بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله اثر دی الکتریک زمینه بر روی ساختار نواری بلور فوتونی دی الکتریک- فلز دو بعدی که در آن میله های فلزی با سطح مقطع ششگوش در یک زمینه دی الکتریک با تقارن شبکه شش گوش قرار گرفته اند، بطور نظری با استفاده از روش بسط موج تخت مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج محاسبات عددی نشان میدهد که با افزایش ثابت دی الکتریک زمینه، ساختار نواری به طرف فرکانسهای پایین جابجا شده و مسطح میشوند. علاوه بر این نوارهای ممنوعه فرکانسی جدیدی بوجود میآیند و پهنای نسبی نوار ممنوعه، / g ، نیز افزایش مییابد.
مقدمه
بلورهای فوتونی، ساختارهای متناوبی از مواد با ثابت×های دی×الکتریک متفاوتی میباشند که دارای نواحی فرکانسی خاصی موسوم به "نوار ممنوعه نوری" هستند، بطوریکه امواج الکترومغناطیسی در آن نواحی فرکانسی منتشر نمیشوند.اخیراً مطالعه بلورهای فوتونی دی الکتریک - فلز دو بعدی مورد توجه زیادی واقع شده اند .
یک بلور فوتونی دی الکتریک - فلز به عنوان بلوری که مواد فلزی به طور پریودیک در یک زمینه دی الکتریک قرار گرفتهاند تعریف میشود. در مقایسه با بلورهای فوتونی دی×الکتریکی، این بلورها خواص جالبی دارند بطوریکه
یک نوار ممنوعه فرکانسی با پهنای بزرگ بین فرکانس صفر و کمینه نوار اول برای قطبش E وجود دارد که کمینه نوار اول موسوم به " فرکانس قطع" است. وارد کردن اجزاء فلزی میتواند اندازه نوار ممنوعه را بزرگ نماید [3] و نوارهای مسطح با سرعت گروه کم ایجاد نماید. در نتیجه این ساختارها برای کاربردهای مختلفی نظیر فیلتر [4] و موجبر [5] به کار گرفته میشوند.
اکثر مقالات علمی ارائه شده به بررسی بلورهای فوتونی فلزی با زمینه هوا پرداخته اند در این کار تحقیقاتی تاثیر استفاده از مواد مختلف - دی الکتریک زمینه - با ثابت دی الکتریک متفاوت بر روی ساختار نواری بلورهای فوتونی دی الکتریک - فلز بطور نظری با استفاده از روش بسط موج تخت مورد بررسی قرار گرفته است.
ساختار مورد مطالعه عبارت است از بلور فوتونی دو بعدی با تقارن شبکه ششگوش که در آن میله های فلزی با سطح مقطع شش- گوش در زمینه دی الکتریک قرار گرفته اند.
مدل و روش محاسباتی:
به منظور تعیین ساختار نواری یک بلور فوتونی متشکل از میله های فلزی در یک شبکه ششگوش، از روش بسط موج تخت استفاده میشود. مدل درود برای خواص اپتیکی فلزات، که در آن ثابت دی الکتریک به صورت زیرمیباشد به کار می رود
در اینجا p فرکانس پلاسما و جمله اتلاف میباشد. در این کار تحقیقاتی فرض میشود که سهم اتلاف قابل اغماض است
نقطه شروع محاسبات برای تعیین ساختار نواری، معادلات ماکسول است.برای قطبش E - میدان الکتریکی موازی با امتداد میلهها - این معادلات به رابطه زیر منجر میشوند:
بنابراین می- توان تابع دی الکتریک را برحسب امواج تخت بسط داد، با بکارگیری بسط تابع دی الکتریک بر حسب امواج تخت و استفاده از قضیه بلوخ، معادله - 2 - به صورت زیر در میآید:
به آسانی میتوان نشان داد که اگر سطح مقطع میلهها با هم برابر باشند، ضرائب فوریه تابع دی×الکتریک برای شبکه شش گوش بصورت زیر است:
نتایج و بحث
از حل عددی معادله ویژه مقداری تعمیم یافته - 6 - ، با استفاده ازنرم افزار MATLAB ، بر حسب k بدست میآید. تعداد امواج تخت مورد استفاده برابر 625 است که این تعداد برای بدست آوردن خطایی کمتر از 1% برای 10 نوار اول بقدر کافی بزرگ است. و همگرائی مطلوب برای فرکانس های ویژه سیستم، حاصل میشود. بلور فوتونی دوبعدی با تقارن شبکه شش گوش را در نظر میگیریم که در آن میلههای ششگوش فلزی به طول ضلع 0.4a - مقدار بیشینه نوار ممنوعه اول - در زمینه ای از مواد مختلف با ثابت دی الکتریک متفاوت در گستره 1 - هوا - تا 12 - سیلیکون - قرار دارند.
در شکل1 ساختار نواری بلور فوتونی با زمینه هوا نشان داده شده است. مشاهده میشود که یک نوار ممنوعه با پهنای بزرگ بین فرکانس صفر و فرکانس قطع - c 0.5034 بر حسب a - 2 c وجود دارد. این نوار موسوم به نوار ممنوعه صفر میباشد.
شکل-1 ساختار نواری بلور فوتونی فلزی برای زمینهای با ثابت دی الکتریک . b=1 ضمیمه شکل نقاط با تقارن بالای منطقه اول بریلوئن و ساختار هندسی شبکه هگزاگونال در فضای حقیقی را نمایش میدهد.
با تغییر ثابت دیالکتریک به مقدار b=2 مشاهده میشود که موقعیت و پهنای نوارهای ممنوعه فوتونی تغییر کرده و نوارهای مجاز فرکانسی مسطح میشوند این ساختار در شکل2 ارائه شده است.
شکل-2 ساختار نواری بلور فوتونی فلزی برای زمینه ای با ثابت دی الکتریک . b=2 افزایش بیشتر ثابت دیالکتریک زمینه منجر به بروز رفتارهای متفاوتی میشود. برای مثال در شکل3 ساختار نواری برای b =12 نشان داده شده است، مشاهده میشود که علاوه بر نوارهای ممنوعه فرکانسی صفرم و اول، نوار ممنوعه جدیدی بین بیشینه نوار پنجم و کمینه نوار ششم بوجود میآید.
درکل نتایج فوق نشان میدهد که با افزایش ثابت دی الکتریک ماده زمینه علاوه بر تشکیل نوارهای ممنوعه جدید مقدار فرکانس قطع نیز به طرف فرکانس های پایین جابجا میشود. از مقایسه شکل 2 و شکل 3 ملاحظه میشود که نوار ممنوعه اول پهن تر شده و نوارهای اول و دوم مجاز فرکانسی مسطح میشوند. از آنجایی که سرعت گروه مربوط به نوارهای مسطح کم میباشد، این نوع نوارها از نقطه نظر کاربردی اهمیت ویژه ای دارند
شکل-3 ساختار نواری بلور فوتونی فلزی برای زمینه ای با ثابت دی الکتریک . b =12
شکل4 تغییرات فرکانس قطع و لبه نوارهای ممنوعه اول و دوم را بر حسب ثابت دی الکتریک زمینه نشان میدهد. مشاهده میشود که با افزایش ثابت دی الکتریک، فرکانس قطع و لبه نوارهای ممنوعه کاهش مییابد و پهنای فرکانس - 2 c - aنوارهای ممنوعه ابتدا بتدریج افزایش یافته و سپس تقریبا ثابت میماند، این نتایج در جدول 1 درج شده است.
از آنجایی که پهنای نسبی نوار ممنوعه، / g ، در طراحی ادوات نوری کمیت مهمی میباشد، در شکل5 وابستگی این کمیت به ثابت دی الکتریک زمینه نشان داده شده است g - فرکانس در وسط نوار ممنوعه - . مشاهده میشود که gبرای ثابت های دی الکتریک کوچک سریع افزایش یافته و به مقادیر ثابت 30,61% و%1,63 به ترتیب برای نوارهای ممنوعه اول و دوم میل میکند.
