بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، یک حل تحلیلی براي ارتعاشات آزاد درپوشهاي کروي ساخته شده از مواد تابعی مدرج - هدفمند - ارائه شده است. از تئوري پوسته نازك دانل براي بدست آوردن معادلات حرکت استفاده شده است. خواص مواد در راستاي ضخامت از سطح داخلی تا سطح خارجی، بر اساس یک تابع توانی در حال تغییر هستند. با استفاده از یکسري توابع کمکی و همچنین روش جداسازي متغیرها، معادلات حاکم بصورت دقیق حل شده است.
در ابتدا جابجایی عرضی پوسته و پس از آن دو جابجایی داخل صفحهاي دیگر، توسط عملیات ریاضی دقیق بدست آمده است. براي بررسی دقت و پایداري نتایج بدست آمده از حل دقیق حاضر، فرکانسهاي مستخرج از این روش با نتایج بدست آمده توسط نرم افزار المان محدود آباکوس مقایسه شده است. در پایان، در قالب جداول، تاثیر پارامترهاي مختلف بر فرکانسهاي طبیعی پوسته کروي مورد تحقیق قرار گرفته است.
-1 مقدمه
در سال 1987 تحقیقات مهمی در زمینه مواد تابعی براي تولید حفاظهاي حرارتی مورد استفاده در هواپیماي فضایی در ژاپن شد. مواد تابعی داراي میکرو مواد، ترکیب شیمیایی یا آرایش اتمی وابسته به مکان است که این ویژگی باعث می شود خواص مواد مثل خواص مکانیکی، الکتریکی و حرارتی بهصورت پیوسته با مکان تغییر کند. ویژگیهاي این مواد می تواند توسط یک تابع بیان شود. در مواد همگن، این تابع ثابت است. در مواردي که دو ماده مختلف به هم چسبیده باشند، تابع به شکل پله است. اما در مواد تابعی، تابع باید پیوسته و یا شبه پیوسته باشد. این به این معنی است که خواص باید بهصورت پیوسته یا شبه پیوسته دریک جهت تغییر کند.
همچنین مواد تابعی می توانند به صورت یک کامپوزیت و با چسباندن چندین لایه نازك به یکدیگر ایجاد شود .
پوسته هاي کم عمق به سه دسته پوسته نازك، نسبتاَ ضخیم و ضخیم تقسیم بندي میشوند. براي پوستههاي کم عمق نازك ار فرضیات کلاسیک کیرشهف-لاو استفاده می شود. در پوستههاي جدار نازك همواره فرض می شود که ضخامت آنها نسبت به سایرابعادشان، مخصوصاً انحناي پوسته، بسیار کوچک است. بدین ترتیب فرضیات مطرحشده براي پوستههاي جدار نازك، در اینگونه پوستهها نیزکاربرد دارد .
حسین هاشمی و همکارانش با بکار گیري تئوري میندلین یک حل دقیق براي بدست آوردن ارتعاشات آزاد یک ورق مدرج دایروي تقریبا ضخیم تحت شرایط مرزي مختلف ارائه کردند .
کروس1 به مطالعه ارتعاشات آزاد پوسته کروي کم عمق و عمیق پرداخت
لیو و لیم2حلهایی براي پوستههاي با مقطع دایروي و با شرایط مرزي آزاد، ساده و گیردار ارائه دادهاند
یانگ و دیکنسون3 به یک مطالعه جامع بر روي پوستههاي نازك با مقطع دایروي، همراه با ایجاد یک سري پیچیدگیهایی مثل تغییر ضخامت، تکیهگاه نقطهاي یا خطی و یا اعمال جرم متمرکز پرداختند
لیسا و کاتو4در مورد ارتعاشات آزاد پوستههاي کم عمق و آنالیز استاتیکی پوسته هاي کامپوزیتی چند لایه کم عمق تحقیق کرده است. او روش ریلی-ریتز را براي تحلیل ارتعاشات آزاد و بدست آوردن شکل مودها و همچنین جابجاییها و تنشها استفاده کرد
پرویداکیس و بسکوس5 روش المان مرزي را براي مطالعه ارتعاش آزاد و اجباري پوستههاي کم عمق توسعه دادند .
هوانگ6 و فاستر 7 یک حل کلی براي معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم براي یک پوسته کروي کم عمق آیزوتروپ با یک سوراخ دایروي که تحت ارتعاشات آزاد متقارن است، ارائه دادهاند. معادله فرکانس حاوي ترمهاي توابع بسل و بسل اصلاح شده است که براي فرکانسهاي ارتعاشی پایه و شکل مودها حل شده است
جانسون8 وریسنر9 به بررسی ارتعاشات عرضی پوستههاي کروي کم عمق پرداختند .[13] ارتعاشات تقارن محوري پوستههاي کروي کم عمق با شرایط مرزي گیردار و مفصلی، با بکارگیري روش المان محدود توسط میرزا10 و سینگ11 تحلیل و بررسی شد
ماتسوناگا12 یک فرمول بندي المان محدود براي تحلیل ترمو الاستیک پوستهها و ورقهاي مدرج ارائه کرده است. معادله غیر خطی انتقال حرارت براي تعیین انتشار حرارت و تنشها در راستاي ضخامت، توسط روش ریلی-ریتز حل شده است
همانگونه که دیده شد در تحقیقات صورت گرفته بر روي پوستههاي کروي، تاکنون حل تحلیلی براي ارتعاشات درپوشهاي کروي ارائه نشده است. بنابراین، این مقاله به بررسی ارتعاشات آزاد درپوش هاي کروي - پوسته هاي کروي با سطح تصویر شده دایروي -
ساخته شده از مواد هدفمند با استفاده از یک روش دقیق پرداخته است. معادلات حرکت بر اساس تئوري پوسته نازك بدست آمده است. دقت حل دقیق با استفاده از یک مدل المان محدود صحه سنجی شده است. در نهایت، تاثیر پارامترهاي مختلف بر روي ارتعاشات پوسته بررسی شده است.
-2 هندسه مساله
یک پوسته کروي کم عمق به شکل یک درپوش کروي را در نظر بگیرید - شکل . - 1 مرکز مختصات در مرکز شکل واقع شده است. ابعاد مشخص شده روي شکل در زیر معرفی شده اند:
R شعاع انحناي پوسته، r0 شعاع مقطع دایروي، h0 ارتفاع یا عمق پوسته، h ضخامت پوسته و o مرکز مبدا مختصات پوسته است.
شکل- 1 هندسه درپوش کروي
-3 تابع توانی ردي
در این مدل فرض میشود که نسبت حجمی ماده هدفمند از یک قانون توانی بصورت زیر پیروي میکند.
در رابطه h - 1 - بیانگر ضخامت ورق است. g اندیس گرادیانی نامیده میشود و بیانگر توان نمایی کسر حجمی است. با تغییر g میتوان خواص ماده را تنظیم نمود. همچنین تغییرات z از -h/2 تا h/2 است. این خواص به شکل تابع توانی برحسب مختصات z در راستاي ضخامت ورق تعریف میشوند .[3]
در رابطه بالا اندیسm معرف فلز و اندیس c بیانگر سرامیک است. هرچه مقدار g بیشتر باشد به معنی این است که درصد حجمی سرامیک بیشتر است. مدل توانی ردي براي بیان تغییرات خواص مکانیکی مواد هدفمند بصورت زیر خواهد شد:
E - z - مدول الاستیسیته و - z - چگالی توابعی بر حسب مختصات z در راستاي ضخامت ورق بوده و ضریب راستاي ضخامت ورق ثابت فرض شده است.
