بخشی از مقاله
چکیده
با توجه به محدودیت روشهای تحلیلی×در حل×معادلات×دیفرانسیلی، روشهای×عددی برای حل این معادلات،×توسعه زیادی× یافتهاند. از جمله این محدودیتها میتوان به مدلسازی هندسه و اعمال شرایط تکیهگاهی به صورت تقریبی اشاره کرد. مدل-سازی هندسههای پیچیده به صورت دقیق در روشهای رایج مانند المان محدود در صورت امکان مستلزم هزینههای محاسباتی بالا میباشد.
اما در روش همهندسه - ایزوژئومتریک - ایجاد هندسه دقیق و به دنبال آن اعمال شرایط تکیهگاهی به صورت دقیق×امکانپذیر×است. در روش همهندسه از توابع بیاسپیلاین و نربز برای تولید هندسه استفاده میشود، که همین امر موجب میگردد در هندسههای پیچیده، این روش با دقت و سرعت بالاتری نسبت به روشهای رایج به جواب قابل قبول دست پیدا کند. در این پژوهش به محاسبه فرکانس طبیعی یک تیر ساخته شده از مواد هدفمند به کمک روش همهندسه پرداخته شده است.
ابتدا توابع پایه بیاسپیلاین، نربز و مواد هدفمند به اختصار معرفی و سپس روابط حاکم بر روش همهندسه بیان شده است. در نهایت به کمک این روش، تحلیل ارتعاشی یک تیر ساخته شده از مواد هدفمند با شرایط تکیهگاهی مختلف مورد بررسی قرار گرفته×است و نتایج به دست آمده با نتایج حاصل از کارهای پیشین مقایسه گردیده×است. نتایج به دست آمده حاکی از سرعت و دقت روش همهندسه با به کارگیری تعداد المانهایی به مراتب کمتر نسبت به روشهای رایج است.
.1 مقدمه
بسیاری از مسائل مهندسی دارای هندسههایی پیچیده هستند. از آنجایی که مدلسازی دقیق هندسه برای طراحی بهینه، یک پروژه زمان بر با هزینه بالاست، روش همهندسه بر روی ایجاد پلی میان طراحی و تحلیل تمرکز دارد. در روش المان محدود، هندسه به صورت تقریبی مدل میشود و به دنبال آن اعمال شرایط تکیهگاهی به صورت دقیق قابل اعمال نمیباشد.
با به کارگیری توابع پایه بی-اسپیلاین 1 و حالت تعمیمیافته آن یعنی توابع نربز 2، میتوان هندسه را به طور دقیق مدل کرد و به دنبال آن اعمال شرایط تکیهگاهی به صورت دقیق ممکن میشود. مدلسازی دقیق هندسه، در رسیدن به جواب صحیح نقش بسیار مهمی را ایفا میکند. روش همهندسه 3 یکی از جدیدترین روشهای عددی میباشد که علاوه بر داشتن مزایای روشهای رایج از قبیل تفاضل محدود، اجزای محدود، بدون مش برخی از معایب آنها را مرتفع کرده است. این روش در سال 2005 توسط هیوز×و همکارانش 4 معرفی شد.
برای انتخاب توابع پایه برای روش همهندسه کاندیدهای زیادی وجود داشت که میتوانستند استفاده شوند. توابع پایه نربز به طور گسترده در طراحی مهندسی مورد استفاده قرار گرفته شده است. مهمترین دلیل انتخاب توابع پایه نربز در روش همهندسه، قدرت و سادگی در مدلسازی سطوح پیچیده به طور دقیق میباشد. همان طور که مشخص شده است، توابع پایه نربز از توابع درونیاب هرمیت و لاگرانژ که به طور گسترده در فرمولبندی المان محدود استفاده میشود پیوستگی بالاتری دارد و علاوه بر آن مرتبه توابع پایه نربز به سادگی و بدون تغییر در هندسه یا پارامترهایش میتواند افزایش پیدا کند. همین امر موجب میشود که تمامی مقاطع مخروطی از جمله دایرهها، استوانهها، کرهها، بیضیها به راحتی مدلسازی شوند.
در این پژوهش پس از معرفی توابع پایه بی-اسپیلاین، نربز، بردارهای گرهی و معرفی مواد هدفمند، مدلسازی یک تیر به کمک همین توابع پایه صورت گرفته است. با ارائه و محاسبه ماتریسهای سختی و جرم مربوط به تیر ساخته شده از مواد هدفمند در روش همهندسه، در حالت تنش صفحهای، به محاسبه فرکانس طبیعی تیر در شرایط مختلف تکیهگاهی پرداخته شده است. در ادامه با مقایسه نتایج این روش با نتایج موجود در کارهای پیشین صحت، سرعت و کارایی این روش نشان داده شده است. در نهایت نتایج عددی سه فرکانس اول بیبعد شده یک تیر ساخته شده از مواد هدفمند، برای شرایط مختلف تکیهگاهی به ازای ثابتهای قانون توانی ارائه شده است.
.2 توابع پایه بیاسپیلاین و نربز
یکی از بزرگترین نقاط قوت توابع نربز سادگی در مدلسازی سطوح پیچیده میباشد. این توابع میتوانند تمامی مقاطع مخروطی از جمله دایرهها، استوانهها، کرهها، بیضیها را مدلسازی کنند. توابع نربز از توابع پایه بیاسپیلاین ساخته شدهاند. برای تولید بیاسپیلاینها به نقاط کنترلی، بردارهای گرهی و درجه چندجملهای توابع نیاز است.
بردارهای گرهی در فضای پارامتری در مختصات یک بعدی غیرنزولی به صورت Ξ={ξ1 ‚ ξ2 ‚ ... ‚ ξn+p+1 } نمایش داده می-شوند - ξi ، i امین گره میباشد - . p و n به ترتیب بیانگر درجه چندجملهای و تعداد توابع پایه برای تولید منحنی بیاسپیلاین می-باشند. در صورتی که فاصله بین نقاط برابر باشد، بردار گرهی یکنواخت×و در غیر اینصورت غیر یکنواخت است. مقادیر گرهی میتوانند تکرار شوند - بیش از یک گره دارای مقادیر یکسان باشند - . تکرار مقادیر گرهی مفهوم مهمی در خصوصیات توابع پایه دارد. به بردار گرهیای که نقاط ابتدا و انتهای آن به تعداد p+1 بار تکرار شود، بردار گرهی باز میگویند.
تابع پایه بیاسپیلاین iام از مرتبه p را با Ni,p نشان میدهند که روابط آن به شکل معادلات - 1 - بیان میشوند :[1]
برای به دست آوردن سطح بیاسپیلاین بایستی بردارهای گرهی در دو راستا تعریف شوند که به دنبال آن، در دو راستا توابع پایه ایجاد میشوند.
رابطه سطوح بیاسپیلاین به صورت رابطه - 3 - بیان میشود
تمایز توابع پایه نربز و توابع پایه بیاسپیلاین در این است که توابع پایه نربز برای نقاط کنترلی وزن در نظر میگیرند. همین مسئله موجب میشود که مقاطع مخروطی به راحتی مدل شوند.
توابع پایه نربز مربوط به خمها و رابطه منحنی نربز، به ترتیب در رابطه - - 4 و رابطه - 5 - آورده شده است.
قابل توجه است که اگر تمامی وزنها یکی باشند در اینصورت رابطه بیاسپیلاینها را حالت خاصی از نربزها در نظر گرفت.
