوردگرهای کلاسیک مختلف رابطه مستقیم برقرار می کند.
۲. ۲ روش بیزی
محققین زیادی توزیع پاراتو را بعنوان خانوادهای از توزیعهای پیشین توزیع یکنواخت معرفی می کنند. اما می توانیم فرم سادهتری برای توزیع پیشین با انتخاب توزیع پیشین ناسره در نظر بگیریم که مانند یک توزیع پیشین سره عمل می کند. برای مثال اگر توزیع پیشین را ناسره ثابت انتخاب کنیم آنگاه داریم
با استفاده از (۱) می توانیم بنویسیم
یعنی توزیع پسین متناسب با تابع درستنمائی می باشد. می توان نشان داد که برای ۱ < n رابطه (۲) می تواند یک توزیع پسین سره باشد یعنی
همچنین دیده می شود اگر تابع زیان را میانگین مربعات خطا در نظر بگیریم آنگاه برآوردگر بیزی برای همان امید ریاضی توضیع پسین است.پس در اینجا داریم.
که برای ۲ < n معنی دار می باشد. اکنون فرض کنید خانواده توزیعهای پیشین به شکل زیر باشد
این توزیعها برای هر k حقیقی ناسره هستند و با استفاده از (۴) می توانیم بنویسیم
مشاهده میشود برای ۱ < k + n رابطه (۴) می تواند یک توزیع پسین سره باشد یعنی
و برآورد گر بیز برای همان امید ریاضی توزیع پسین است، آنگاه از (6) داریم
که برای ۲ < k + n معنی دار میباشد.
۲. ۳ نتایج بدست آمده از بخش فوق
۱- با توجه به رابطه (۳) واضح است که روش بیزی بازای n های بزرگ به برآوردگر درستنمائی ماکزیمم (MLE) یعنی
