بخشی از مقاله
خلاصه
امروزه در بسیاری از صنایع سعی بر آن است که بتوان از مصالح ناهمسانگرد برای ساخت سازههایی سبکتر با ظرفیت باربری بیشتر، استفاده نمود. . این مصالح نیز در معرض احتمال وقوع ترک و شکست ناشی از آن میباشند. در این کاربه ارائه یک روش عددی فاقد المان بندی برای برآورد میدانهای الاستیک در جسم ناهمسانگرد همگن دارای ترک لبه پرداخته شده است. میدانهای جابجایی و تنش بصورت مجموعی از توابع با ضرایب مجهول تعریف میشود،که تمام شرایط مرزی اساسی همگن و غیرهمگن را نیز ارضا می نماید. ضرایب مجهول با استفاده از معادله تغییرات فرمولاسیون ترکیبی محاسبه میشود. با محاسبه ضرایب مجهول میدانهای تنش و جابجایی به دست میآیند. ضریب شدت تنش نیز با این روش به سهولت قابل محاسبه است. در پایان برای اثبات کارآمدی روش ارائه شده حل عددی یک مدل با روش حاضر، با حل تحلیلی آن مقایسه شده است.
1. مقدمه
پیامدهای ناشی از شکست سازهها در اثر وجود ترک در اعضای آنها میتواند باعث خسارات جانی و مالی گسترده و جبران ناپذیری گردد. وجود ترک باعث کاهش مقاومت نهایی و در نتیجه گسیختگی مواد در تنشهایی کمتر از تنشهای مجاز میشود. از سوی دیگر در فرایند تحلیل مسائل شامل ترک، پیچیدهگیهای بسیاری فراروی مهندسین قرار دارد که اغلب یافتن پاسخی تحلیلی برای آنها بسیار دشوار یا ناممکن مینماید. پیشرفتهای چشم گیر در توان محاسباتی، راه را برای استفاده از روشهای عددی در حل مسائل پیچیده و دشوار مکانیک شکست هموار کرده است. از اینرو روشهای عددی به عنوان جایگزینی ضروری جهت تحلیل مسائل علمی مطرح شدهاند. قوی ترین روشی که در سالیان اخیر به کرات در حل مسائل مختلف آزموده شده، روش المان محدود میباشد که قدرت و سهولت به کارگیری آن در الگوریتمهای کامپیوتری به اثبات رسیده است. در حل مسائل مربوط به ترک اتلوری3 و همکاران [1] با استفاده از روش المان محدود به تحلیل مسائل مکانیک شکست در مواد کامپوزیت در حالت دو بعدی پرداختند. در همین راستا اسدپور و محمدی [2]، هیون4 و همکاران [3]، معتمدی و محمدی [4] از روش المان محدود توسعه یافته برای تحلیل مسائل دارای ترک، در مواد ناهمسانگرد استفاده کردند. روش المان محدود در مواردی فاقد تواناییهای لازم جهت حل مؤثر مسائل میباشد. خصوصیت وابسته به مش والمان روش اجزای محدود، کاربرد آن را در مسائل با تغییر مکانهای بزرگ و یا سیستمهای با طیف گسترده پاسخ، دشوار میسازد. به عنوان مثال در مسائل شامل مرزهای متحرک نظیر ترک، تغییر و اصلاح ساختار شبکه در هر مرحله از تغییر مرزها پرهزینه و نیازمند صرف زمانی قابل توجه است. وجود مشکلاتی اینچنین سبب ابداع و گسترش روشهای عددی فاقد المان بندی شده است. بر این اساس بلیچکو1و همکاران [5] از روش بدون المان گالرکین برای بررسی مسائل مکانیک شکست و رشد ترک در حالت دو بعدی در مصالح ایزوتروپ استفاده کردهاند. فلمینگ2 و همکاران [6] نیز روش بدون المان غنی شده گالرکین را برای بررسی میدان های الاستیک نوک ترک به کار بردند. و همچنین کمالی و شجاع [7] یک روش نیمه تحلیلی فاقد المان بندی را بر اساس روش ریتز برای تعیین میدانهای الاستیک در یک جسم همگن غیرایزوتروپ دارای ترک گسترش دادند.
در این کار نیز یک روش عددی فاقد المان بندی برای محاسبه میدان الاستیک در جسم همگن دارای ترک لبه مود اول در حالت دو بعدی بیان شده است. با استفاده از فرمولاسیون ترکیبی معادله تغییراتی برای مسئله ترک بیان میشود، و از روش ریتز رایلی بر اساس تعریف میدان جابجایی و میدانهای تنش در صفحه ترک بصورت توابعی با ضرایب مجهول، به حل معادله تغییرات پرداخته میشود. روش عددی انتگرال گیری دافی [8] که برای توابع در دامنه تکینه به کار میرود، برای محاسبه انتگرالها استفاده شده است. با حل معادله تغییرات، ضرایب مجهول محاسبه شده و معادلات جابجایی و تنش در جسم دارای ترک تعیین میشوند. با معلوم میدان تنش در اطراف نوک ترک میتوان پارامتر ضریب شدت تنش که از مؤلفههای مهم در علم مکانیک شکست است، را محاسبه نمود.
2. فرمول بندی
در این کار برای حل مسئله صفحه ترکدار با استفاده از اصل تغییرات ریزنر و فرمولاسیون ترکیبی ارائه شده توسط کررا [9] - Carrera - معادله تغییرات رابطه 1ارائه میشود نمایانگر کرنشهای بدست امده از روابط جابجایی و تغییر مکان است. نشان دهنده کرنشهای محاسبه شده از معکوس قانون هوک است. معرف تنشهای تعریف شده در مدل است. کار خارجی وارد بر جسم است. یک محیط همگن الاستیک که دارای ترک لبه به مختصات کارتزین در نوک ترک فرض میشود. محور امتداد ترک است و از - تا را در بر میگیرد. طول a مانند شکل 1 در نظر گرفته میشود. مبدأ دستگاه مختصات قطبی و دستگاه در امتداد ترک در نظر گرفته میشود و r فاصله شعاعی از نوک ترک است. زاویه با توابع جابجایی و تنش بصورت مجموعی از یک سری طیفی با ترمهای محدود که ناپیوستگی چهره ترک و تکینگی میدان تنش در نوک ترک را تأمین میکند، بعلاوه یک سری چند جملهای که نسبت همگرایی را اصلاح کرده و یک تابع که شرایط مرزی اساسی ناهمگن را ارضا میکند، بیان میشود. تابع - - یک تابع ناپیوسته در سطح ترک است و - - یک تابع پیوسته است. و بسته به مود ترک و پیوسته یا ناپیوسته بودن مؤلفههای میدان جابجایی و تنش در سطح ترک به کار میروند. توابع - - و - - برای ارضای شرایط مرزی ناهمگن و توابع - - و - - جهت ارضای شرایط مرزی همگن تعریف شدهاند.ضریب - - در رابطه2 جهت ارضای شرط مرزی همگن و در سطح ترک، قرار داده شده است.
